II FACOLTÀ DI INGEGNERIA - TARANTO
PROGRAMMA DI GEOMETRIA
INGEGNERIA CIVILE E PER L’AMBIENTE & IL TERRITORIO
Prof.ssa L. Chieppa
MATRICI-DETERMINANTI-SISTEMI LINEARI
Matrici quadrate, rettangolari, triangolari, diagonali, nulle; matrice trasposta di una matrice,
uguaglianza tra matrici. Matrici ortogonali: definizione e proprietà.
Operazioni tra matrici e relative proprietà: addizione, moltiplicazione di uno scalare per una
matrice, moltiplicazione tra matrici (righe per colonne).
Determinante di una matrice quadrata, proprietà dei determinanti, combinazioni lineari tra righe o
colonne, primo e secondo teorema di Laplace, teorema di Binet. Definizioni di sottomatrici e
minori, di minori complementari e complementi algebrici.
Matrici invertibili e singolari, condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità, matrice inversa
e relative proprietà.
Rango di una matrice, teorema di Krönecker o degli orlati.
Equazioni lineari in una o più variabili, insieme delle soluzioni, caso omogeneo. Sistemi lineari
compatibili, incompatibili; sistemi lineari equivalenti, sistemi lineari omogenei. Teorema di
Rouché-Capelli, sistemi di Cramer; modalità di determinazione dell'insieme delle soluzioni di un
sistema lineare compatibile.
STRUTTURE ALGEBRICHE-SPAZI VETTORIALI
Operazioni binarie interne, gruppi, gruppi abeliani, campi: definizioni, proprietà, esempi. Legge
esterna: definizione ed esempi. Spazi vettoriali: definizione, proprietà, esempi. Definizioni di
lineare dipendenza e di lineare indipendenza di vettori di uno spazio vettoriale e relative proprietà.
Definizione di sistemi di generatori, basi, componenti e dimensione di uno spazio vettoriale. Spazi
vettoriali non finitamente generati. Metodo degli scarti successivi e teorema del complemento della
base. Sottospazi vettoriali, proprietà di chiusura; sottospazi intersezione di sottospazi, sottospazi
somma (semplice e diretta) di due sottospazi, sottospazi generati da un numero finito di vettori.
Relazione di Grassmann sulle dimensioni.
APPLICAZIONI LINEARI
Definizione e proprietà delle applicazioni lineari, isomorfismi, endomorfismi e automorfismi;
nucleo e immagine di una applicazione lineare; legami tra matrici e applicazioni lineari;
applicazioni lineari e lineare dipendenza (indipendenza) di vettori. Teorema delle dimensioni o del
rango.
MATRICI DIAGONALIZZABILI
Matrici simili: definizioni e proprietà. Matrici diagonalizzabili: definizione. Definizioni di
autovalori, autovettori, autospazi, polinomio ed equazione caratteristica, molteplicità algebrica e
geometrica degli autovalori, condizione necessaria e sufficiente alla diagonalizzabilità di una
matrice; condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici siano simili; determinazione della
matrice di passaggio e della matrice diagonale, caso delle matrici simmetriche reali.
Terema di Cayley-Hamilton.
VETTORI LIBERI
Definizioni di segmenti orientati e vettori applicati; equipollenza tra segmenti orientati della retta,
del piano e dello spazio. Vettori liberi della retta, del piano e dello spazio. Lineare dipendenza e
indipendenza tra vettori liberi, parallelismo, complanarità. Spazio vettoriale di vettori liberi della
retta, del piano e dello spazio, base e dimensione. Operazioni con i vettori liberi: addizione,
moltiplicazione tra un vettore libero e uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale e misto e
relative proprietà. Lunghezza di un vettore, versore di un vettore non nullo, vettori ortogonali, basi
ortonormali. Prodotto scalare, vettoriale e misto calcolati tramite le componenti rispetto ad una base
ortonormale.
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO
Riferimento cartesiano nel piano, rappresentazioni di punti e rette nel piano; equazioni parametriche
e cartesiane della retta; parametri direttori di una retta, coseni direttori di una retta orientata.
Intersezione e parallelismo tra rette. Fasci propri e impropri di rette. Angoli tra rette; condizioni
analitiche di parallelismo e perpendicolarità. Distanza tra due punti, distanza di un punto da una
retta, distanza tra due rette parallele.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
Riferimento cartesiano nello spazio, rappresentazione di punti, rette e piani nello spazio.
Intersezione tra piani; parallelismo tra piani. Fascio proprio, fascio improprio di piani.
Equazioni parametriche e cartesiane della retta. Parametri direttori di una retta, parallelismo tra
rette. Coseni direttori di una retta. Rette complanari, rette sghembe. Intersezione di una retta e di un
piano; retta parallela ad un piano. Angoli tra due rette, tra due piani, tra una retta ed un piano.
Condizioni analitiche di parallelismo e di perpendicolarità. Distanza tra due punti, distanza di un
punto da un piano, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette parallele, distanza tra due
piani paralleli, distanza tra una retta e un piano paralleli. Minima distanza e retta di minima distanza
tra due rette sghembe.
CONICHE
Coniche riducibili, coniche irriducibili. Matrice di una conica. Invarianti di una conica.
Classificazione affine delle coniche reali. Riduzione a forma canonica. Formula dello sdoppiamento
e polarità.
TESTI CONSIGLIATI:
Appunti del docente
V. Abatangelo, B. Larato, A. Terrusi, Complementi ed esercizi di algebra, Ed. Laterza, Bari.
G. Vaccaro, A. Carfagna, L. Piccolella, Complementi ed esercizi di geometria e algebra lineare,
Zanichelli.
A. Cavicchioli, F. Spaggiari, Primo Modulo di Geometria, Pitagora Ed. Bologna.
A. Cavicchioli, F. Spaggiari, Secondo Modulo di Geometria, Pitagora Ed. Bologna.
