(n–k)!

Probabilità mediante l'analisi combinatoria
Dn,k = Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)
Nel calcolo del numero di modalità con cui si presenta un evento e' utile
talvolta utilizzare le definizioni del calcolo combinatorio
Dn,k =Disposizioni senza ripetizione di n oggetti a k a k (o di
classe
Se ho n oggetti distinti (le lettere dell'alfabeto n=21) e voglio contare
quante quadruple (k=4) distinte (che tengon conto dell'ordine) si
possono costruire utilizzando (senza ripetizione-reimmissione) lgli n
oggetti ottengo
n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=143640 quadruple
Introducendo la notazione n!=(n-1)(n-2).....1
e generalizzando ad un k qualsiasi ottengo
Dn,k = n(n-1)(n-2)......(n-k+1) = n!/(n–k)!
DR n,k = Disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k (o di classe k)
= nk
Probabilità mediante l'analisi combinatoria
Pn = Permutazioni di n oggetti distinti
Se k = n le Disposizioni si chiamano permutazioni
Dn,n = Pn = n!
ovvero le Permutazioni di n oggetti distinti sono il numero di tutte
le n-ple che si possono costruire, tenendo conto dell'ordine,
utilizzando tutti gli n oggetti (senza ripetizione-reimmissione)
Esempi
Se gli oggetti sono le lettere dell'alfabeto italiano, il numero di
permutazioni possibili è P21 = 21!
Gli anagrammi sono permutazioni.
Gli anagrammi di LUCIA sono 5! = 120
Probabilità mediante l'analisi combinatoria
Pn(m) = Permutazioni di n oggetti di cui m sono uguali
●
●
Se degli n oggetti m sono uguali ,il numero delle
permutazioni è ridotto Pn(m) = Pn/Pm = n!/m!
Se degli n oggetti m sono di tipo A, r di tipo B....... il numero
delle permutazioni è ridotto a
Pn(m,r,…) = n!/(m!r!..)
●
Esempio: gli anagrammi di Pippo sono 5!/3! = 20
Probabilità mediante l'analisi combinatoria
Cn,k = Combinazioni di n oggetti a k a k (o di classe k)
Cn,k sono tutte le k-uple che non tengono conto dell'ordine che si
possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti:
quindi si tratta di dividere le Dn,k per il numero di permutazioni
Pk = k!
ovvero
/
Cn,k = Dn,k/k! = n! (n–k)!k!
i numeri Cn,k vengono anche detti (per un motivo che chiariremo
più avanti) “coefficienti binomiali” e indicati con
(nk) = n!/(n–k)!k!
Distribuzione Binomiale (o di Bernoulli)
Bn,p(k) problema delle prove ripetute
Consideriamo un esperimento casuale ripetibile (lancio di una moneta ,di un
dado…) e supponiamo di ripetere l'esperimento un numero n di volte.
Supponiamo di essere interessati a una modalità dell'esperimento evento A
(testa, faccia 5..) che valutiamo essere un “successo” mentre la comparsa
dell’evento complementare Ā viene considerato “insuccesso”. Ci chiediamo
qual'e' la probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,…n di volte la
comparsa dell'evento "successo" su n prove ripetute nelle stesse condizioni
sperimentali e indipendenti fra loro.
Si suppone nota la probabiltà P(A) = p di A e P(Ā) = q di Ā
con p + q = 1
Definizione:
La Distribuzione Binomiale è la risposta al problema di valutare la
probabilità di osservare un numero intero
k = 0,1,2,3.....,n di “successi” in n prove ripetute
nelle stesse condizioni sperimentali e indipendenti tra loro.
Un possibile risultato delle prove sia, per esempio, la sequenza
AĀAĀĀAAĀĀAAAĀAAĀĀAAA
in cui su n = 20 prove ripetute e indipendenti si presentano
k = 12 eventi A (“successi”)
e n - k = 8 eventi Ā (“insuccessi”).
La probabilità che si sia verificata la sequenza di eventi indipendenti
A e Ā è il prodotto delle loro probabilità
la P(sequenza) = p q p q q...... = pk q(n-k)
L’evento k successi in n prove può presentarsi con modalità diverse tante
quante sono le permutazioni di n elementi di cui k di tipo A e (n-k) di tipo Ā
ovvero
n!/(k!(n-k)!)
che è stato chiamato coefficiente binomiale
e viene indicato come (nk)
Coefficiente binomiale (nk) = n!/(k!(n-k)!)
Si richiama alla formula dello sviluppo della potenza n-esima di un
binomio a+b
(a+b) n= k(nk) ak b(n-k)
La probabilità di osservare un numero intero
k = 0,1,2,3.....,n di “successi” in n prove ripetute
e indipendenti si ottiene applicando la legge della probabilità
totale per eventi disgiunti, ovvero è il prodotto di
pk q(n-k)
per il numero di modalità (nk)
ovvero
(nk) pk q(n-k)
detta Distribuzione binomiale indicata con Bn,p(k)
k = 0,1,2,3.....,n è detta variabile binomiale
Esempi Bn,p(k) = (nk) pk q(n-k)
Bn,p(k)
n = 20
p = 0,3
Caratteristiche della distribuzione binomiale
- la distribuzione binomiale è normalizzata
Dalla formula dello sviluppo della potenza n-esima del binomio
●
(a+b) n= k(nk) ak b(n-k)
●
●
Ponendo a=p e b=q con p+q=1 risulta
1 =(p+q) n= k(nk) pk q(n-k)
●
●
●
●
ma
(nk)pk q(n-k)= Bn,p(k) quindi
1= k Bn,p(k)
La Binomiale e’ normalizzata
valor medio atteso e varianza (da Carnelli)
Distribuzione binomiale – la varianza è np(1-p) = npq
Distribuzione di Poisson
Per n e p0 ma np limitato = m
la distribuzione binomiale assume una forma semplice
dipendente dal solo parametro m detta distribuzione di
eventi rari o distribuzione di Poisson
Bn,p (k)
n
; p
0; np = m
variabile k = 0,1,2, ……
Pm(k) = e-m mk
k!
Esercizio
Confronto fra Binomiale con Np = 5 per N crescenti e p0
con la Poissoniana P5(k)