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Principali Teoremi per il compito di Geometria
 Grandezze in proporzione (definizione)
Quattro grandezze A, B, C e D (di cui le prime due omogenee tra loro e le seconde due omogenee tra loro) si dicono in proporzione se
A:B=C:D
 Proprietà delle proporzioni
Data la proporzione numerica A : B = C : D si ha che:
- Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
BC = AD
- Proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene ancora una proporzione.
B:A=D:C
- Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi (o gli estremi) si ottiene ancora una proporzione.
A:C=B:D
oppure
D:B=C:A
(A + B) : A = (C + D) : C
oppure
(A + B) : B = (C + D) : D
(A - B) : A = (C - D) : C
oppure
(A - B) : B = (C - D) : D
- Proprietà del comporre:
- Proprietà dello scomporre:
 Teorema di Talete
Un fascio di rette tagliato da due trasversali determina su di esse due
insiemi di segmenti in proporzione.
AB : A’B’ = CD : C’D’
 Teorema inverso di Talete
Se segmenti compresi fra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se due
rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti sono parallele, allora anche le altre rette sono parallele
alle prime due.
 Teorema di Talete - Corollario
Una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali.
AD : DB = AE : EC
Viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo dividendoli in parti proporzionali, allora essa è parallela al terzo lato.
 Teorema della Bisettrice
La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
CA : AD = CB : BD
 Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è
equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.
q(AC) + q(AB)  q(BC)
oppure
BC2 = AB2 + AC2
 Primo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al
rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.
q(AB)  r(BC,BH)
oppure
BH : AB = AB : BC
 Secondo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa
è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
q(AH)  r(BH,CH)
oppure
BH : AH = AH : CH
 Triangoli simili (definizione)
Due triangoli si dicono simili se:
- hanno i tre angoli ordinatamente congruenti (αα’, ββ’, γγ’)
- hanno i tre lati ordinatamente in proporzione (AB : A’B’ = BC : B’C’ = CA : C’A’)
 Primo Criterio di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
 Secondo Criterio di Similitudine
Due triangoli sono simili se due lati ordinatamente in proporzione e l’angolo tra
essi compreso congruente.
 Terzo Criterio di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente in proporzione.
 Se due triangoli sono simili, detti l e l’ due lati corrispondenti e S e S’ le loro superfici,
(l)2 : (l’)2 = S : S’
 Teorema delle corde
Se in una circonferenza due corde si intersecano,
AE : CE = ED : EB
 Teorema delle secanti
Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano due secanti,
PB : PD = PC : PA
 Teorema della secante e della tangente
Se da un punto P esterno ad una circonferenza si tracciano una secante e
una tangente,
PB : PT = PT : PA