Risoluzione di un triangolo

Risoluzione di un triangolo qualunque.
Consideriamo il seguente triangolo in cui sono tracciate le tre altezze
C
γ
b
a
β
α
A
c
B
e occupiamoci del seguente problema:
Note le lunghezze di b, c in una data unità di misura e l’mpiezza di  in gradi o in
radianti troviamo la lunghezza del lato a.
Con la decomposizione in figura per il teorema di pitagora si ha:
a 2  b 2 sin 2   c − b cos  2  b 2 sin 2   c 2 − 2cb cos   b 2 cos 2   b 2  c 2 − 2cb cos 
cioè
a 2  b 2  c 2 − 2cb cos 
Questa relazione vale per tutti i triangoli e qualunque siano i due lati noti, risulta una
generalizzazione del teorema di Pitagora e va sotto il nome di teorema di Carnot o
teorema del coseno. Il lettore per esercizio usando la stessa tecnica può verificare che vale
la stessa relazione supponendo che siano noti i lati a e c e l’angolo tra essi compreso.
Dalla figura si vede anche che il lato c può essere decomposto in somma nel seguente
modo
c  b cos   a cos 
Questa relazione vale per tutti i triangoli e qualunque sia il lato scelto, tale risultato va
sotto il nome di teorema delle proiezioni.
Il lettore controlli che anche i lati b e a del caso sopra raffigurato possono essere
decomposti in somma nello stesso modo.
b sin   a sin 
 sina   sinb   sinc 
Osservando la figura si ha anche che
c sin   b sin 
Si può dimostrare che anche questa relazione vale per un generico triangolo, tale
enunciato è chiamato teorema dei seni.
I teorema di Euclide
Consideriamo un triangolo rettangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa
C
b
a
h
α
A
β
c
Pb
B
Pa
L’area del quadrato costruito sul cateto AC può essere così riscritta
b 2  bc cos   cb cos   c Pb
che corrisponde alla seguente interpretazione geometrica
C
b
a
h
α
A
β
Pb
c
Pa
B
e questo è il I teorema di Euclide : L’area del quadrato costruito su di un cateto è
uguale all’area del rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto
sull’ipotenua.
II teorema di Euclide
Consideriamo un triangolo rettangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa
C
b
a
h
α
A
β
Pb
c
B
Pa
si ha che
Pa Pb  b cos  a cos 
siccome   90 −  si ha cos   sin  e analogamente cos   sin  segue
Pa Pb  b sin  a sin 
un pò di commutatività e si ha
Pa Pb  a sin  b sin   h 2
concludiamo quindi che l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa
in un triangolo rettangolo è uguale all’area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa. E questo è l’enunciato del secondo teorema di Euclide.
C
b
a
h
α
A
Pb
β
c
Pa
B