Università degli Studi di Basilicata – Facoltà di Economia
Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013
lezione di statistica del 2 maggio 2013
- di Massimo Cristallo -
3. Concezioni e valutazioni di probabilità
Prima di analizzare il concetto di probabilità degli eventi, diciamo subito che le prime
valutazioni di probabilità sono nate con lo studio dei giochi di azzardo, per poi estendersi
ad altre discipline in cui sono usuali le decisioni in condizioni di incertezza.
Non è possibile dare una definizione univoca di probabilità, ma piuttosto sono state
proposte in letteratura differenti interpretazioni del concetto di probabilità.
La definizione classica di probabilità (Laplace, 1812) stabilisce che se è dato un
esperimento ben specificato ed un evento A tra quelli possibili per l’esperimento, e se m è
il numero dei possibili risultati che danno luogo all’evento A ed n quello di tutti i possibili
esiti dell’esperimento, allora la probabilità dell’evento A è il rapporto m/n, purché tutti gli n
risultati siano equiprobabili.
Un esempio immediato per tale definizione è quello relativo al lancio del dado. Se il
dado non è truccato ed è perfettamente simmetrico i possibili esiti sono sei, ciascuno con
la stessa probabilità di verificarsi, per cui la probabilità che nel lancio esca un numero pari
è uguale a 3/6.
Si può notare che la definizione classica è tautologica, in quanto per definire la
probabilità è necessario ipotizzare la equiprobabilità degli eventi, ed è applicabile solo a
quegli esperimenti che presentano un numero finito di risultati, per cui von Mises ha
proposto un’altra definizione, detta frequentista, più ampia rispetto alla precedente.
Secondo la definizione frequentista, infatti, per un dato esperimento ben specificato e
perfettamente ripetibile, sia A un evento tra quelli possibili e fn ( A ) il numero delle volte
che si è verificato A in una serie di n esperimenti replicati in maniera indipendente (cioè
tutti nelle medesime condizioni), la probabilità rappresenta il limite della frequenza relativa
dell’evento al divergere del numero delle prove, in simboli scriviamo:
fn ( A )
n →∞
n
P ( A ) = lim
L’applicazione della definizione frequentista presuppone, quindi, che l’esperimento sia
ripetibile indefinitamente ed in maniera indipendente. Essa, inoltre, include anche la
situazione degli eventi equiprobabili affrontata con la definizione classica, purché gli
esperimenti siano riproducibili nel modo indicato.
Un esempio immediato per tale definizione è quello relativo al lancio della moneta. Se la
moneta non è truccata e viene lanciata 100.000 volte, si potrà constatare che la probabilità
che dal lancio esca testa è uguale a quella che esca croce ed entrambe sono pari a 1/2.
Il limite della concezione frequentista è che deriva da un postulato empirico del caso,
cioè nasce da una osservazione empirica a posteriori di un grande numero di esperimenti, e
di conseguenza non risulta applicabile agli esperimenti che per loro natura non sono
ripetibili.
1
Esistono situazioni, inoltre, in cui non sono applicabili né la definizione classica né
quella frequentista.
Ramsey, Savage e de Finetti hanno introdotto, pertanto, un’altra definizione, detta
soggettivista (o bayesiana), secondo la quale, dato un esperimento ben specificato ed un
evento A tra quelli possibili, la probabilità dell’evento A è il grado di fiducia che un
individuo coerente ha nel verificarsi dell’evento A, condizionatamente alle informazioni di
cui dispone e alle sue opinioni.
La critica più immediata alla concezione soggettivista è che essa produrrebbe risultati
diversi da soggetto a soggetto pur di fronte allo stesso esperimento, cioè è basata su
valutazioni personali di un individuo circa il verificarsi di un evento incerto, mentre il suo
pregio è che non richiede né l’equiprobabilità degli eventi né la riproducibilità
dell’esperimento.
Si pone, inoltre, il problema di come misurare la probabilità utilizzando la concezione
soggettivista. La risposta si ha riformulando la definizione nel modo seguente: “…la
probabilità dell’evento A è la somma che un individuo coerente è disposto a scommettere in
un gioco equo nel quale al verificarsi dell’evento A egli riceve dal banco un importo
unitario”.
Se consideriamo l’esempio del lancio di una moneta non truccata, un individuo ritiene
coerente ed equo scommettere 1 euro sulla faccia “Croce” per ricevere 2 euro nel caso si
verifichi l’evento “Croce”; ciò porta a concludere che la probabilità che esca “Croce” è pari
a 1/2.
La coerenza dell’individuo significa che egli valuta la probabilità nell’intervallo [ 0,1],
attribuendo la probabilità 0 all’evento impossibile e 1 a quello certo, mentre l’equità del
gioco si ha quando risulta indifferente assumere le parti del “giocatore” o del “banco”.
Si vedrà nel seguito come il gioco del Lotto non è equo, in quanto la posta del gioco, in
caso di vincita del giocatore, è tale da assicurare allo Stato un certo “utile”.
A prescindere dalla concezione sulla quale si base la definizione di probabilità, se è data
una funzione P ( ⋅ ) a valori reali e sono soddisfatti i seguenti assiomi:
1. P ( A ) ≥ 0
2. P ( Ω ) = 1
3. P ( A1 ∪ A 2 ) = P ( A1 ) + P ( A 2 )
se A1 ∩ A 2 = ∅ .
la funzione P ( ⋅ ) è detta misura di probabilità, mentre P ( A ) è detta probabilità dell’evento A.
La suddetta impostazione della teoria delle probabilità (detta anche assiomatica) è stata
proposta da Kolmogorov (1933) e si caratterizza dalle altre in quanto non fissa l’attenzione
sul significato di probabilità.
L’impostazione di Kolmogorov è invece strettamente connessa alla teoria delle funzioni
matematiche, in quanto richiede che la funzione P ( ⋅ ) sia scelta in modo arbitrario e a
condizione che risulti non negativa, normalizzata (con valore 1 sull’insieme totale Ω ) e
additiva.
Ne consegue che ogni altra affermazione riguardante la teoria delle probabilità viene
dimostrata a partire dagli assiomi.
Prima di analizzare le principali implicazioni degli assiomi utilizzati per definire la
probabilità, diciamo che l’assioma 3 può essere esteso al caso di un numero finito n di
2
eventi, A1 , A 2 , L , A n , tali che gli stessi siano a due a due incompatibili (cioè
A i ∩ A j = ∅ ∀ i ≠ j ), nel modo seguente:
n
n
P U Ai = ∑ P ( Ai )
i =1 i =1
prendendo il nome di additività finita della probabilità degli n eventi, ovvero al caso di
infiniti eventi A1 , A 2 ,L , sempre a due a due incompatibili, in modo che vale la relazione:
n
∞
∞
P U Ai = ∑ P ( Ai ) ≥ ∑ P ( Ai )
i =1
i =1 i =1
dove al limite, per n → ∞ , si ha:
∞
n
P U Ai = ∑ P ( Ai )
i =1 i =1
che esprime la completa additività della probabilità degli eventi.
Si dimostra che assumere la completa additività della probabilità degli eventi equivale ad
assumere la continuità della funzione P ( ⋅ ) .
Gli assiomi che caratterizzano la definizione di probabilità non consentono di assegnare
un unico valore alla probabilità di un evento, ma piuttosto evidenziano che la probabilità è
una funzione di insieme che associa, in modo “coerente”, ad ogni evento A dello spazio
Ω un numero reale appartenente all’intervallo [0,1].
L’attribuzione delle probabilità in maniera coerente si esplica nel senso che se un evento
A i è più probabile di un altro evento A j , allora la probabilità del primo evento è
maggiore di quella del secondo, ed è proprio questo il ruolo che hanno gli assiomi
presentati.
Se la funzione P ( ⋅ ) è scelta in modo tale che risultano soddisfatti i tre assiomi, allora
essa è detta funzione di probabilità, mentre il binomio Ω, P ( ⋅) è definito spazio probabilistico.
Presentiamo ora con un esempio, nell’ambito del gioco del Lotto, il procedimento di
valutazione di probabilità nel caso di uno spazio Ω finito.
Supponiamo di essere interessati a valutare la probabilità che esca sulla ruota di Bari
l’ambo costituito dai numeri 17 e 56. In questo caso, lo spazio Ω è quello delle possibili
quintine ottenibili con 90 numeri.
Considerato che nel gioco del Lotto non interessa l’ordine con il quale vengono estratti
gli elementi della cinquina, il numero degli eventi elementari costituenti lo spazio Ω è dato
dalle combinazioni dei 90 numeri presi 5 alla volta, cioè, come si è visto nel paragrafo 1,
90
dal risultato del coefficiente binomiale .
5
Non essendoci motivi, sulla base delle informazioni di cui disponiamo, per attribuire a
ciascuna quintina della ruota di Bari, tra cui quelle contenenti l’ambo 17 e 56, una
3
probabilità di uscita diversa da tutte le altre possibili, assumiamo la condizione di
equiprobabilità, cioè che ogni cinquina ha probabilità di verificarsi pari al rapporto
90
1 .
5
Prendendo dunque in esame la concezione classica, i casi favorevoli all’evento “uscita
dell’ambo 17 e 56 sulla ruota di Bari” sono tutte le quintine che insieme ai due predetti
numeri contengono tre degli altri restanti 88 numeri, per cui sono in numero pari al
88
risultato del coefficiente binomiale .
3
90
Essendo il numero dei casi possibili pari a , la probabilità che esca l’ambo 17 e 56
5
sulla ruota di Bari è data dal rapporto:
88 90 2
p= =
3 5 801
e coincide con la probabilità di indovinare un qualsiasi altro ambo anche in una qualunque
altra ruota.
Il risultato ottenuto mostra che vi è circa 1 possibilità su 400 di indovinare l’ambo.
Tuttavia la posta unitaria che lo Stato garantisce al giocatore in caso di uscita dell’ambo è
pari a 250, per cui il gioco non è equo.
Al lettore è lasciato il compito di provare che l’equità del gioco del Lotto non risulta
garantita anche nel caso delle altre giocate (terno, quaterna, ecc.).
4. Relazioni fondamentali del calcolo delle probabilità
Dagli assiomi utilizzati per definire la probabilità discendono alcune relazioni valide per
qualsiasi degli eventi A, A 1 e A 2 appartenenti allo spazio degli eventi. Si riportano di
seguito solo quelle più importanti:
1. P ( A ) = 1 − P ( A )
2. P ( ∅ ) = 0
3. P ( A ) ≤ 1
4. A1 ⊂ A 2 ⇒ P ( A 1 ) ≤ P ( A 2 )
5. P ( A1 ∪ A 2 ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) − P ( A1 ∩ A 2 )
Si osservi che se A 1 e A 2 sono incompatibili ( A1 ∩ A 2 =∅ ), la relazione 5) implica che
P ( A1 ∪ A 2 ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) .
Per dimostrare la relazione 1), che potremmo definire legge della probabilità mediante il
complemento, basta considerare che l’unione di un evento con la sua negazione produce
l’evento certo, in simboli scriviamo A ∪ A = Ω , ed applicare l’assioma 2):
4
P ( A ∪ A ) = P ( Ω) = 1
ove i due eventi A e A sono incompatibili, per cui per l’assioma 3) si ha:
P ( A ∪ A ) = P ( A ) + P ( A ) =1
da cui si ricava facilmente la relazione 1).
Esempio
Consideriamo il caso di un responsabile delle vendite di una concessionaria di automobili, il quale
dopo un attento esame delle vendite stabilisce che il 65% dei contatti con potenziali acquirenti non
porta ad alcuna vendita. Indicando allora con A l’evento “vendita”, si ha per la relazione 1) che:
P ( A ) = 1 − 0, 65 = 0, 35
cioè una probabilità pari a 0,35 di concludere una vendita.
Dalla relazione 1) discendono, poi, le relazioni 2) e 3). Il fatto che l’evento impossibile
abbia probabilità nulla di verificarsi si ricava ponendo A = Ω , cosicché si ha A = ∅ , ed
applicando l’assioma 2):
P (∅ ) = 1 − P ( Ω ) = 1 − 1 ⇒ P (∅ ) = 0
mentre il risultato P ( A ) ≤ 1 si ottiene applicando l’assioma 1) all’evento A :
P ( A ) =1− P ( A ) ≥ 0 ⇒ P ( A ) ≤ 1
Restano, quindi, da provare le relazioni 4) e 5).
Intuitivamente, se un certo evento A 1 e il suo complemento A1 sono sempre disgiunti,
a maggior ragione lo sono anche gli eventi A 1 e ( A1 ∩ A 2 ) , dove A 2 è un qualsiasi altro
evento che “non amplia” (attraverso l’operatore ∩ ) l’evento A1 .
Ne consegue che vale sempre la relazione:
A1 ∩ ( A1 ∩ A 2 ) =∅
mentre, nel caso in cui A1 ⊂ A 2 , si deduce facilmente che l’evento ( A 1 ∪ A 2 ) coincide
con l’evento A 2 , e di conseguenza per la validità delle leggi distributive:
A1 ∪ ( A 1 ∩ A 2 ) = A 2
5
essendo gli eventi A 1 e A1 esaustivi, per cui applicando l’assioma 3) agli eventi A 1 e
( A1 ∩ A 2 ) si ha:
P A 1 ∪ ( A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 2 )
che si può riscrivere nella forma:
P ( A 2 ) − P ( A1 ) = P ( A 1 ∩ A 2 )
dove per l’assioma 1), di non negatività della probabilità degli eventi,
P ( A1 ∩ A 2 ) ≥ 0 , con la conseguenza che vale la relazione:
risulta
P ( A 2 ) − P ( A1 ) ≥ 0
da cui si ricava immediatamente la relazione 4).
Per comprendere la relazione 5), che potremmo definire legge della somma, basta
considerare in maniera intuitiva che se i due eventi A 1 e A 2 sono compatibili, cioè
l’evento intersezione A 1 ∩ A 2 è contenuto sia in A 1 che in A 2 , sommare le probabilità
P ( A1 ) e P ( A 2 ) equivale di fatto a contare due volte la probabilità P ( A 1 ∩ A 2 ) , per cui
quest’ultima deve essere sottratta alla somma P ( A 1 ) + P ( A 2 ) .
Esempio
Consideriamo il caso di una indagine condotta da una società di consulenza, a seguito della quale è
risultato che alcuni dipendenti hanno dichiarato di aver abbandonato per motivazioni diverse il
proprio lavoro entro un anno dall’assunzione, e precisamente nella misura del 20% per
insoddisfazione del salario percepito, del 15% per insoddisfazione della mansione svolta e del 9%
per insoddisfazione sia del salario che della mansione.
Indicando con S l’evento “abbandono del lavoro per insoddisfazione del salario” e con M l’evento
“abbandono del lavoro per insoddisfazione della mansione”, si ha:
P ( S ) = 0, 20, P ( M ) = 0,15 e P ( S ∩ M ) = 0, 09
per cui, utilizzando la relazione 5), risulta:
P ( S ∪ M ) = 0, 20 + 0,15 − 0, 09 = 0, 26
cioè una probabilità pari a 0,26 che un dipendente abbandoni il proprio lavoro per insoddisfazione
del salario o della mansione.
6
