1) Un blocco 1 di massa m1 = 2 Kg poggia su un tavolo orizzontale liscio ed è
collegato tramite una corda ideale ad un blocco 2 , di massa m2 = 3 Kg , che
pende liberamente lungo la verticale. La corda collegata al blocco 1, dopo un
tratto orizzontale, passa attraverso la gola di una carrucola, di massa M = 0.6 Kg e
raggio r = 5 cm (schematizzata come un disco omogeneo ), imperniata nel suo
centro C ad un asse orizzontale, senza attrito. a) Il sistema è mantenuto fermo da
una forza orizzontale F applicata al blocco 1: determinare il valore di F , della
tensione della corda e della reazione vincolare del perno. b) Il sistema è
mantenuto fermo da una coppia di forze di momento M applicata alla carrucola:
determinare il valore di M , delle tensioni della corda e della reazione vincolare
del perno. c) Eliminato il dispositivo di bloccaggio il sistema inizia a muoversi:
determinare l’accelerazione dei componenti del sistema e le tensioni della corda.
1
C
2
2) Un argano è costituito da due tamburi cilindrici omogenei, di massa m = 2.5 Kg e
M = 30 Kg e raggi r = 10 cm e R = 60 cm rispetivamente, imperniati liberamente
in modo solidale ad uno stesso asse orizzontale passante per i loro centri. Sul
tamburo di raggio minore è avvolta una fune ideale dal cui estremo pende
liberamente lungo la verticale una massa M1 = 100 Kg, mentre sull’altro tamburo
è avvolta una fune ideale al cui estremo libero è appesa una massa M2. a)
Determinare il valore Me della massa M2 in condizioni di equilibrio ed i valori
delle tensioni delle funi. b) Scrivere le equazioni di moto del sistema in condizioni
di non-equilibrio. c) Determinare i valori della accelerazioni per M2 = 2Me e M2
= Me/2. d) Un motore viene collegato all’asse dell’argano ed il sistema si muove
con velocità costante. Per i valori della massa della domanda c) calcolare il
momento della coppia di forze fornita dal motore e la relativa potenza se la
velocità angolare è pari a 80 rad/s.
3) Una sbarra AB, sottile ed omogenea, di lunghezza l = 50 cm e massa m = 1.2 Kg,
poggia con l’estremo B su un piano orizzontale liscio. Si indica con f l’angolo
che la sbarra forma con la verticale ascendente misurato positivamente in verso
orario. a) Determinare la forza F che deve essere applicata all’estremo A per
mantenere la sbarra ferma nella configurazione in cui f = b = 30°. b) Rimossa la
forza F la sbarra inizia a muoversi: scrivere le equazioni di moto del sistema e
determinare l’accelerazione del suo centro di massa C in funzione dell’angolo f.
c) Determinare un’istante prima di toccare il terreno la velocità dei punti A, B e C
della sbarra.
Es. 2
Es. 3
A
f
2
1
B
4) ) Una sbarra AB, sottile ed omogenea, di lunghezza l = 50 cm e massa m = 1.2
Kg, poggia con l’estremo B su un piano orizzontale scabro il cui coefficiente di
attrito con la sbarra è m = 0.2. Si indica con f l’angolo che la sbarra forma con la
verticale ascendente misurato positivamente in verso orario. a) Determinare la
minima forza F che deve essere applicata all’estremo A per mantenere la sbarra
ferma nella configurazione in cui f = b = 30°. b) La sbarra viene abbandonata da
ferma da una posizione in cui f differisce per un infinitesimo da 0°: scrivere le
equazioni di moto del sistema e determinare qualitativamente il moto successivo.
5) Un cilindro omogeneo di massa m = 0.8 Kg e raggio r = 5 cm viene abbandonato
da fermo lungo un piano inclinato che forma un angolo q = 30° con l’orizzontale.
a) determinare il moto del cilindro nel caso in cui il piano inclinato sia liscio. b)
determinare il valore minimo m* del coefficiente di attrito m fra piano e cilindro
per cui si ha un moto di puro rotolamento. c) Determinare il moto del cilindro nel
caso in cui m = m*/2 . d) Nel caso in cui m = 2m* si fanno partire dalla sommità del
piano inclinato, con velocità nulla e nello stesso istante, il cilindro, una sfera ed
un tubo cilindrico ( a pareti sottili): determinare l’ordine di arrivo al fondo del
piano inclinato dei tre corpi.
q
6) Un cilindrico, omogeneo, di massa m = 700 gr e raggio r = 2.5 cm rotola senza
strisciare dentro un supporto costituito da un cilindro cavo di raggio R = 20 cm. La sua
posizione all’interno del supporto è individuata dall’angolo q che il segmento OB, che
unisce il centro O del cilindro al centro B del supporto, forma con la verticale
discendente, misurato positivamente in verso antiorario. a) Si abbandona l’oggetto,
fermo, da una posizione in cui q = b = p/4; determinare la velocità di O in funzione
dell’angolo q ed il suo valore massimo. b) Determinare il minimo valore che può avere il
coefficiente di attrito perchè il moto sia di puro rotolamento. c) Determinare il periodo
delle piccole oscillazioni che si hanno quando l’oggetto viene abbandonato da fermo da
una posizione corrispondente a q = g << 1.
O
q
B
7) Un sistema è costituito da un’asta omogenea OA di massa m = 700 gr e lunghezza l
= 1.2 m, imperniata liberamente in O ad un asse orizzontale, lungo la quale può scorrere
un corpo P di massa M , che supponiamo di dimensioni trascurabili. a) Quando P è fissato
in una posizione a distanza b = 1.1 m da O si ha un periodo delle piccole oscillazioni T =
2.0 s; determinare il valore di M. b) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla
posizione in cui l’asta è orizzontale ( f = p/2 ). Determinare in funzione di f la forza
vincolare agente su P , durante il moto, e stabilire se P può essere mantenuto nella
posizione assegnata mediante una opportuna forza di attrito.
O
f
P
A
8) Un rocchetto , che schematizziamo come un disco omogeneo di massa m = 300 gr
e raggio r = 7 cm, è poggiato su un piano orizzontale; su di esso è avvolta un filo,
ideale, che si svolge dal punto più alto del rocchetto e il cui estremo, dopo un
tratto orizzontale, è attaccato ad una molla di costante elastica K = 15 Nm. a) Il
sistema viene mantenuto in una posizione di equilibrio, in cui la molla ha
un’allungamento X0= 5 cm, da una forza orizzontale F applicata nel centro O del
rocchetto; determinare il modulo di F. b) Rimossa la forza F il sistema inizia a
muoversi; supposto che il rocchetto rotoli senza strisciare sul piano si determini il
moto successivo del medesimo. c) Si determini il massimo allungamento della
molla che consente un moto di puro rotolamento del cilindro con un coefficiente
di attrito, fra piano e rocchetto, m = 0.15.
O
9) Una ruota, avente la forma di un disco omogeneo di massa m = 7 Kg e raggio r =
30 cm, si muove, di puro rotolamento, lungo un piano inclinato che forma un
angolo q = 15° con l’orizzontale ; ad essa è applicato un motore ( di cui si tracura
la massa) che sviluppa una coppia di forze di momento M. a) Determinare il
valore di M quando la ruota si muove in salita con velocità costante. b) Nelle
condizioni della domanda a) determinare la potenza fornita dal motore quando la
velocità del centro O della ruota è v0 = 15 ms. c) Partendo da ferma si porta la
ruota a muoversi con velocità v0 mantenendo costante M Determinare il massimo
valore di M utilizzabile per un coefficiente di attrito fra ruota e piano m = 0.8.
10) Un’asta AB, sottile ed omogenea di lunghezza l = 70 cm e massa M = 1.2 kg,
imperniata liberamente nell’estremo A ad un asse orizzontale viene abbandonata
con velocità nulla dalla posizione orizzontale. Nell’istante in cui essa raggiunge la
posizione verticale l’estremo B urta, all’altezza del suo centro O, una sfera, di
massa m = 500 gr e raggio r = 5 cm, ferma su un piano orizzontale scabro. a)
Supposto l’urto perfettamente elastico si determini la velocità angolare dell’asta e
la velocità della sfera immediatamente dopo l’urto. b) Nelle ipotesi del punto a)
determinare l’impulso della reazione vincolare del perno in A. c) Determinare la
velocità angolare del sistema immediatamente dopo l’urto nel caso in cui l’urto
risulti completamente anelastico. d) Stabilire se , con gli stessi componenti,
un’urto al termine del quale la sbarra si ferma nella posizione verticale è o meno
elastico.
B
A
B
O
