Microeconomia, Esercitazione 8
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
1.1
Esercizi.
Esternalità/1
A monte di un’azienda che produce frutta si trova un’acciaieria, che inquina
l’acqua normalmente impiegata per irrigare i frutteti. La funzione di costo
totale dell’acciaieria é:
T Ca = a2 + (4 i)2
dove a é la quantitá di acciaio ed i é la quantitá di inquinamento prodotti
dall’impianto. La funzione di costo dell’azienda ortofrutticola é invece:
T Cf = f 2 + i
dove f é la quantitá di frutta prodotta. I prezzi di mercato dell’acciaio e della
frutta sono, rispettivamente, pa e pf . Si calcoli il livello di inquinamento
prodotto dall’acciaieria quando questa massimizza i propri profitti e lo si
confronti con quello socialmente efficiente.
1.2
Esternalità/2
Elisa ama ascoltare musica techno ad altissimo volume a qualsiasi ora del
giorno e della notte. Paola, la sua compagna di appartamento, odia la musica
techno. In particolare Elisa e Paola hanno le seguenti funzioni di utilitá:
UE = 5 + 8h
UP s = 5
0.2h2
6h
Dove h é il numero di ore durante le quali Elisa ascolta musica techno.
Determinare:
(i) il numero di ore di musica techno socialmente ottimale;
(ii) il numero di ore di musica techno che Elisa ascolterebbe in assenza di
regole che le impongano di smettere;
(iii) Supponiamo che entri in vigore un nuovo regolamento condominiale
che impedisca l’ascolto di musica ad alto volume negli appartamenti.
Qual’é la somma massima che Elisa é disposta a pagare a Paola affinché
questa le accordi il permesso di ascoltare musica senza denunciarla?
1
1.3
Esternalità/3
L’impresa A adotta un sistema di produzione che genera inquinamento. La
funzione di costo totale dell’impresa A é
2
T C A = qA
in cui qA é la quantitá totale prodotta dall’impresa A. L’impresa opera in
un mercato perfettamente concorrenziale e pA é il prezzo unitario di mercato
del bene prodotto da A. L’inquinamento prodotto da A causa una riduzione
dei profitti dell’impresa B, i cui costi totali di produzione sono dati
2
T C B = qB
+ 2qA
dove qB é la quantitá prodotta da B e pB é il prezzo del bene prodotto da
B. Si determini:
(i) La quantitá prodotta da ciascuna impresa in corrispondenza di un equilibrio perfettamente concorrenziale;
(ii) La produzione di ciascuna impresa in corrispondenza dell’equilibrio socialmente ottimale.
1.4
Mercato dei capitali
Si considerino le seguenti alternative:
A
B
Anno
Costi
Ricavi
Costi
Ricavi
1
-100
100
200
2
3
150
150
300
100
Si calcolino i NPV (al tempo 0) nel caso in cui il tasso di interesse nominale
sia pari al 10% e al 5%. Quale sarà l’alternativa migliore nei due casi? Esiste
un livello del tasso d’interesse che garantisce equivalenza tra le alternative?
Perchè?
2
2.1
Domande a risposta multipla, Teoria.
.
Nell’equilibrio di un mercato concorrenziale un fenomeno di esternalità positiva può essere segnalato dal fatto che:
(a) Il beneficio marginale sociale è inferiore al beneficio marginale privato
(b) Il costo marginale sociale è inferiore al costo marginale privato
2
(c) Il prezzo di equilibrio è inferiore al beneficio marginale privato
(d) Il costo marginale privato è inferiore al beneficio marginale privato
(e) La quantità di equilibrio è superiore alla quantità socialmente efficiente
3
Soluzioni suggerite
1.1: Il livello di inquinamento che risulta dalla massimizzazione dell’impresa
A si ricava dalla condizione di massimizzazione dei profitti di questa impresa
rispetto a i. La funzione di profitto di A é:
⇡a = pa a
a2
i)2
(4
Le condizioni di primo ordine della sua massimizzazione sono le seguenti:
@⇡a
= pa
@a
2a = 0
@⇡a
= 2(4 i) = 0
@i
da cui si ottiene che la quantitá ottimale di inquinamento per l’acciaieria
é i⇤ = 4, mentre la quantitá ottima di acciaio é a⇤ = pa /2. L’obiettivo
dell’azienda agricola é di massimizzare la seguente funzione di profitto:
⇡f = pf f
f2
i
Da cui si ricava che la quantitá di frutta prodotta é f ⇤ = pf /2. Per ricavare
i livelli di produzione Pareto-efficienti, occorre massimizzare la seguente funzione:
⇧ = ⇡a + ⇡f = pa a + pf f a2 (4 i)2 f 2 i
Le condizioni di primo ordine sono:
@⇧
= pa
@a
2a = 0 ! a⇤ = pa /2
@⇧
= pf
@f
2f = 0 ! f ⇤ = pf /2
@⇧
= 1 + 2(4 i) = 0 ! i⇤ = 7/2
@i
Che é inferiore a quello ottenuto nel caso precedente. Quindi, se si tiene
conto del suo costo sociale, la produzione di inquinamento risulta più bassa.
Un metodo alternativo (e più semplice anche se non applicabile nel caso
di funzioni di costo più complesse) è il seguente. Con riferimento al primo
punto, ovvero all’individuazione del livello di inquinamento che massimizza
i profitti dell’accieieria, si noti che i ricavi di quest’ultima non sono funzione
dell’inquinamento (dato che il prezzo, ovvero la domanda di mercato, è semplicemente definito come pa ); in questo caso quindi l’inquinamento ottimale
sarà quello che minimizza i costi totali. Per capire quale sia è sufficiente
osservare che il termine (4 i)2 che entra con segno positivo nella funzione di
costo totale, assume valore minimo (=0) per i = 4. Per valori inferiori o speriori a 4 infatti, il termine ha valore positivo. Per individuare invece il livello
4
di inquinamento socialmente efficiente dovremo invece minimizzare il termine (4 i)2 + i che incorpora invece entrambe le determinanti positive delle
funzioni di costo di acciaieria e frutteto che sono funzione dell’inquinamento.
Si noti allora che per i = 4 avremo che questo termine assume valore 4 ma
che lo stesso accade per i = 3. Per valori minori di 3 o maggiori di 4 il
termine assume valori maggiori di 4, ed è quindi escluso che tali livelli di
inquinamento possano essere socialmente efficienti. Per valori compresi tra
3 e 4 invece il termine assume valori inferiori a 4 dato che il termine tra
parentesi e che va elevato al quadrato è necessariamente minore di 1.
1.2: Punto (i): Il numero di ore socialmente ottimo si ottiene eguagliando
il beneficio marginale che Elisa trae dall’ascolto di un’ora aggiuntiva di musica con il costo marginale di tale ora per Paola. Come si può osservare dalle
rispettive funzioni di utilità il beneficio marginale di Elisa sarà una retta con
inclinazione negativa pari a 0,4, mentre il costo marginale di Paola è costante
e pari a 6:
@UE (h)
M BE (h) =
= 8 0.4h
@h
@UP (h)
M CP (h) =
=6
@h
8 0.4h = 6
h⇤ = 5
Punto (ii): Se Elisa puó ascoltare musica senza limitazioni, sceglierá di
ascoltarla fno a quando il beneficio marginale é nullo:
@UE (h)
=8
@h
0.4h = 0
h0 = 20
Punto (iii): Supponiamo che il regolamento condominiale vieti ad Elisa di
ascoltare musica ad alto volume e che Paola possa invocare il rispetto del
regolamento nel caso in cui Elisa lo violi. Elisa puó peró offrire un pagamento a Paola come compenso per il costo sopportato se le lascia ascoltare
la musica. In particolare Elisa potrebbe proporre a Paola di lasciarle ascoltare musica per il numero di ore socialmente ottimale h⇤ = 5. In tal caso
Paola sopporterebbe un costo pari a 30 = UP (0) UP (5) = 5 ( 25) = 30,
mentre il beneficio per Elisa sarebbe dato da UE (5) UE (0) = 40 5 = 35.
La somma che Elisa sarebbe disposta a pagare a Paola é dunque pari a 35
e poiché tale somma é maggiore della variazione di costo subita da Paola, le
due troveranno senz’altro un accordo.
1.3: Punto (i):In equilibrio concorrenziale ciascuna impresa produce la
quantità che massimizza i profitti, ovvero quella in corrispondenza della quale
5
il prezzo di mercato uguaglia il costo marginale. Per l’impresa A avremo:
0 = p0 /2. Allo stesso
M CA = 2qA = pA da cui la quantità prodotta è qA
A
0 = p0 /2.
modo per l’impresa B avremo qB
B
Punto (ii): Il livello socialmente ottimo di produzione é quello che tiene
conto dell’esternalitá negativa imposta all’impresa B. Tale livello di prodotto
si ottiene uguagliando il beneficio marginale per l’impresa A al costo marginale
sociale, dato dalla somma del costo marginale dell’impresa A e dell’aumento
CB
del costo marginale sopportato dall’impresa B, pari a @T
@qA = 2. Il costo
marginale sociale dell’attivitá dell’impresa A sará pertanto M SC = 2qA +
2 > M CA = 2qA . La quantitá di prodotto socialmente ottima sará dunque
ottenuta risolvendo
pA = 2qA + 2
⇤ = (p
e sará pari a qA
A 2)/2. Tale quantitá é inferiore alla quantitá prodotta
da A quando A tiene conto soltanto del costo marginale di produzione e non
di quello sociale (piú alto). La produzione di B rimane invariata, perche il
suo processo produttivo non comporta esternalitá di sorta.
1.4: Nel caso in cui il tasso d’interesse sia pari al 5% il calcolo del NPV
per le due alternative è il seguente:
N P VA =
N P VB =
100 100
150
300
+
+
;
2
1 + 0.1
(1 + 0.1)
(1 + 0.1)3
200
150
100
+
+
.
2
1 + 0.1 (1 + 0.1)
(1 + 0.1)3
che implicano
N P VA = 0 + 124 + 225;
N P VB = 182 + 124 + 75.
L’alternativa B è quindi la più conveniente dato che N P VA N P VB = 32.
Nel caso in cui il tasso d’interesse è pari al 5%, la conclusione non cambia,
avremo però che N P VA N P VB = 16. In effetti, al decrescere del tasso
d’interesse si riduce il differenziale tra le due alternative e questo tenderà
a zero per il tasso d’interesse che tende a zero. Soltanto in presenza di un
tasso d’interesse nullo infatti le due alternative saranno indifferenti. Perchè?
Osservando l’esercizio si nota che la somma dei ricavi meno la somma dei
costi non attualizzati è identica per le due alternative. Un tasso d’interesse
positivo però fa in modo che l’alternativa che prevede che i ricavi siano più
consistenti più in là nel tempo sia svantaggiato: se il tempo ha un costo
positivo, ovvero i > 0, allora, a parità di ricavi netti, preferirò l’opzione che
ne anticipa la risscossione.
6
Domande a risposta multipla: (b).
7
