estremi di successioni - Alessandro Giacomini

2. Estremi di funzioni e successioni
Davide Catania
[email protected]
Esercitazioni di Analisi Matematica 1
A.A. 2016/17
Massimo di E ⊆ R è un elemento di E maggiore o uguale a tutti
gli elementi di E :
M = max E
def
M ∈ E,
M Êe
∀e ∈ E.
Maggiorante di E è un numero H maggiore o uguale a tutti gli
elementi di E :
H Êe
Nota: Se f : A → R,
Esempi grafici.
∀e ∈ E.
max f = max f (A).
Estremo superiore di E è il più piccolo maggiorante di E :
L = sup E .
Se f : A → R,
sup f = sup f (A).
Nota: Un massimo è un estremo superiore (e quindi un
maggiorante).
Esempi grafici.
Minimo di E ⊆ R è un elemento di E minore o uguale a tutti gli
elementi di E :
m = min E
def
m ∈ E,
mÉe
∀e ∈ E.
Minorante di E è un numero h minore o uguale a tutti gli
elementi di E :
hÉe
Nota: Se f : A → R,
Esempi grafici.
∀e ∈ E.
min f = min f (A).
Estremo inferiore di A è il più grande minorante di A: ` = inf A.
Se f : A → R,
inf f = inf f (A).
Nota: Un minimo è un estremo inferiore (e quindi un
minorante).
Esempi grafici.
Esercizio 1
Trova graficamente gli estremi di f : [1, +∞[ → R, dove
2
f (x) = 7x2x−x
2 .
Funzione superiormente illimitata: sup f = +∞
Funzione inferiormente illimitata: inf f = −∞
Successione. È una funzione con dominio N o tutti i numeri
naturali da un certo k ∈ N in poi:
Jk = { n ∈ N : n Ê k } ,
a : Jk
n
→ R
→ an = a(n).
Si indica anche con (an )nÊk .
Estremi di una successione.
sup an = sup { an : n ∈ Jk } ,
Jk
Esempi grafici.
ecc.
Esercizio 2
3n−1
Trova graficamente gli estremi di an = |2n−9|
, con n ∈ N (n Ê 0).
a0 = − 91 ,
¯
¯
¯
an = ¯ 3n−1
2n−9
per
nÊ1
Esercizio 3
Trova gli estremi di an = (n + 1)−3 sin π2n , n ∈ N.
Esercizio 4 (Analisi A, 11 Gennaio 2012)
Determina inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo
n ¡
o
¢p
¡
¢
A = 2 1 + (−1)n nn + 1 − (−1)n 2−n : n ∈ N, n Ê 1 .
Esercizio 5 (Analisi A, 3 Aprile 2007)
Determina inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo
½
½
¾
¾
8n + 1 2
A = max
, n + 1 : n ∈ N, n Ê 1 .
n
Esercizio 6 (Analisi A, 3 Settembre 2012)
Determina inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo
½
µ
¶
¾
7n
A = 28 arctan
:n∈N .
7n + 1
Esercizio 7 (Analisi A, 1 Febbraio 2012)
Determina inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo
n
³p
o
¡
¢
p ´
A = (−1)n n + 1 − n + 2 1 − (−1)n : n ∈ N .
Esercizio 8 (Analisi A, 4 Luglio 2011)
Determina inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo
¯
¾
½¯
¯ 100 − 2n ¯
¯
¯
:n∈N .
A= ¯
n+2 ¯
Esercizio 9
Trova graficamente gli estremi delle seguenti funzioni:
f (x) = −2 e−|x−1| ,
¯ ³π
´¯
¯
¯
g(x) = 2¯sin − 3x ¯ − 1 .
3
Esercizio 10
Trova graficamente gli estremi delle seguenti successioni
definite per n ∈ N, n Ê 1.
(a) an =
7n2 − n
,
2n2µ
¶
1
(c) an = (−1) 1 − ,
n
n
(e) an = 31/n ,
π
(g) an = sin n ,
2
(b) an = 2 cos(π n) +
(d) an =
3n − 1
,
|2n + 9|
(f) an = 2 sin(π n) ,
(h) an =
2n + 1
.
n
1
,
n
Esercizio 11
Trova graficamente gli estremi delle seguenti successioni
definite per n ∈ N, n Ê 1.
µ
¶
1
(a) an = lg3 1 + ,
n
µ
¶
6n + 1
,
(c) an = 13 arctan ln
n2
(−1)n 1 ¯¯
π n ¯¯
+ ¯sin
¯,
n
2
2
h ³
p
p ´i7
(d) an = ln 1 + e n+2− n .
(b) an =