Esercitazione del 7/12/10

Esercitazione del 7/12/10
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
Corso di Microeconomia, Titolare del Corso Luigi Marattin
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Esercizi.
1.1
A monte di un’azienda che produce frutta si trova un’acciaieria, che inquina
l’acqua normalmente impiegata per irrigare i frutteti. La funzione di costo
totale dell’acciaieria é:
T Ca = a2 + (4 − i)2
dove a é la quantitá di acciaio ed i é la quantitá di inquinamento prodotti
dall’impianto. La funzione di costo dell’azienda ortofrutticola é invece:
T Cf = f 2 + i
dove f é la quantitá di frutta prodotta. I prezzi di mercato dell’acciaio e della
frutta sono, rispettivamente, pa e pf . Si calcoli il livello di inquinamento
prodotto dall’acciaieria quando questa massimizza i propri profitti e lo si
confronti con quello socialmente efficiente.
1.2
Elisa ama ascoltare musica techno ad altissimo volume a qualsiasi ora del
giorno e della notte. Paola, la sua compagna di appartamento, odia la musica
techno. In particolare Elisa e Paola hanno le seguenti funzioni di utilitá:
UE = 5 + 8h − 0.2h2
UP s = 5 − 6h
Dove h é il numero di ore durante le quali Elisa ascolta musica techno.
Determinare:
(a) il numero di ore di musica techno socialmente ottimale;
1
(b) il numero di ore di musica techno che Elisa ascolterebbe in assenza di
regole che le impongano di smettere;
(c) Supponiamo che entri in vigore un nuovo regolamento condominiale
che impedisca l’ascolto di musica ad alto volume negli appartamenti.
Qual’é la somma massima che Elisa é disposta a pagare a Paola affinché
questa le accordi il permesso di ascoltare musica senza denunciarla?
1.3
L’impresa A adotta un sistema di produzione che genera inquinamento. La
funzione di costo totale dell’impresa A é
2
T CA = qA
in cui qA é la quantitá totale prodotta dall’impresa A. L’impresa opera in
un mercato perfettamente concorrenziale e pA é il prezzo unitario di mercato
del bene prodotto da A. L’inquinamento prodotto da A causa una riduzione
dei profitti dell’impresa B, i cui costi totali di produzione sono dati
2
T CB = qB
+ 2qA
dove qB é la quantitá prodotta da B e pB é il prezzo del bene prodotto da
B. Si determini:
(a) La quantitá prodotta da ciascuna impresa in corrispondenza di un equilibrio perfettamente concorrenziale;
(b) La produzione di ciascuna impresa in corrispondenza dell’equilibrio
socialmente ottimale.
1.4
Le funzioni di utilitá dei consumatori A e B sono le seguenti:
UA = x1/2 y 1/2
UB = x1/3 y 2/3
definite sul bene privato y e sul bene pubblico x. Il prezzo del bene y é pari
a 3 euro e i consumatori hanno reddito pari rispettivamente a 36 euro e 21
euro. Il costo marginale di produzione del bene pubblico x é costante e pari
a 5 euro. Qual’é la quantitá di bene pubblico che deve essere prodotta in
equilibrio?
2
2
Domande a risposta multipla, Teoria.
2.1
Nell’equilibrio di un mercato concorrenziale un fenomeno di esternalità positiva può essere segnalato dal fatto che:
(a) Il beneficio marginale sociale è inferiore al beneficio marginale privato
(b) Il costo marginale sociale è inferiore al costo marginale privato
(c) Il prezzo di equilibrio è inferiore al beneficio marginale privato
(d) Il costo marginale privato è inferiore al beneficio marginale privato
(e) La quantità di equilibrio è superiore alla quantità socialmente efficiente
2.2
Conoscendo le curve di domanda di un bene pubblico da parte dei vari consumatori, come si misura il beneficio marginale sociale?
(a) Sommando orizzontalmente le curve di domanda individuali
(b) Sommando verticalmente le curve di domanda individuali
(c) Moltiplicando il prezzo per la quantità domandata
(d) Prendendo l’area sotto la più alta delle curve di domanda individuali
(d) Sommando le aree sotto le diverse curve di domanda individuali
2.3
Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera nel caso di un bene
pubblico?
(a) La curva di beneficio marginale sociale sta sotto la curva di costo
marginale
(b) La curva di beneficio marginale individuale è crescente
(c) La curva di beneficio marginale individuale sta sotto quella di beneficio
marginale sociale
(d) La curva di beneficio marginale individuale sta sopra quella di costo
marginale
(d) La curva di costo marginale non esiste
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Soluzioni suggerite
1.1:
Il livello di inquinamento che risulta dalla massimizzazione dell’impresa A
si ricava dalla condizione di massimizzazione dei profitti di questa impresa
rispetto a i. La funzione di profitto di A é:
πa = pa a − a2 − (4 − i)2
La condizioni di primo ordine della sua massimizzazione sono le seguenti:
∂πa
= pa − 2a = 0
∂a
∂πa
= 2(4 − i) = 0
∂i
da cui si ottiene che la quantitá ottimale di inquinamento per l’acciaieria
é i∗ = 4, mentre la quantitá ottima di acciaio é a∗ = pa /2. L’obiettivo
dell’azienda agricola é di massimizzare la seguente funzione di profitto:
πf = pf f − f 2 − i
Da cui si ricava che la quantitá di frutta prodotta é f ∗ = pf /2. Per ricavare
i livelli di produzione Pareto-efficienti, occorre massimizzare la seguente funzione:
Π = πa + πf = pa a + pf f − a2 − (4 − i)2 − f 2 − i
Le condizioni di primo ordine sono:
∂Π
= pa − 2a = 0 → a∗ = pa /2
∂a
∂Π
= pf − 2f = 0 → f ∗ = pf /2
∂f
∂Π
= −1 + 2(4 − i) = 0 → i∗ = 7/2
∂i
Che é inferiore a quello ottenuto nel caso precedente. Quindi, se si tiene
conto del suo costo sociale, la produzione di inquinamento risulta più bassa.
1.2:
Punto (a): Il numero di ore socialmente ottimo si ottiene eguagliando il
beneficio marginale che Elisa trae dall’ascolto di un’ora aggiuntiva di musica
con il costo marginale di tale ora per Paola:
M BE (h) =
∂UE (h)
= 8 − 0.4h
∂h
4
∂UP (h)
=6
∂h
8 − 0.4h = 6
M CP (h) =
h∗ = 5
Punto (b): Se Elisa puó ascoltare musica senza limitazioni, sceglierá di
ascoltarla fno a quando il beneficio marginale é nullo:
∂UE (h)
= 8 − 0.4h = 0
∂h
h0 = 20
Punto (c): Supponiamo che il regolamento condominiale vieti ad Elisa di
ascoltare musica ad alto volume e che Paola possa invocare il rispetto del
regolamento nel caso in cui Elisa lo violi. Elisa puó peró offrire un pagamento a Paola come compenso per il costo sopportato se le lascia ascoltare
la musica. In particolare Elisa potrebbe proporre a Paola di lasciarle ascoltare musica per il numero di ore socialmente ottimale h∗ = 5. In tal caso
Paola sopporterebbe un costo pari a 30 = UP (0) − UP (5) = 5 − (−25) = 30,
mentre il beneficio per Elisa sarebbe dato da UE (5) − UE (0) = 40 − 5 = 35.
La somma che Elisa sarebbe disposta a pagare a Paola é dunque pari a 35
e poiché tale somma é maggiore della variazione di costo subita da Paola, le
due troveranno senz’altro un accordo.
1.3:
Punto (a):In equilibrio concorrenziale ciascuna impresa produce la quantità che massimizza i profitti, ovvero quella in corrispondenza della quale
il prezzo di mercato uguaglia il costo marginale. Per l’impresa A avremo:
0 = p0 /2. Allo stesso
M CA = 2qA = pA da cui la quantità prodotta è qA
A
0
0
modo per l’impresa B avremo qB = pB /2.
Punto (b): Il livello socialmente ottimo di produzione é quello che tiene
conto dell’esternalitá negativa imposta all’impresa B. Tale livello di prodotto
si ottiene uguagliando il beneficio marginale per l’impresa A al costo marginale
sociale, dato dalla somma del costo marginale dell’impresa A e dell’aumento
CB
del costo marginale sopportato dall’impresa B, pari a ∂T
∂qA = 2. Il costo
marginale sociale dell’attivitá dell’impresa A sará pertanto M SC = 2qA +
2 > M CA = 2qA . La quantitá di prodotto socialmente ottima sará dunque
ottenuta risolvendo
pA = 2qA + 2
∗ = (p −2)/2. Tale quantitá é inferiore alla quantitá prodotta
e sará pari a qA
A
da A quando A tiene conto soltanto del costo marginale di produzione e non
di quello sociale (piú alto). La produzione di B rimane invariata, perche il
5
suo processo produttivo non comporta esternalitá di sorta.
1.4:
Dobbiamo inannzitutto definire la domanda di bene pubblico per entrambi i
consumatori. Questo implica risolvere il problema di massimizzazione della
loro utilitá sotto il vincolo di bilancio. Il saggio marginale di sostituzione per
i due consumatori é (tralasciamo i calcoli, giá visti in piú di un’occasione):
y
x
M RSA =
1y
2x
mentre il rapporto tra i prezzi dei due beni é:
M RSB =
px
3
Per il consumatore A varrá allora che:
(
(
y
M RSA = ppxy
= p3x
→ x
px x + 3y = 36
px x + 3y = 36
(
y = p3x x
→
px x + 3( p3x x) = 36
e quindi:
pA
x =
18
x
allo stesso modo possiamo ricavare:
pB
x =
7
x
Dato che la domanda agggregata di bene pubblico é la somma verticale delle
domande dei singoli consumatori possiamo scrivere:
B
px = pA
x + px
ovvero
18 7
25
+ =
x
x
x
Dato che i costi marginali sono costanti allora la funzione di offerta aggregata
sará anch’essa costante e pari a 5. Domanda e offerta del bene pubblico si
incontrano allora per:
25
=5
x
px =
6
e quindi per
x=5
Domande a risposta multipla: (b), (b), (c).
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