Universit`a di Trieste, Facolt`a di Ingegneria – 24/06

Università di Trieste, Facoltà di Ingegneria – 24/06/2008
Prova d’esame di Fisica Generale per Ing Amb, Elt, Eln e Inf
Nota: la valutazione della prova tiene conto della correttezza dei risultati analitici e numerici (attenzione ai segni, alle cifre significative ed alle unità di misura!) e della chiarezza
dell’esposizione della soluzione. Spiegare sinteticamente la strategia di soluzione seguita,
giustificare i principali passaggi e definire esplicitamente i simboli usati, anche con l’aiuto
di figure (sistemi di riferimento, ecc.)
m
M
O
f
m
M
Problema 1
Un punto materiale di massa m è appoggiato su un piano orizzontale e fissato all’estremità
di una fune inestensibile e di massa trascurabile; tra il piano e il corpo agisce una forza
di attrito viscoso Fa = −cv; nel piano è praticato un foro di diametro trascurabile nel
quale la fune scorre senza attrito; l’altro estremo della fune è fissato ad un dispositivo M
mobile nella direzione verticale z. Si assuma la posizione del foro come origine O di un
sistema di riferimento polare (ρ, φ). Lo stato di moto della massa m è determinato, al
tempo t = 0, dalla sua posizione iniziale ρ
~(0) = ρ
~0 = (ρ0 , φ0 ) e dal valore della velocità
iniziale ~v (0) = ~v0 , specificato dai valori della componente radiale della velocità vρ (0) = ρ̇0
e della velocità angolare φ̇(0) = φ̇0 . Nell’ipotesi che il moto del dispositivo M sia uniforme
con velocità costante ż0 = ρ̇0 si determini:
a) l’espressione generica, in coordinate polari, dell’energia meccanica E del corpo di
massa m; il suo valore numerico al tempo t = 0;
~
b) l’espressione del vettore velocità areale Ȧ(t)
del corpo al generico istante t;
c) la forza di Coriolis F~C che agisce sul corpo al tempo t = 0, supponendo che il moto
si svolga alla latitudine λ e che la direzione della fune a t = 0 punti verso Est.
Si assuma nei calcoli: m = 70 g, ρ0 = 70 cm, φ0 = 0, ρ̇0 = −7 mm/s, φ̇0 = 0.7 rad/s,
λ = 40◦ N.
Problema 2
Alla fune di massa trascurabile che passa nella gola della carrucola ideale di figura sono
appesi da un lato un grave di massa M e dall’altro una scimmia di massa m. Supponendo
che al tempo t = 0 la massa M sia ferma alla quota z0 , si determini la legge oraria z(t) di
M nel caso in cui la scimmia
a) è ferma rispetto alla fune;
b) sale lungo la fune con velocità costante v00 rispetto ad essa;
c) scende lungo la fune con velocità costante v0 rispetto alla carrucola.
Svolgimento del Problema 1:
a) l’energia meccanica si riduce alla sola energia cinetica:
1
1
1
E = m v 2 = m ρ̇2 + m (ρφ̇)2
2
2
2
1
1
2
2
E(0) = m ρ̇0 + m (ρ0 φ̇0 ) = 8.41 mJ
2
2
b) la velocità areale è data da
Ȧ(t) =
1
1
ρ × v = [ρ(t)]2 φ̇(t) ẑ
2
2
dove ρ(t) = ρ0 + ρ̇0 t. Per trovare l’espressione di φ(t), indichiamo con T la tensione
(centripeta) della fune, con P la forza peso e con N la reazione vincolare del piano.
Si ha
T + P + N + Fa = ma
che proiettata, nel piano, sulle due componenti ρ e φ dà
−T − cρ̇ = m (ρ̈ − φ̇2 ρ)
− cρφ̇ = m (2φ̇ρ̇ + φ̈ρ)
dividendo ambo i membri della seconda equazione per mρφ̇ si ottiene la separazione
delle variabili
ρ̇ φ̈
dρ dφ̇
2 + = −b
−→
2
+
= −bdt
ρ φ̇
ρ
φ̇
dove b = c/m. Integrando tra t = 0 e l’istante generico t
ρ
φ̇
2 ln
+ ln
= −bt
ρ0
φ̇0
−→
ρ
ρ0
2
φ̇
= e−bt
φ̇0
−→
ρ2 φ̇ = ρ20 φ̇0 e−bt
Si ha quindi
Ȧ = Ȧ0 e−bt =
1 2
ρ φ̇0 e−bt
2 0
c) indicando con il versore Ê la direzione Est
FC = −2m ω T × v0 = 2m ωT ρ0 φ̇0 sin λ Ê + 2m ωT ρ̇0 ẑ = 3.22 µN Ê − 71.5 nN ẑ
2
Svolgimento del Problema 2:
a) Se la scimmia è ferma rispetto al filo, il secondo principio di Newton applicato alle
due masse si scrive
T − Mg = MA
T − mg = ma
a = −A
Sottraendo membro a membro le prime due equazioni si ricava
A=
m−M
g
m+M
−→
1
1 m−M 2
z(t) = z0 + At2 =
gt
2
2 m+M
b) Quando la scimmia si sposta a velocità costante rispetto al filo, indichiamo con
F la forza, applicata alla scimmia dalla fune, che la mantiene in moto uniforme
rispetto alla fune. La forza che la scimmia applica alla fune coincide con la tensione
della fune. Per il principio di azione e reazione, ne segue che |F | = |T |. Rispetto
al sistema di riferimento non inerziale solidale con la fune, il secondo principio di
Newton applicato al moto della scimmia si scrive allora come
F − mg + mA = T − mg + mA = 0
Questa equazione è identica a quella scritta sopra per il caso della scimmia ferma
rispetto al filo. Il moto della massa M è quindi identico a quello trovato sopra.
c) nel caso in cui la scimmia scende con velocità costante rispetto alla carrucola, il
secondo principio di Newton applicato al moto della scimmia si scrive come
T − mg = 0
sottraendo membro a membro dalla prima equazione del punto a) si ottiene
m
A=
−1 g
M
3