Esercizi fatti durante il tutoraggio

ESERCIZI VARI. (ALGEBRA LINEARE)
TT
—
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO–BICOCCA
Sommario. Questa è una versione del tutto preliminare di problemi per il tutoraggio relativo al corso
di “Algebra lineare e geometria” per i Corsi di Laurea in Matematica e Fisica.
Il numero di asterischi al fianco di un esercizio ne indica la difficoltà. La notazione dovrebbe essere
abbastanza standard.
Un esercizio si intende completamente risolto quando tutte le affermazioni sono giustificate in base
a teoremi enunciati a lezione oppure quando si sia prodotto un controesempio.
Segnalazioni di errori o imprecisioni sono bene accette [email protected].
Indice
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Geometria affine
Spazı̂ vettoriali.
Applicazioni lineari, matrici.
Sistemi lineari
Prodotti scalari
Autovalori, autovettori, diagonalizzabilità.
1
2
2
4
5
5
1. Geometria affine
Esercizio 1.1 (9/11/2009).
Si determinino in R3 tutti i vettori paralleli al vettore (1, 2, −1) e che
abbiano lunghezza pari alla lunghezza di (−2, 1/2, 1).
Esercizio 1.2 (9/11/2009).
v su w e di w su v.
Siano v = (1, 0, 0), w = (−1, π, 2) in R3 . Si determinino le projezioni di
Esercizio 1.3 (9/11/2009).
Sia V uno spazio vettoriale con un prodotto scalare. Si dimostri che
|pa b||pb a| ≤ |a||b| per ogni a, b ∈ V .
Esercizio 1.4 (9/11/2009).
dente; si determini hSi.
Si dica se S = {(1, −1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 2)} ⊆ R3 è linearmente indipen-
Esercizio 1.5 (9/11/2009).
Sia V uno spazio vettoriale e siano x, y, z ∈ V . Supponiamo che {x, y},
{x, z} e {y, z} siano sistemi linearmente indipendenti.
È vero che {x, y, z} è linearmente indipendente?
Esercizio 1.6 (9/11/2009).
Sia b = (−1, 0, 1) ∈ R3 e sia ℓ la retta passante per a = (2, −2, 1) e
parallela a b. Si determinino
• le equazioni cartesiana e parametrica di ℓ;
• l’equazione cartesiana del piano π ortogonale a ℓ e passante per a;
• dist(π, 0).
Esercizio 1.7.
Siano r la retta definita dall’equazione parametrica
r = {(−1, 3, 0) + (0, 6, −1/2)t | t ∈ R}
ed s la retta definita in forma cartesiana
s = {(x, y, z) | 2x − 1/3y = z
e
x + z = 0}.
Si determinino la posizione reciproca delle due rette e la loro distanza.
Date: Versione −0.9 del 27 gennaio 2010.
1
2
TT — UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO–BICOCCA
Esercizio 1.8.
Si determinino la posizione reciproca e la distanza tra le seguenti rette in R3 .
ℓ1 ={(1, −2, 3) + (1, 1, 1)t | t ∈ R},
ℓ2 ={(1, 1, 0) + (1, −2, 1)t | t ∈ R},
ℓ3 ={(0, −3, 2) + (−1, 2, −1)t | t ∈ R}.
Esercizio 1.9 (Compitino 5/12/2008 Es. 2; ∗).
Sia ℓ1 la retta passante per (1, −1, 2) e (0, 2, 1) e sia
ℓ2 la retta passante per (0, 1, 0) e perpendicolare al piano Π di equazione cartesiana 2x − 3y + z = 1.
(1) Stabilire se ℓ1 e ℓ2 sono parallele, perpendicolari, sghembe o incidenti;
(2) determinare dist(ℓ1 , ℓ2 );
(3) stabilire se ℓ1 è parallela o perpendicolare e Π; trovare dist(ℓ1 , Π);
(4) trovare dist(Π, 0).
2. Spazı̂ vettoriali.
Esercizio 2.1.
Sia V ≃ Q con base {e1 , e2 , e3 }. Sia S = {(1, 2, 0), (0, − 12 , 1), (1, 3, −2)}. Si dica se
S è un sistema linearmente indipendente. Si consideri il sottospazio W = hSi: qual’è la sua dimensione?
Si determini l’intersezione U = W ∩ he2 + 2e3 i: qual’è la sua dimensione?
Si trovi una base di U , la si estenda ad una base di W e si estenda quest’ultima ad una base di V .
3
Esercizio 2.2 (∗).
Si consideri lo spazio vettoriale sul campo dei numeri reali il cui gruppo abeliano
è C[T ]≤4 , l’insieme dei polinomi a coefficienti complessi di grado non superiore a 4 e il cui prodotto per
scalare è . : R × C[T ]≤4 → C[T ]≤4 dato da λ.f (T ) = (λf )(T ).
Si determini la dimensione dimR (C[T ]≤4 ) e se ne dia una base.
Esercizio 2.3.
Sia V = R4 e sia S = {e1 − e2 , e2 − e3 , e3 − e1 }. Si determini la dimensione di
W = hSi, si trovi un sottoinsieme B di S che sia una base di W . Si esibisca un sottospazio U tale che
V = U ⊕ W ; si trovi una base B ′ per U e si mostri che B ∪ B ′ è una base di V .
Esercizio 2.4 (16/11/2009; ∗).
Sia k un campo e sia V un k-spazio vettoriale. Sia W un sottospazio
di V e sia v ∈ V , come di seguito.
Si determini la dimensione di W e si dia una base BW . Si completi tale base ad una base BV per V . Si
scriva v come combinazione lineare dei vettori di BV .
(1) k = R, V = R[T ]≤3 , W = h3x, x2 − 1, x + x2 i e v = x3 − x;
(2) k = C, V = C3 , W = {(x, y, z)t ∈ C3 | 2x − iy = 0} e v = (1, 1, 1);
(3) k = R, V = C2 , W = h(1, i), (i, −1), (2 − i, 0)i e v = (i, 0).
(4) k = C, V = C2 , W = h(1, i), (i, −1), (2 − i, 0)i e v = (i, 0).
Esercizio 2.5 (16/11/2009; ∗).
Sia V = R4 come spazio vettoriale reale. Sia Wx = {v ∈ V | hv, xi =
0}. si provi che Wx è un sottospazio di V per ogni x ∈ R4 . Se ne determini la dimensione (in funzione
di x).
Suggerimento: si pensi al significato geometrico della definizione di Wx .
3. Applicazioni lineari, matrici.
Esercizio 3.1.
Siano definite le seguenti mappe
• f1 : Q3 → Q2 data da f (x, y, z) = (2x − y, z 2 ),
• f2 : R C → R C data da z 7→ z̄,
• f3 : C C = C → C C = C data da z 7→ z̄.
• Sia V = RN lo spazio vettoriale dato dalle successioni reali (an )n∈N con somma e prodotto per
scalare puntuali. Sia f4 : V → V definite da f4 ((an )n∈N ) = (bm )m∈N con b1 = 0 e bi = ai−1 per
i > 1. In tal caso f4 è chiamato operatore di shift.
Si dica quali di esse sono morfismi di spazı̂ vettoriali e in tal caso, se ne determinino nucleo e immagine.
Esercizio 3.2.
Si determini il volume del parallelogramma in R3 di vertici {0, a, b, c, a + b, a + c, b +
c, a + b + c}, dove a = (1, 2, 3), b = (−1, 2, 0) e c = (0, 0, 1).
Esercizio 3.3.
Siano date le seguenti matrici a coefficienti reali.


1
0
0
• M1 = 1 2
1 −1
• M3 =  2
1 0 −1
• M2 =
−3
−3
3
0 2 2


0 1 1
• M4 = 1 0 1
1 −1 0
ESERCIZI VARI. (ALGEBRA LINEARE)
3
Si determinino nullità e rango di Mi e Mi Mi+1 .
1
i 0
Esercizio 3.4.
Sia A =
∈ Mat2×3 C e sia LA la funzione
2+i 0 1
LA : C3 →
x 7→
C2
.
Ax
Si determinino
im(LA ) ≤ C2 , il nucleo ker(LA ) = (LA )−1 (0) ≤ C3 e il sottospazio affine
l’immagine
1
). Si mostri che la giacitura di X è ker LA .
X = (LA )−1 (
2
Esercizio 3.5.
Si consideri il sistema

 x − y + 2z = 1
−2x + z = −1
⇐⇒
 1
x
+
y
+
3z
=
0
2

1
 −2
1/2


 
1
−1 2
x
0 1   y  =  −1  .
0
1 3
z
Si dica se tale sistema ha soluzione, e nel caso la abbia, la si calcoli.
Esercizio 3.6.
Si considerino i sistemi della forma Ax = b sotto elencati; in ognuno dei casi si
determini il rango di A, il rango di [A|b] (cioè della matrice ottenuta aggiungendo ad A la colonna b), si
dica se ammette
tutte.


 soluzione e nel caso le si determinino
1
1 −2 0
 −1/2 
 0 1
1 
4



• A=
 2 −2 1  ∈ Mat4×3 Q, b =  2  ∈ Q
9/2
0 3 −3




1
2i
0
4 −1
• A =  2 i + 1 0 −i  ∈ Mat3×4 C, b =  −i  ∈ C3
2
1
2
i −i




1
2i
0
4 −1
• A =  2 i + 1 0 −i  ∈ Mat3×4 C, b =  −i  ∈ C3
1
2i i − 1 0 1
Esercizio 3.7 (14/12/2009).
Sia V = R3 e v1 = (1, 2, 3)t ∈ V . Sia f : V → V la riflessione rispetto
⊥
al piano hvi . Si scelga una base {v2 , v3 } per hvi⊥ e si mostri che B = {v1 , v2 , v3 } è una base di R3 .
Si trovi la matrice B [f ]B di f rispetto alla base B. Si determini la matrice del cambio di base E [id]B
rispetto alla base canonica.
Si verifichi che E [f ]E = (E [id]B )(B [f ]B )(B [id]E ) e che B [id]E = (E [id]B )−1 .
Esercizio 3.8 (14/12/2009).
Siano V = R3 e W = R4 e sia f la mappa lineare definita come l’unica
estensione di
 
 
 
 
 
 
0
−1
0
1
1
1
0
0
2



b3 = 1 7→ 
b2 = 1 7→ 
b1 = 0 7→ 
0 = c3 .
 0  = c2
0 = c1
1
0
0
1
0
1
Si scriva la matrice A che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di V e W .
Si scriva la matrice B di f rispetto alle basi B = {b1 , b2 , b3 } e C = {c1 , c2 , c3 , c4 } per un opportuno c4 .
Si verifichi la formula del cambio di base.
Esercizio 3.9 (11/01/2010 - Esame 23/2/09 Es. 2).
Sia f : R4 → R3 data da
 


x
x + y + 2t
y 
   y + z + t 
f
 z  =
x + 2y + z + 3t
t
• Determinare la matrice di f
(1) rispetto alle basi canoniche C4 = (e1 , e2 , e3 , e4 ) di R4 e C3 = (ε1 , ε2 , ε3 ) di R3 ;
(2) rispetto alle basi B = (e2 , 2e3 , −e4 , 3e1 ) di R4 e D = (ε3 , ε1 , 2ε2 ) di R3 .
• Trovare dimensioni e basi per (ker f )⊥ e (im f )⊥ , dove il complemento ortogonale è dato dal
prodotto scalare standard sia si R4 che su R3 .
• Al variare di v ∈ R3 , studiare f −1 (v), rappresentandola quando appropriato come un sottospazio
affine.
4
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Esercizio 3.10 (11/01/2010; ∗).
Sia f : R3 [t] → R2 [t] l’applicazione lineare definita da
3
f (at + bt2 + ct + d) = a(1 + t)2 + bt + c + d.
Determinare dimensioni e basi di ker f e im f
Determinare la matrice che rappresenta f rispetto alle basi B = (1, 1 + t, 1 + t2 , t3 ) di R3 [t] e C =
(1, 1 + t, 1 + t2 ) di R2 [t].
Esercizio 3.11 (assegnato per casa 11/01/2010).

0 1
1 0
A=
1 −1
2 −1
e sia B l’insieme ordinato
Sia f = LA : R4 → R4 , dove

0 1
−1 2

−1 1
−2 3
       
1
1
1
1
0 0 1  0 








.
B =   ,   ,   ,  
0
1
0
0 
1
0
0
−1
• Si dimostri che B è una base di R4 ;
• si determini la matrice M = B [f ]B rappresentate f rispetto a tale base;
• si determinino dimensione e immagine di (ker f )⊥ (rispetto al prodotto scalare euclideo).
Esercizio 3.12 (assegnato per casa 11/01/2010; ∗).
Si consideri una matrice reale A monomia,
ovvero una matrice per cui in ogni riga ed in ogni colonna esiste un unico elemento diverso da zero.
Si provi che se Monn R ∋ A = (aij ), allora A−1 = (bi,j ) con
0 if aji = 0
bij =
(aji )−1 if aji 6= 0
Esercizio 3.13.
TT 1:
Siano date le seguenti matrici reali



0 −1
1
−1 2/3
3 −4/3
4 
A = −1/2 0
e
B=
2
0
−2
3
1
1
2
2
1
−1/4
−3
Per ognuna di esse si calcolino determinante, traccia, polinomio caratteristico.1

1/2
−2 
.
0 
−4
radici di χ(t)?
4. Sistemi lineari
Esercizio 4.1.
Si risolvano i sistemi lineari del tipo Ax = B nei seguenti casi:

 

1 0 −2 1
1
1
0  e B = 2
• A = 3 2
2 −1 0 −1
3
0
0 −2 3
eB=
• A=
1
1 −1 4
Esercizio 4.2 (∗).
Esercizio 4.3 (∗).
Si discuta, al variare di k ∈ R, il sistema lineare Ax = b, dove
 


1
1 k 1
e
b = 1
A = 1 1 k
1
k 1 1
Si determinino i valori del parametro

1
2k
M (k) = −3k −2
0
4
k ∈ R per i quali il rango della matrice

0
1
1
non è massimo: per tali valori k ∈ R determinare il nucleo di M (k).
Esercizio 4.4 (∗).
Si consideri la matrice Ak dipendente da un parametro k ∈ R
 


2
k k−1 2
2
0
e sia
b =  1 .
Ak = −1
−1
2
k
2
Si determini il rango di Ak ; si risolva il sistema Ak x = b quando possibile.
ESERCIZI VARI. (ALGEBRA LINEARE)
5
5. Prodotti scalari
Esercizio 5.1 (assegnato per casa 11/01/2010; ∗).
Sia Rn [T ] lo spazio vettoriale dei polinomi reali
in un’indeterminata T di grado non superiore a n. Siano x0 , . . . xn numeri reali distinti.
Sia definita la funzione h , i : Rn [T ] × Rn [T ] → R
n
X
p(xi )q(xi ).
hp(T ), q(T )i =
i=0
Si provi che tale funzione è una forma bilineare simmetrica su Rn [T ]. Si dica inoltre se tale forma è
definita positiva.
Esercizio 5.2 (18/01/2010). Si considerino gli spazi vettoriali V e le funzioni h , i : V ×V → k definite
di seguito.
(1) Sia V = R3 , sia hv, wi = v1 w1 + 2v1 w2 + 2v2 w1 + v3 w3 per v = (v1 , v2, v3 )t e w = (w1 , w2 , w3 )t
e sia W = he1 , e3 i;
(2) Siano V = R≤3 [T ] e ha + bT + cT 2 + dT 3 , α + βT + γT 2 + δT 3 i = 2aα + 23 (bβ + aγ + αc) + 52 γc
e sia W = V ;


1
−1/2 0 0
−1/2
1
0 0

(3) V = R4 e hx, yi = (xt )M y con M = 
 0
0
1 0
0
0
0 −1
Per ognuno dei casi si dica se h , i è un prodotto scalare; in caso positivo si dica se tale prodotto scalare
è (semi-)definito positivo / (semi-)definito negativo / indefinito.
Si determini W ⊥ . Si determini una base ortogonale di W . La si estenda successivamente ad una base
ortogonale di V .
Si consideri V = R4 ed il sottospazio
Esercizio 5.3 (18/01/2010).
⊺
⊺
k
3
⊺
Wk = h( , 1, −1, k) , (1, −2, 1, −2k) , (2, 0, −1, − k) i
3
2
al variare di k ∈ R.
Si determini la dimensione di Wk , si trovi il complemento ortogonale di Wk rispetto al prodotto scalare
⊺
⊺
h(x, y, z, t) , (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) i = xx′ + yy ′ + 21 (xy ′ + yx′ ) + 2zz ′ + tt′ .
Esercizio 5.4.
Sia V = R4 con la funzione h(x, y, z, t) , (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) i = xx′ + yy ′ + zz ′ − c2 tt′ .
Si provi che la funzione è un prodotto scalare (detto di Minkowsky), e sia η(v) = hv, vi. Si determini un
vettore w non nullo tale che η(w) = 0 e un vettore w′ che abbia η(w′ ) < 0.
Si consideri la base B = {e1 + e2 , e2 + e3 , e1 + e3 , e4 } di R4 e da essa si produca una base O ortonormale.
⊺
⊺
Esercizio 5.5.
Sia V = R3 e sia data la base ordinata B = (e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 ). Si consideri il
prodotto scalare euclideo h , i; si determini la matrice M che lo rappresenta sulla base B.
Esercizio 5.6 (∗).
Nel caso (2) dell’Esercizio 5.2, si scriva la matrice che rappresenta il prodotto
scalare indicato rispetto alla base ordinata B = (1 + T 3 , T 2 , T + T 2 , T 3 ).
Esercizio 5.7.
Sia h , i il prodotto scalare canonico di R3 e sia v ∈ R3
Sia fv (x) = hv, xi. Si determini ker fv .
Esercizio 5.8 (∗).
2 ⊥
Si determini hT i
Sia V = R≤2 [T ] con prodotto scalare dato da
Z 1
f (t)g(t)dt.
hf (T ), g(T )i =
2 ⊥
−1
e hT, 1 + T i
6. Autovalori, autovettori, diagonalizzabilità.
Esercizio 6.1 (27/01/2010; ∗∗).
Si considerino le seguenti matrici reali e per ognuna di esse
• si determini il polinomio caratteristico χA (T ) ∈ R[T ];
• si determinino gli zeri di χA (T );
• si determinino gli autovalori di A e la relativa molteplicità;
• si determinino gli autospazi di A e la relativa dimensione;
• si dica se A è diagonalizzabile su R o eventualmente estendendo il campo a tutto C; in caso
affermativo si determini la matrice di cambio di base.
6
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

0 0 1/2
0 
A1 = 2 0
0 1
0


A4 = −

2
0
A2 = 
0
0
1
2√
3
2
0
√
3
2
1
2
0
1
2
0
0

1

0
2
0
1
2
0

0
0

0
3

cos α
A3 (α) = − sin α
0
A5 (k) =
1
−k
k
, k∈R
2
sin α
cos α
0

0
0 , α ∈ R
2