Esercizi - Domande 2 1. Determinare l`insieme di definizione delle

Esercizi - Domande 2
1. Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni:
x+1
• f1 (x) = arcsin 3x−2
√
• f2 (x) = ( 3x2 + x − 2 − x − 1)x
x−1 −2
• f3 (x) = log 2x−3
√
1
• f4 (x) = ( x + 4 − |x| + 2) log |x|
√
• f5 (x) = ( 3 − 2x − x2 + 1 − x)sin x
q
q
1
• f6 (x) = arccos
− x (x − 3) + arctan 4 x−2
2
5−x
• f7 (x) =
√
1
x2 − 16 − x − 1 log |x+5| + arctan
4−x
x+8
sin x
−2
Si ricordi che consideriamo definita ab con a, b ∈ R solo per a > 0.
Pertanto, [f (x)]g(x) risulta definita per f (x) > 0 e g(x) esistente.
2. Si dimostrino per induzione le seguenti proprietà:
P
(a) ∀n ∈ N : nk=1 k = n(n+1)
2
(b) ∀n ≥ 3 : n2 > 2n + 1
P
(c) ∀n ∈ N : nk=1 4k21−1 =
n
2n+1
3. Stabilire estremo superiore ed inferiore (ed eventualmente massimo e
minimo) dell’insieme:
2
n −1 2
+ :n∈N .
E=
3n2
3
4. Dato l’insieme:
E=
2n + 1
√
: n = 0, 1, 2 . . . ,
n2 + 4
verificare con la definizione che min E =
5. Siano
A=
1
2
e che max E =
√17 .
68
x − 3
x ∈ R, x 6= −2 : ≤1
x + 2
e B =]0, 2[. Determinare sup(A ∩ B) e inf(A ∩ B). Stabilire se esistono
max(A ∩ B) e min(A ∩ B) ed eventualmente calcolarli.
1
6. Dato l’insieme:
√
n+1
E= √
:n∈N ,
n+1
verificare con la definizione che min E =
max E? Se sı̀, quanto vale?
√
2
2
e che sup E = 1. Esiste
?????
7. Sia ∅ =
6 A ⊆ R. Esistono sempre sup e inf di A in R (eventualmente
±∞)? E max e min? Cosa si può dire di sup e inf di A in Q? Motivare
adeguatamente le risposte.
8. Saper tradurre “in formula” il fatto che l’estremo inferiore di un sottoinsieme A ⊆ R è −∞.
9. Saper scrivere, ragionando e senza ricordare inutilmente a memoria, le
proprietà caratteristiche di estremo superiore ed inferiore.
10. Siano k, n ∈ N, k ≤ n. Qual è la differenza tra disposizione e combinazione di k elementi in un insieme di n elementi? Quante sono le
disposizioni di k elementi in un insieme di n elementi? E le combinazioni?
11. Aver capito perchè (n + 1)! = (n + 1)n!.
12. Saper tradurre “in formula”, ragionando e senza ricordare inutilmente
a memoria, la convergenza di una successione (an )n∈N ad l ∈ R, cioè:
lim an = l.
n→+∞
13. Dimostrare che limn→+∞ an = 0 se e soltanto se limn→+∞ |an | = 0.
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