,OWHRUHPDGL7DOHWH
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
&ODVVLGLJUDQGH]]HGLUHWWDPHQWHSURSRU]LRQDOL
Abbiamo definito la proporzionalità come uguaglianza di rapporti tra coppie di grandezze
omogenee. Adesso vogliamo estendere questo concetto a intere classi di grandezze. Una
FODVVH GL JUDQGH]]H può essere intesa come la riunione di quegli enti geometrici che sono
definiti nello stesso modo; inoltre dati due qualsiasi elementi della classe deve essere
possibile stabilire se sono uguali e – in caso contrario – quale sia il maggiore, infine deve
essere possibile sommare due qualsiasi elementi della classe ottenendo un terzo ente ancora
appartenente alla classe.
Un esempio di classe di grandezze è dato dalla classe di tutti i segmenti: è infatti possibile
confrontare due segmenti portandoli a coincidere per un estremo e andando a verificare se
anche i secondi estremi coincidono e, in caso contrario, quale dei due sopravanza l’altro;
inoltre disponendo consecutivamente i segmenti se ne ottiene un terzo somma dei due. Anche
quella dei triangoli rettangoli è una classe di grandezze se definiamo l’uguaglianza come
equivalenza; in tal caso il confronto si potrà effettuare riportando i due triangoli a base
comune e confrontando le altezze, la somma consisterà invece nella costruzione di un
triangolo equivalente alla somma di due triangoli dati.
Osserviamo che esistono insiemi che non sono classi di grandezze. Se prendiamo ad
esempio la classe di tutti i segmenti minori o uguali a un segmento dato, vediamo che pur
essendo definito il confronto non lo è la somma, in quanto due segmenti entrambi minori di
un segmento dato se sommati insieme possono dare un segmento maggiore.
&ODVVLGLJUDQGH]]HLQFRUULVSRQGHQ]DELXQLYRFD
Date due classi di grandezze può essere possibile – anche se non è sempre detto che lo sia
– stabilire tra di esse una corrispondenza biunivoca, tale cioè che ad ogni elemento della
prima corrisponda uno ed un solo elemento della seconda e, viceversa, ad ogni elemento della
seconda corrisponda uno ed un solo elemento della prima. Quando ciò accade diremo che le
due classi sono in corrispondenza biunivoca.
Consideriamo ad esempio la classe 6 di tutti i segmenti e quella di tutti i rettangoli 5D
aventi un lato uguale ad un segmento D fissato. Possiamo stabilire una corrispondenza
biunivoca tra queste due classi facendo corrispondere al segmento V il rettangolo di lati D ed V.
Considerando invece la classe 7 dei triangoli rettangoli e la corrispondenza che associa ad
ogni elemento di 7 la propria ipotenusa, vediamo che in questo caso non si può parlare di
corrispondenza biunivoca. Per ogni triangolo rettangolo vi è infatti uno ed un solo segmento
corrispondente all’ipotenusa, ma dato un segmento V vi sono molti triangoli rettangoli aventi V
come ipotenusa (tutti quelli per cui vertice dell’angolo retto appartiene alla circonferenza il
cui diametro è V).
3URSRU]LRQDOLWjWUDFODVVLGLJUDQGH]]H
Supponiamo di avere due classi di grandezze 61 e 62 tra le quali è stabilita una
corrispondenza biunivoca in base alla quale agli elementi $1 , %1 , &1 , della prima classe
corrispondono gli elementi $2 , %2 , & 2 , della seconda. Se il rapporto tra due qualunque
grandezze $1 , %1 di 61 è uguale al rapporto tra le due corrispondenti grandezze $2 , %2 di 62
,OWHRUHPDGL7DOHWH
diremo che 61 e 62 sono FODVVLGLJUDQGH]]HGLUHWWDPHQWHSURSRU]LRQDOL. Vale cioè la seguente
definizione:
'XH FODVVL GL JUDQGH]]H LQ FRUULVSRQGHQ]D ELXQLYRFD VL GLFRQR GLUHWWDPHQWH
SURSRU]LRQDOL TXDQGR LO UDSSRUWR WUD GXH JUDQGH]]H TXDOXQTXH GHOOD SULPD FODVVH q
XJXDOHDOUDSSRUWRGHOOHGXHJUDQGH]]HFRUULVSRQGHQWLGHOODVHFRQGDFODVVH
Per due classi di grandezze direttamente proporzionali il rapporto tra la PLVXUD di un
elemento della prima classe e la PLVXUD del corrispondente elemento della seconda classe
(quindi un rapporto tra numeri, non tra grandezze) assume lo stesso valore qualunque sia
l’elemento scelto; a tale valore si da il nome di FRVWDQWHGLSURSRU]LRQDOLWj. Questo risultato
può essere facilmente dedotto dalle proprietà della misura e delle proporzioni numeriche.
&ULWHULRGLSURSRU]LRQDOLWj
Per poter stabilire se due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono
direttamente proporzionali vale un importante criterio, espresso dal seguente teorema:
'XHFODVVLGLJUDQGH]]HLQFRUULVSRQGHQ]DELXQLYRFDVRQRGLUHWWDPHQWHSURSRU]LRQDOLVH
H VROWDQWRVH
• D JUDQGH]]HXJXDOLGHOODSULPDFODVVHFRUULVSRQGRQRJUDQGH]]HXJXDOLGHOODVHFRQGD
• DOOD VRPPD GL GXH JUDQGH]]H GHOOD SULPD FODVVH FRUULVSRQGH OD VRPPD GHOOH
FRUULVSRQGHQWLJUDQGH]]HGHOODVHFRQGD
Osserviamo che per il sussistere della proporzionalità è essenziale che entrambe le
condizioni siano soddisfatte. Consideriamo ad esempio la corrispondenza biunivoca che
associa ad ogni segmento il quadrato che ha per lato quel segmento. È chiaro che a segmenti
uguali corrispondono quadrati uguali e viceversa, ma alla somma di due segmenti D e E
corrisponde il quadrato di lato D + E che non è uguale e neanche equivalente alla somma dei
quadrati di lato D e E rispettivamente (bisogna infatti aggiungere due volte il rettangolo di lati
D e E). Le due classi non sono pertanto direttamente proporzionali.
Dimostriamo il teorema diretto: se le classi di grandezze 61 e 62 sono direttamente
proporzionali, la corrispondenza tra di esse conserva l’uguaglianza e la somma. Supponiamo
infatti che valga la proporzione $1 : %1 = $2 : %2 , con $1 , %1 appartenenti ad 61 e $2 , %2
appartenenti ad 62; inoltre $1 = %1 . Applicando la definizione di proporzione degli (OHPHQWL
al caso dell’uguaglianza con P = Q = 1 avremo che anche $2 = %2 ; pertanto la
corrispondenza conserva l’uguaglianza.
Considerando nuovamente la proporzione $1 : %1 = $2 : %2 , con $1 , %1 appartenenti ad 61
e $2 , %2 appartenenti ad 62, applichiamo ad essa la proprietà del comporre:
$1 : ($1 + %1 ) = $2 : ($2 + %2 ). Ora, $1 + %1 è un elemento di 61 al quale corrisponderà un
certo elemento – chiamiamolo .2 – di 62. Dovrà valere pertanto la proporzione:
$1 : ($1 + %1 ) = $2 : . 2 . Confrontando le due proporzioni otteniamo che, in virtù del teorema
dell’unicità del quarto proporzionale, dovrà essere . 2 = $2 + %2 . La corrispondenza tra 61 e
62 conserva quindi anche la somma, e la prima parte del teorema è così dimostrata.
Passiamo adesso al teorema inverso: se la corrispondenza biunivoca tra due classi di
grandezze conserva l’uguaglianza e la somma, le classi sono direttamente proporzionali. Per
prima cosa osserviamo che se $1 , %1 e +1 sono tre elementi di 61 tra i quali vale la relazione
$1 = %1 + + 1 , tra i corrispondenti elementi $2 , %2 e +2 di 62 tra si avrà la relazione
2
,OWHRUHPDGL7DOHWH
$2 = %2 + + 2 , in quanto la corrispondenza conserva la somma. Quindi, se $1 > %1 anche
$2 > %2 . Ora, sempre in virtù del fatto che la corrispondenza conserva la somma, alla
grandezza $1 + $1 + $1 + = Q$1 di 61 corrisponderà la grandezza Q$2 di 62. Analogamente,
al multiplo P%1 di %1 corrisponderà il multiplo P%2 di %2 (e similmente nel caso di minore).
Perciò, in base a quanto visto sopra, se Q$1 > P%1 sarà anche Q$2 > P%2 . Infine, poiché la
corrispondenza conserva l’uguaglianza, nel caso in cui Q$1 = P%1 avremo che anche
Q$2 = P%2 . Si ricade quindi esattamente nella definizione di proporzione data da Euclide nel
quinto libro degli (OHPHQWL, e anche la seconda parte del teorema è dimostrata. Formalizziamo
i passaggi della dimostrazione cominciando dal teorema diretto:
,SRWHVL: $1 : %1 = $2 : %2 , con $1 , %1 appartenenti ad 61 e corrispondenti ad $2 , %2
appartenenti ad 62
7HVL : $1 = %1 ⇔ $2 = %2 (definizione di proporzione, ipotesi)
$1 : ($1 + %1 ) = $2 : ($2 + %2 ) (proprietà del comporre, ipotesi)
$1 : ($1 + %1 ) = $2 : . 2 (ipotesi)
7HVL: . 2 = $2 + %2 (teorema unicità quarto proporzionale, 2, 3)
Teorema inverso:
,SRWHVL: la corrispondenza tra 61 ed 62 conserva l’uguaglianza e la somma
ad $1 = %1 + + 1 corrisponde $2 = %2 + + 2 (ipotesi)
se $1 > %1 anche $2 > %2 (1)
ad Q$1 corrisponde Q$2 e ad P%1 corrisponde P%2 (ipotesi)
Q$1 > P%1 ⇒ Q$2 > P%2 e Q$1 < P%1 ⇒ Q$2 < P%2 (2, 3)
Q$1 = P%1 ⇒ Q$2 = P%2 (ipotesi)
7HVL: $1 : %1 = $2 : %2 (definizione di proporzione, 4,5)
/DFRUULVSRQGHQ]DGL7DOHWH
Consideriamo un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali (cioè due rette non
parallele alle rette del fascio) U ed V, come mostrato in Figura 1. Possiamo stabilire una
corrispondenza tra i punti delle due rette associando ad ogni punto di U l’intersezione tra la
retta del fascio per quel punto e la retta V. Si tratta di una corrispondenza biunivoca; infatti:
dato un punto $ di U esiste sempre almeno un punto $′ corrispondente su V poiché
né U né V sono parallele alle rette del fascio (per ipotesi) e due rette non parallele si
incontrano in uno e un solo punto;
di punti $′ ne esiste uno solo perché se così non fosse vorrebbe dire che vi è nel
fascio più di una retta passante per $, ma questo è contrario al quinto postulato.
Poiché una coppia di punti individua univocamente un segmento, la corrispondenza tra
punti vista sopra permette di stabilirne un’altra, tra i segmenti delle due rette U ed V. Anche in
questo caso si tratta di una corrispondenza biunivoca, alla quale diamo il nome di
FRUULVSRQGHQ]DGL7DOHWH.
,OWHRUHPDGL7DOHWH
La corrispondenza di Talete tra segmenti tra due trasversali ad un fascio di rette parallele
gode di una importante proprietà espressa dal seguente teorema (detto di Talete):
3
,OWHRUHPDGL7DOHWH
8Q IDVFLR GL UHWWH SDUDOOHOH LQGLYLGXD VX GXH WUDVYHUVDOL GXH FODVVL GL VHJPHQWL
GLUHWWDPHQWHSURSRU]LRQDOL
Per dimostrare questo
teorema dobbiamo far vedere
che a segmenti uguali su una
retta corrispondono segmenti
uguali sull’altra e che alla
somma di segmenti su una
retta corrisponde la somma
dei corrispondenti sull’altra.
A
tal
fine
facciamo
riferimento alla Figura 1.
Siano $% e &' due
segmenti uguali su U ai quali
corrispondono $′% ′ e & ′' ′
su V; dobbiamo mostrare che
$′% ′ = & ′' ′ .
Tracciamo per $ una retta
parallela ad V che incontra
%% ′ in 3 e per & un’altra
parallela ad V che incontra '' ′ )LJXUD/DFRUULVSRQGHQ]DHLOWHRUHPDGL7DOHWH
in 4. I triangoli $%3 e &'4
sono uguali (secondo criterio); infatti: $% = '& per ipotesi, $%ˆ 3 = &'ˆ 4 perché angoli
corrispondenti delle rette parallele %% ′ e '' ′ tagliate dalla trasversale U; %$ˆ 3 = '&ˆ 4
perché angoli corrispondenti delle rette parallele $3 e &4 tagliate dalla trasversale U. Pertanto
$3 = &4 (elementi corrispondenti in triangoli uguali).
Ora, il quadrilatero $3% ′$′ ha le coppie di lati opposti paralleli ( $$′ e 3% ′ per ipotesi,
$3 e $′% ′ per costruzione) e quindi è un parallelogramma; per lo stesso motivo anche
&4' ′& ′ è un parallelogramma. In un parallelogramma i lati opposti sono uguali, quindi
$3 = $′% ′ e &4 = & ′' ′ . Ma avevamo visto che $3 = &4 , pertanto $′% ′ = & ′' ′ ; questo
dimostra la prima condizione del criterio di proporzionalità (a segmenti uguali corrispondono
segmenti uguali).
Consideriamo ora su U un segmento (* pari alla somma di $% e %&; dobbiamo mostrare
che anche il corrispondente su V ( ′* ′ è uguale alla somma dei corrispondenti $′% ′ e % ′& ′ .
A tale scopo prendiamo su U il punto ) che divide il segmento (* in due parti tali che
() = $% e )* = %& . La retta del fascio per ) individua su V un punto ) ′ interno al
segmento ( ′* ′ . Poiché abbiamo già dimostrato che la corrispondenza di Talete conserva
l’uguaglianza, avremo che ( ′) ′ = $′% ′ e ) ′* ′ = % ′& ′ ; ma ( ′* ′ = ( ′) ′ + ) ′* ′ , e quindi
( ′* ′ = $′% ′ + % ′& ′ . Resta così dimostrata anche la seconda condizione del criterio di
proporzionalità (alla somma di segmenti corrisponde la somma dei segmenti corrispondenti).
Osserviamo infine che questo teorema è facilmente invertibile (la dimostrazione è lasciata per
esercizio); cioè se due o più rette staccano su una coppia di trasversali segmenti proporzionali,
esse sono parallele tra loro.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione del teorema di Talete:
,SRWHVL: U ed V trasversali del fascio di rette parallele; $% = &' ; (* = $% + %& ; $3 e &4
paralleli ad V; () = $% , )* = %& , )) ′ appartenente al fascio
$% = &' (ipotesi)
4
,OWHRUHPDGL7DOHWH
$%ˆ 3 = &'ˆ 4 (angoli corrispondenti delle parallele %% ′ e '' ′ tagliate dalla trasversale
U; criterio inverso parallelismo, ipotesi)
%$ˆ 3 = '&ˆ 4 (angoli corrispondenti delle parallele $3 e &4 tagliate dalla trasversale U,
criterio inverso parallelismo, ipotesi)
$%3 = &'4 (secondo criterio di uguaglianza, 1, 2, 3)
$3 = &4 (E.C.T.U., 4)
$3% ′$′ parallelogramma (ipotesi)
&4' ′& ′ parallelogramma (ipotesi)
$3 = $′% ′ (proprietà parallelogramma, 6)
&4 = & ′' ′ (proprietà parallelogramma, 7)
$′% ′ = & ′' ′ (9, 8, 5)
( ′) ′ = $′% ′ (10, ipotesi)
) ′* ′ = % ′& ′ (10, ipotesi)
( ′* ′ = $′% ′ + & ′' ′ (11, 12)
7HVL: i segmenti staccati su U ed V dal fascio costituiscono una coppia di classi di
grandezze proporzionali (criterio di proporzionalità, 5, 13).
Rappresentiamo lo schema logico della dimostrazione:
)LJXUD6FKHPDORJLFRGHOODGLPRVWUD]LRQHGHOWHRUHPDGL7DOHWH
$OFXQHFRQVHJXHQ]HGHOWHRUHPDGL7DOHWH
Vi sono molte costruzioni geometriche e proprietà che discendono dal teorema di Talete.
Alcune di queste sono lasciate come esercizio, ma di un paio – particolarmente significative –
vedremo in dettaglio la dimostrazione.
5
,OWHRUHPDGL7DOHWH
'LYLVLRQHGLXQVHJPHQWRLQSDUWLSURSRU]LRQDOL
La proposizione 10 del VI libro degli (OHPHQWL è una costruzione geometrica, e recita:
'LYLGHUHXQDUHWWDGDWDHGLQGLYLVDLQSDUWLSURSRU]LRQDOLHVLPLOPHQWHGLVSRVWHULVSHWWR
D TXHOOHGLXQ¶DOWUDUHWWDGDWDJLjGLYLVDLQSDUWL
Ricordiamo che Euclide con il termine “retta” intende il segmento, pertanto il senso di
questa proposizione è il seguente: dato un segmento suddiviso in due o più parti, dividere un
secondo segmento in parti proporzionali a quelle del primo.
Per la costruzione facciamo riferimento alla Figura 3 (nella quale si ha la divisione in due
parti, ma la generalizzazione ad un numero arbitrario di parti è immediata). Sia $% il primo
segmento, suddiviso dal punto & in due parti: $& e &%. Portiamo un estremo del secondo
segmento a coincidere con $ in modo che le semirette V ed U contenenti rispettivamente il
primo e il secondo segmento formino un angolo qualsiasi; sia ' il secondo estremo del
secondo segmento.
Uniamo poi % con ' e
tracciamo la retta W passante
per & e parallela a %', la
quale incontra la U in (, che è
proprio il punto di divisione
cercato. Infatti W e la retta per %
e ' sono due parallele tagliate
dalle trasversali U ed V; quindi,
in base al teorema di Talete,
avremo: $& : &% = $( : (' .
Scriviamo i vari passi della
costruzione (in riferimento alla
)LJXUD'LYLVLRQHGLXQVHJPHQWRLQSDUWLSURSRU]LRQDOL
Figura 3):
riportare i due segmenti sui
lati di un angolo qualsiasi a partire dal vertice
unire % con '
tracciare la retta W parallela a %'
l’intersezione ( di W con $' è il punto cercato
Da questa costruzione ne discendono immediatamente diverse altre, come ad esempio la
divisione di un segmento in parti uguali o la costruzione del quarto proporzionale di tre
segmenti assegnati, che lasciamo per esercizio.
7HRUHPDGHOODELVHWWULFHGHOO¶DQJRORLQWHUQR
La proposizione 3 del VI libro degli (OHPHQWL esprime un importante risultato,
comunemente noto come “teorema della bisettrice dell’angolo interno”, in base al quale in un
triangolo la bisettrice di un angolo divide il lato su cui cade in parti proporzionali agli altri
due lati; questa proposizione può anche essere invertita. Vale cioè il seguente teorema:
/DELVHWWULFHGLXQDQJRORGLXQWULDQJRORFDGHQGRVXOODWRRSSRVWRORGLYLGHLQGXHSDUWL
FKHVRQRSURSRU]LRQDOLDLULPDQHQWLODWLYLFHYHUVDVHGLYLGLDPRXQODWRGLXQWULDQJROR
6
,OWHRUHPDGL7DOHWH
LQGXHSDUWLFKHVLDQRSURSRU]LRQDOLDLULPDQHQWLODWLLOVHJPHQWRFKHXQLVFHLOSXQWRGL
GLYLVLRQHFRQLOYHUWLFHRSSRVWRGLYLGHDPHWjO¶DQJRORGLWDOHYHUWLFH
Iniziamo dal teorema diretto. Per la dimostrazione
facciamo riferimento alla Figura 4. Sia &' la bisettrice
dell’angolo in & del triangolo $%&. Prolunghiamo il lato $&
oltre & e tracciamo la parallela a &' passante per %; queste
ultime due rette si incontreranno in un punto ( (è facile
mostrare che le due rette devono necessariamente incontrarsi
indipendentemente dalle caratteristiche del triangolo $%&;
infatti la retta $& incontra &' in & e quindi dovrà incontrare
ogni altra parallela a &', in particolare %().
Osserviamo ora che '&ˆ % = &%ˆ ( in quanto alterni interni
delle due rette parallele tagliate dalla trasversale &%. Inoltre
è anche $&ˆ ' = &(ˆ % poiché sono angoli corrispondenti
delle due rette parallele tagliate dalla trasversale $(. Ma
$&ˆ ' = '&ˆ % poiché &' è la bisettrice di $&ˆ % , e quindi
&%ˆ ( = &(ˆ % . Ora, nel triangolo (&% gli angoli alla base
sono uguali, pertanto esso è isoscele, cioè: %& = &( .
)LJXUD 7HRUHPD GHOOD
Dato che $% e $( sono due trasversali che tagliano le rette ELVHWWULFHGHOO¶DQJRORLQWHUQR
parallele &' e %( avremo, in base al teorema di Talete, che
$' : '% = $& : &( . Ma abbiamo visto che %& = &( , e quindi $' : '% = $& : %& .
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione del teorema diretto:
,SRWHVL: &' bisettrice dell’angolo in & del triangolo $%&; la costruzione di Figura 4
'&ˆ % = &%ˆ ( (criterio inverso di parallelismo, ipotesi)
$&ˆ ' = &(ˆ % (criterio inverso di parallelismo, ipotesi)
$&ˆ ' = '&ˆ % (ipotesi)
&%ˆ ( = &(ˆ % (1, 2, 3)
%& = &( (teorema inverso triangolo isoscele, 4)
$' : '% = $& : &( (teorema di Talete, ipotesi)
7HVL: $' : '% = $& : %& (6, 5)
Passiamo ora al teorema inverso. Sempre con riferimento alla Figura 4 sia ' un punto che
divide il lato $% in modo tale che $' : '% = $& : %& , e prolunghiamo $& dalla parte di & di
un segmento &( = &% . Vale quindi la proporzione $' : '% = $& : &( , da cui – in base alla
proposizione inversa del teorema di Talete – possiamo dedurre che &' e %( sono parallele.
Ora, poiché il triangolo &%( è isoscele, &%ˆ ( = &(ˆ % . Inoltre '&ˆ % = &%ˆ ( (angoli alterni
interni delle due rette parallele tagliate dalla trasversale &%) e $&ˆ ' = &(ˆ % (angoli
corrispondenti delle due rette parallele tagliate dalla trasversale $(). Pertanto $&ˆ ' = '&ˆ % ,
cioè &' è la bisettrice dell’angolo $&ˆ % .
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione del teorema inverso:
,SRWHVL: $' : '% = $& : %& ; la costruzione di Figura 4 in cui &( = &%
$' : '% = $& : &( (ipotesi)
&' e %( parallele (inverso teorema di Talete, 1)
&%ˆ ( = &(ˆ % (teorema triangolo isoscele, ipotesi)
'&ˆ % = &%ˆ ( (criterio inverso di parallelismo, 2)
$&ˆ ' = &(ˆ % (criterio inverso di parallelismo, 2)
7
,OWHRUHPDGL7DOHWH
7HVL: $&ˆ ' = '&ˆ % (3, 4, 5)
(VHUFL]LRVYROWRHQXQFLDWRRULJLQDOHGHOWHRUHPDGL7DOHWH
Il teorema di Talete compare negli (OHPHQWLdi Euclide (proposizione 2 del VI libro), ma
non viene enunciato e dimostrato nella maniera vista nel precedente paragrafo, in quanto il
concetto di classe di grandezze direttamente proporzionali è una acquisizione della
matematica relativamente recente. Vedremo in un successivo capitolo la dimostrazione
originale di Euclide, ma per il momento ci accontentiamo di mostrare che il teorema appena
dimostrato implica l’enunciato degli (OHPHQWL, cioè che:
6H LQ XQ WULDQJROR VL FRQGXFH XQD UHWWD SDUDOOHOD DG XQR GHL ODWL HVVD GLYLGH
SURSRU]LRQDOPHQWHLGXHDOWULODWLGHOWULDQJRORHVHGXHODWLGLXQWULDQJRORVRQRGLYLVL
SURSRU]LRQDOPHQWH OD UHWWD FKH FRQJLXQJH L SXQWL GL GLYLVLRQH VDUj SDUDOOHOD DO
ULPDQHQWHODWRGHOWULDQJROR
Per la dimostrazione facciamo
riferimento alla Figura 5. Teorema
diretto: sia U una retta parallela al
lato $%; essa appartiene al fascio di
rette parallele (del quale, per
maggior
chiarezza
abbiamo
disegnato anche la retta passante
per &) di cui i lati $& e %& sono
due trasversali. Dal teorema di
Talete segue immediatamente che i
segmenti staccati dalle parallele del
fascio sui due lati costituiscono
classi di grandezze direttamente
proporzionali,
pertanto: )LJXUD(VHUFL]LRVYROWR
&' : '$ = &( : (% .
Teorema inverso: procediamo per assurdo e supponiamo che la retta U non sia parallela ad
$%. Potremo quindi tracciare per ' la retta U ′ (distinta da U) parallela ad $% che incontrerà
&% in ( ′ . In base al teorema diretto avremo quindi: &' : '$ = &( ′ : ( ′% , da cui, applicando
la proprietà del comporre: $& : '$ = %& : ( ′% . D’altra parte per ipotesi vale la proporzione
&' : '$ = &( : (% che, applicando la proprietà del comporre, diventa: $& : '$ = %& : (% .
Confrontando le due proporzioni ottenute e invocando l’unicità del quarto proporzionale
otteniamo che (% = ( ′% , cioè che i punti ( ed ( ′ coincidono, come pure le rette U ed U ′
(dato che per due punti passa una sola retta, primo postulato del primo libro degli (OHPHQWL),
contraddicendo in tal modo l’assunzione iniziale.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione (solo per il teorema inverso, dato che quello
diretto è un corollario immediato del teorema di Talete):
,SRWHVL: &' : '$ = &( : (%
U non parallela ad $% (tesi negata)
U ′ parallela ad $% e distinta da U (1)
&' : '$ = &( ′ : ( ′% (teorema diretto, 2)
$& : '$ = %& : ( ′% (proprietà del comporre, 3)
$& : '$ = %& : (% (proprietà del comporre, ipotesi)
(% = ( ′% (unicità del quarto proporzionale, 4, 5)
8
,OWHRUHPDGL7DOHWH
U = U ′ (primo postulato, 6)
Assurdo (1, 7)
7HVL: U parallela ad $%
Rappresentiamo lo schema logico della dimostrazione:
)LJXUD6FKHPDORJLFRGHOODGLPRVWUD]LRQHGHOO
HVHUFL]LRVYROWRWHRUHPDLQYHUVR
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Che cos è una FODVVH GLJUDQGH]]H?
Fai qualche esempio di classe di grandezze.
Che cosa significa che due classi di grandezze sono in corrispondenza biunivoca?
Fai qualche esempio di classi di grandezze in corrispondenza biunivoca.
Fai un esempio di una corrispondenza non biunivoca tra due classi di grandezze.
Quando due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca si dicono direttamente
proporzionali?
Che cos è la FRVWDQWH GL SURSRU]LRQDOLWj nelle classi di grandezze direttamente
proporzionali?
Enuncia il criterio di proporzionalità tra classi di grandezze.
Fai un esempio di classi di grandezze in corrispondenza biunivoca tra cui non vale
la proporzionalità perché una delle due condizioni del criterio viene a cadere,
malgrado l’altra sia valida.
Dimostra il criterio di proporzionalità tra classi di grandezze.
Dimostra che tra i punti di due trasversali che tagliano un fascio di rette parallele
esiste una corrispondenza biunivoca.
9
,OWHRUHPDGL7DOHWH
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Che cos è la FRUULVSRQGHQ]DGL7DOHWH?
Enuncia e dimostra il teorema di Talete.
Illustra la costruzione per dividere un segmento in parti proporzionali (proposizione
10 del VI libro).
Enuncia il teorema della bisettrice dell’angolo interno (proposizione 3 del VI libro).
Dimostra la prima parte (proposizione diretta) del teorema dell’angolo interno.
Per quale motivo nella dimostrazione del teorema della bisettrice dell’angolo
interno – facendo riferimento alla Figura 4 – la parallela alla bisettrice per % e il
prolungamento di $& devono necessariamente incontrarsi?
Dimostra la seconda parte (proposizione inversa) del teorema della bisettrice
dell’angolo interno.
Qual è l’enunciato originale del Teorema di Talete (proposizione 2 del VI libro)?
Dimostra l’enunciato originale del Teorema di Talete (proposizione 2 del VI libro)
utilizzando i risultati visti in questa lezione.
3UREOHPL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
È data la classe 6 dei segmenti e la classe 5D dei rettangoli aventi un lato fissato
pari ad D. Introduciamo la corrispondenza che ad ogni segmento E di 6 associa il
rettangolo avente E come altro lato. Dimostra che si tratta di una corrispondenza
biunivoca e che le due classi risultano in tal modo direttamente proporzionali.
È data la classe 6 dei segmenti e la classe 7D dei triangoli isosceli aventi base
fissato pari ad E. Introduciamo la corrispondenza che ad ogni segmento K di 6
associa il triangolo avente K come altezza. Dimostra che si tratta di una
corrispondenza biunivoca e che le due classi risultano in tal modo direttamente
proporzionali.
Sono date le classi 5D e 5E dei rettangoli aventi un lato fissato rispettivamente pari
ad D e a E. Dimostra che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra le
due classi e che si tratta di classi di grandezze direttamente proporzionali.
Dimostra che il rettangolo di dimensioni D e E è medio proporzionale tra i quadrati
di lato D e E rispettivamente. (6XJJHULPHQWR IDL ULIHULPHQWR DO SUHFHGHQWH
SUREOHPD)
Dato il rettangolo 5 (D; E ) di dimensioni D e E, e il rettangolo 5 (D ′; E′) di
dimensioni D ′ e E ′ , tra loro equivalenti, dimostra che vale la proporzione
D : D ′ = E ′ : E (6XJJHULPHQWRFRQVLGHUDLWUHUHWWDQJROL 5 (D; E ) , 5 (D ′; E′) , 5 (D ′; E ) H
IDLULIHULPHQWRDOSUREOHPD)
Dimostra che, in un triangolo, la parallela ad uno dei lati di passante per il
baricentro divide gli altri due lati in parti tali che una sia doppia dell’altra.
Sul lato $% del triangolo $%& prendi due punti ' ed ( tali che $' = '( = (% .
Traccia poi per ' la parallela ad $& che incontra %& in . e per ( la parallela a %&
che incontra $& in -. Dimostra che .- e $% sono parallele.
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