Sezione Aurea

Sezione Aurea
Emilia Mezzetti
Università di Trieste
La lettera greca Φ (che si legge “fi”) denota il numero, detto “sezione aurea” o “rapporto aureo”, così
definito: supponiamo di avere un segmento AB e di dividerlo in due parti segnando su di esso un punto C, in
modo che si abbia la proporzione:
AB:AC = AC:CB.
Il punto C dunque divide il segmento in due parti, di cui la maggiore è media proporzionale fra l’intero
segmento e la parte minore. Il rapporto comune AB/AC = AC/CB è appunto la sezione aurea Φ .
Se si sceglie come unità di misura il segmento CB, la misura di AC è proprio Φ , mentre la misura
dell'intero segmento AB è pari a Φ + 1 . Dalla proporzione si ricava allora
(Φ + 1) / Φ = Φ / 1
da cui l’equazione di 2° grado:
Φ2 − Φ −1 = 0
(
)
(
)
Le sue soluzioni sono 1 ± 5 / 2 : quella positiva 1 + 5 / 2 fornisce il valore di Φ , mentre la negativa
vale −1 / Φ . Visto che
5 è un numero irrazionale, anche Φ lo è, perciò la sua espansione decimale è non
periodica con infinite cifre decimali. Le sue prime cifre sono 1,6180339887…
La sezione aurea è stata molto studiata fin dall’antichità. Negli Elementi di Euclide (circa 300 a.C.) è
dimostrato fra l’altro che il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza
circoscritta. Da ciò segue che, se un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 36°, la sua base è la sezione aurea
di uno dei lati uguali. Inoltre in un pentagono regolare il rapporto fra la diagonale ed il lato è pari a Φ : si ha
così uno dei primi esempi di segmenti incommensurabili, l’altro esempio naturale essendo fornito dal lato e dalla
diagonale di un quadrato.
Gli antichi Greci ritenevano che i rettangoli aurei, quelli cioè con i lati in rapporto aureo fra loro, fossero
i più armoniosi e gradevoli alla vista. Nel Partenone dell’Acropoli di Atene, decorato dal famoso scultore Fidia,
la sezione aurea si ritrova più volte, sia nella pianta sia nella facciata. Ed in onore di Fidia, sembra, fu introdotto
l’uso di indicare con Φ , iniziale del suo nome, il rapporto aureo. Nel Rinascimento il rapporto aureo fu
riscoperto dal matematico fra’ Luca Pacioli, che gli dedicò il celebre trattato “De divina proportione”, con
illustrazioni di Leonardo, un compendio, in gran parte basato su Euclide, di quanto era noto sul rapporto aureo.
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Per molti artisti il numero Φ rappresenta la proporzione ideale fra parti del corpo umano. Un esempio è il
celebre “uomo vitruviano” di Leonardo: se si traccia una retta orizzontale ideale passante per l’ombelico, questa
lo divide esattamente secondo la sezione aurea. Un altro famoso esempio di quadro in cui compare il rapporto
Φ tra varie parti del corpo umano è la Venere di Botticelli.
Interessanti sono le relazioni di Φ con i numeri di Fibonacci: si tratta della successione di numeri
naturali {Fn } definita ricorsivamente come segue: F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn−1 + Fn . I primi numeri di Fibonacci
sono dunque: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …
Vale la seguente formula, detta di Binet:
((
) ) ((
) )
n
n
Fn =  1 + 5 / 2 − 1 − 5 / 2  .


Da essa segue che il rapporto Fn/Fn-1 fra due numeri di Fibonacci consecutivi, al tendere di n all’infinito
tende proprio al numero aureo Φ . Inoltre Fn/Fn-1 assume valori alternativamente maggiori e minori di Φ . Il
numero Φ può essere scritto come la seguente frazione continua: 1 +
1
1+
1
1+
. Valutandone le successive
1
1 + ...
1 2
1
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approssimazioni, si scopre che sono proprio quozienti di numeri di Fibonacci, e cioè 1 + = , 1 +
= ,
1 2
1 1
1+
1
1+
1
1+
=
1
1+
5
, e così via. Ogni numero reale può essere sviluppato come frazione continua, ogni volta che si
3
1
1
ferma lo sviluppo della frazione ad un certo passo, si trova un’approssimazione razionale del numero stesso. La
presenza dei numeri 1 all’inizio di ogni successivo denominatore dello sviluppo di Φ indica che la convergenza
è molto lenta, in un certo senso Φ è il numero “più irrazionale possibile”.
Figura 1. Successione infinita di rettangoli aurei
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A partire da un rettangolo aureo R, si può considerare una successione infinita di rettangoli aurei,
togliendo a R quadrati via via più piccoli costruiti ciascuno sul lato minore del rettangolo residuo, come nella
figura 1.
Il procedimento porta ad individuare un punto limite O all’interno di R. Per i punti segnati passa una
curva, detta spirale logaritmica, la cui equazione, in un opportuno sistema di coordinate polari (r ,θ ) avente O
come origine, è la seguente: r = e kθ , dove k =
log Φ
π
. Essa si avvolge con infinite spire intorno al punto O e
2
gode della proprietà di essere autosimile: se la si guarda con una lente d’ingrandimento essa appare avere
sempre la stessa forma.
La spirale logaritmica ed i numeri di Fibonacci si incontrano spesso in natura. Un esempio è la conchiglia
del Nautilus (figura 2), la cui forma è proprio una spirale logaritmica.
Figura 2. La conchiglia del Nautilus
Al centro del grande fiore del girasole, i fiorellini che poi si trasformano in semi si dispongono secondo
due serie di spirali logaritmiche, una in verso antiorario e l’altra in verso orario. Il numero di queste spirali è
rispettivamente 34 e 55, due numeri di Fibonacci consecutivi. Una situazione analoga si incontra nelle pigne (i
numeri sono 8 e 13), nell’ananas, ed in molte altre piante.
Un semplice modello matematico che spiega perché compaiono queste forme nella natura si trova
nell’articolo di Michael Naylor: Golden,
2 , and π flowers: a spiral story, apparso nella rivista Mathematics
Magazine, n.75, del 2002 (disponibile anche sul sito web dell’autore: www.ac.wwu.edu/~mnaylor).
L’idea è che i semi si formano via via nel centro del girasole e spingono verso l’esterno i semi precedenti.
Ogni seme si colloca in una determinata posizione, che forma un certo angolo di rotazione costante rispetto al
seme precedente: ciò produce lo schema a spirale che osserviamo nel fiore.
Per simulare questo schema a spirale, Naylor suppone di avere una configurazione con k semi, l’ultimo
seme è denotato con il numero 1, il precedente col 2, e così via, il seme più lontano dal centro è il numero k. Se
supponiamo che la superficie di ogni seme abbia area pari a 1, allora con buona approssimazione la superficie
complessiva è un cerchio di area k e raggio
k
π
, quindi la distanza di ogni seme dal centro del fiore è
proporzionale al quadrato del suo numero. Se chiamiamo α l’angolo costante, possiamo scegliere un asse x in
modo che l’angolo fra tale asse e la retta congiungente il centro con il seme k sia kα . Usando coordinate polari
(r , θ ) , la posizione del seme k è data perciò da r = k e θ = kα . Ora, se α è una frazione razionale di un
angolo giro, da un certo punto in poi i semi si disporranno lungo raggi distinti, e la distribuzione dei semi sarà
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Figura 3. Distribuzione dei semi
molto poco omogenea nel cerchio. Per avere semi distribuiti uniformemente bisogna dunque che α sia una
frazione irrazionale di 360°. Che cosa accade se l’angolo è Φ =1,618… giri, cioè circa 222,5°? I semi si
distribuiscono secondo la figura 3, non si ammassano in zone particolari e non ci sono spazi sprecati.
Ma come entrano in gioco i numeri di Fibonacci? Se si guardano i semi più vicini all’asse x, si scopre che
i loro numeri sono proprio i numeri di Fibonacci e che i semi convergono all’asse x piazzandosi
alternativamente sopra e sotto di esso. In effetti un seme numerato con un numero di Fibonacci Fn forma con
l’asse x l’angolo Φ Fn, e questo numero, come abbiamo visto, al crescere di n tende a essere un intero. Per
questo motivo si formano i bracci a forma di spirale e il loro numero è un numero di Fibonacci. Inoltre la forma
dello sviluppo di Φ in frazione continua garantisce che la distribuzione dei semi così ottenuta è la più compatta
possibile, anche paragonata a quelle ottenute con altri angoli irrazionali.
Rimando chi volesse saperne di più all’articolo di Michael Naylor, sopra citato, che contiene anche
riferimenti bibliografici alla letteratura più tecnica sull’argomento.
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