UNIVERSITA’ DI TORINO II FACOLTA’ DI SCIENZE MFN ALESSANDRIA Calcolo delle Probabilità e statistica Scienze dell’Informazione ESERCIZIO 1 Si considerino due urne U1 e U2 contenenti ciascuna m palline bianche e n palline rosse. Si estrae una pallina da U1 e la si mette in U2. A questo punto quanto vale la probabilità di estarre una pallina rossa da U2 ? ESERCIZIO 2 Si estrae a caso una carta da un mazzo formato da 40 carte. Si indichi con A l'evento :"è stata estratta una carta di cuori" e con B l'evento :"e' stata estratta una figura". Calcolare la probabilità dell'evento A∪B. [motivare ogni affermazione!] ESERCIZIO 3 In una lotteria un biglietto su n è vincente. Una persona compra n biglietti. 1) Determinare la legge della variabile aleatoria che ha come valore il numero di biglietti vincenti . Calcolare : 2) la probabilità che questa persona abbia un solo biglietto vincente; 3) la probabilità che questa persona abbia almeno un biglietto vincente. ESERCIZIO 4 K Una centrale telefonica riceve in media K chiamate in un'ora (oppure chiamate in un minuto). 60 Supponiamo che il numero di chiamate ricevute in una unità di tempo segua una legge di Poisson. Calcolare la probabilità che : 1) in due minuti si ricevano esattamente 3 chiamate; 2) in due minuti si riceva almeno una chiamata; 3) in due minuti si ricevano almeno tre chiamate. ESERCIZIO 5 La popolazione di Nicosia (Cipro) e' composta per il 75% da popolazione di origine greca e per la restante parte da polazione di origine turca . Il 20% della popolazione di origine greca e il 10% di quella di origine turca parlano anche inglese. Un turista visita la citta' e incontra una persona che parla inglese. Quanto vale la probabilita' che sia di origine greca ? ESERCIZIO 6 Due persone A e B giocano con due dadi. La persona A punta sull'uscita del sette,la persona B sull'uscita del sei. Inizia a giocare A e poi vengono lanciati i dadi alternativamente fino a che uno dei due vince. 1) Costruire lo spazio di probabilita' adatto a studiare il problema posto. 2) Calcolare la probabilita' di vittoria del giocatore A. 3) Calcolare la probabilita' di vittoria del giocatore B. 4) Indicato con N il numero di lanci necessari alla vittoria di uno dei due,calcolare la media di N ESERCIZIO 7 Si considerino le variabili aleatorie X e Y indipendenti, con distribuzione data da : P[X=1]=P[X=-1]=0.5(1-p) P[X=0]=p P[Y=1]=p P[Y=2]=1-p Posto Z= X+Y , calcolare : 1) la legge di Z; 2) la speranza matematica di Z; 3) la varianza di Z. 4) Determinare, se esiste, un valore del parametro p tale che media e varianza di Z coincidano. ESERCIZIO 8 Abbiamo due urne. Nella prima urna ci sono n1 palline bianche e m1 palline nere,nella seconda urna n2 palline bianche e m2 palline nere. Si estrae una pallina da ciascuna delle due urne e poi si sceglie a caso una delle due palline estratte. Calcolare la probabilita’ che quest’ultima pallina sia bianca. ESERCIZIO 9 Si lancia ripetutamente un dado. Sia T1 il numero di lanci necessario ad ottenere il sei la prima volta e T2 il numero di lanci necessario ad ottenere il sei la seconda volta. Calcolare la legge di T1 e di T2. ESERCIZIO 10 Si consideri la funzione definita per i valori di x maggiori di 1 : f(x) = 1. 2. 3. (a − 1) xa Stabilire per quali valori di a f(x) e’ una densita’ di probabilita’ di una variabile aleatoria X. Determinare, fra i valori di a trovati al punto 1, quelli che rendono X di media finita. Posto Y= - X Z= X*Y, calcolare la legge del vettore (Y,Z) e le marginali fz(z) e fy(y) ESERCIZIO 11 Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti di legge : g X ( x ) = λ e−λ gY ( y ) = λ e −λ 1 1 x y { x > 0} (x) { y > 0} ( y) Dimostrare che le variabili aleatorie T=X + Y X Y sono indipendenti e calcolarne la legge. Che nome ha la legge di T ? W=