Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l

Matematica 1 per Ottici e Orafi
I Numeri Reali
Indichiamo con N l’insieme dei numeri naturali 1, 2, 3, . . ..
Su N sono definite due operazioni : · e + che soddisfano le seguenti proprietá formali :
∀ a, b, c ∈ N
a·b=b·a
a + b = b + a commutatività
(a · b) · c = a · (b · c)
(a + b) + c = a + (b + c) associatività
1 · a = a elemento neutro
a · (b + c) = a · b + a · c distributività del prodotto rispetto
alla
somma
É inoltre definita una relazione d0 ordine (≤ ) compatibile con le operazioni, tale cioé che
∀ a, b, c ∈ N
a≤b⇒ a+c≤b+c
a·c≤b·c
Rispetto a questa relazione d’ordine, ogni sottoinsieme non vuoto S di N ha elemento
minimo. L’elemento minimo di N stesso é 1 (si dice che N é un insieme ben ordinato
Ricordiamo la definizione
Definizione 1. Se S 6= é un insieme ordinato (cioé dotato di una relazione d’ordine
≤) diciamo che S ha minimo se S contiene un elemento m tale che m ≤ x, ∀x ∈ S.
Scriveremo che m é il minimo di S, m = min S.
Analogamente S ha massimo se S contiene un elemento M tale che x ≤ M , ∀x ∈ S.
Scriveremo che M é il massimo di S, M = max S.
n
o
Z = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . é l’insieme dei numeri interi. N ⊆ Z. Nel passaggio da
N a Z sono preservate le proprietá formali citate per N. Si aggiungono le seguenti
0 + a = a ∀a ∈ Z
∀a ∈ Z
∃!(−a) ∈ Z
elemento neutro
:
a + (−a) = 0
per l0 addizione
esistenza
del
contrario
La compatibilitá della relazione d’ordine con la moltiplicazione assume la forma :
a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c ∀c > 0
a · c ≥ b · c ∀c < 0
1
Conseguenza di queste proprietá, sono la ”regola dei segni”
+·+=+
+·−=−·+=−
−·−=+
e il fatto che a · 0 = 0, ∀a ∈ Z
(infatti ab = a(b + 0) = ab + a0 ⇒ a0 = 0).
La sottrazione a − b viene definita come a + (−b).
Al contrario di N, Z non é un insieme ben ordinato. Come N é peró un insieme
discreto (ogni elemento ha un successore nell’ordinamento e non vi sono altri elementi tra
lui e il suo successore).
n
o
3
3
2
2
Q = . . . , 4 , − 4 , 1, 2, 5 , − 5 , . . . é l’insieme dei numeri razionali. Q ⊇ Z. Tutte le
relazioni formali valide in Z rimangono valide. Q é ordinato in modo compatibile rispetto
alle operazioni. Ció che realizza l’estensione da Z a Q é la richiesta che ogni a 6= 0 abbia
un inverso (unico !) moltiplicativo a−1 = a1 tale che a · a−1 = 1. 0 non puó avere inverso,
altrimenti, per definizione 0·0−1 = 1 ma (2·0)·0−1 = 0·0−1 = 1 mentre 2·(0·0−1 ) = 2·1 = 2
violando l’associativitá del prodotto (e il fatto che a · 0 = 0, necessaria conseguenza della
distributivitá). Al contrario di Z, Q non é discreto : tra due elementi qualunque di Q,
esiste sempre almeno un elemento di Q distinto da entrambi : tra x e y con x < y c’é, per
esempio, x+y
2 .
Si dice che Q é un campo ordinato per riassumere tutte le proprietá formali che
elenchiamo
a+b=b+a ,
(a + b) + c = a + (b + c) ,
∃!0 : a + 0 = a ,
∀a ∃! (−a)
: a + (−a) = 0
,
a·b=b·a
(a · b) · c = a · (b · c)
∃!1 : a · 1 = a
∀a 6= 0
∃!
a−1 =
1
a
: a · a−1 = 1
a · (b + c) = a · b + a · c
a≤b⇒a+c≤b+c
a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c ∀c > 0
⇒ a · c ≥ b · c ∀c < 0
Conseguenza della compatibilitá tra ordinamento e moltiplicazione é il fatto che per ogni
elemento x si ha x2 ≥ 0.
Sia ora S un insieme ordinato (S, ≤) e A un suo sottinsieme non vuoto.
Definizione α ∈ S si dice maggiorante di A (o confine superiore di A) se
α ≥ x, ∀x ∈ A. β ∈ S si dice minorante di A (o confine inferiore di A) se β ≤ x,
∀x ∈ A.
2
Esempio : In Q, l’insieme N é privo di maggioranti mentre tutti i razionali minori o
uguali a 1 sono minoranti di N. Sempre in Q, l’intervallo (−7, 3] ha per maggioranti tutti
i razionali maggiori o uguali a 3 e per minoranti tutti quelli minori o uguali a -7.
Definizione Chiamiamo estremo superiore di A, se esiste, il minimo dei maggioranti di A, e lo indichiamo con sup A.
Analogamente, chiamiamo estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dei minoranti di A, e lo indichiamo con inf A.
Osservazione Se A ha massimo, allora sup A = max A. Analogamente, se A ha minimo,
allora inf A = min A. Puó accadere che A non abbia massimo ma possegga l’estremo
superiore. Per esempio, sia A l’insieme dei razionali strettamente minori di 5. sup A = 5,
ma A non ha massimo (tra i suoi elementi non ce n’é alcuno piú grande di tutti !). In
generale non é garantita neppure l’esistenza dell’estremo superiore (e di quello inferiore).
Per esempio il sottoinsieme N di Q é privo di maggioranti e quindi di estremo superiore !.
Un esempio di tipo diverso é dato dall’insieme
n
o
A = x ∈ Q : x ≥ 0 e x2 ≤ 2 ⊆ Q
A non ha massimo (essenzialmente perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2) e
l’insieme dei maggioranti di A, cioé
n
o
B = y ∈ Q : y ≥ 0 e y2 ≥ 2
non ha minimo, sempre perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2. Dunque, in
Q non esiste alcun elemento sup A.
Definizione Se A 6= ∅ é privo di maggioranti (minoranti) diremo che A é
illimitato superiormente (illimitato inferiormente) e scriveremo sup A = +∞
(inf A = −∞).
Nell’esempio precedente, sup N = +∞, inf N = min N = 1.
Se A possiede un maggiorante (minorante) diremo che é limitato superiormente
(limitato inferiormente). Se A possiede un maggiorante e un minorante, diremo che
A é limitato.
Osservazione Se A é finito (cioé contiene solo un numero finito di elementi) ed ordinato,
allora possiede sia il massimo che il minimo.
Abbiamo visto che in Q ci sono insiemi limitati privi di estremo superiore in Q ( per
esempio : A = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≤ 2}). Inoltre in Q non tutti i numeri posseggono
le radici quadrate, cubiche, etc. Ció rende Q insufficiente per le esigenze sia dell’Analisi
che della Geometria. Si introducono quindi i numeri reali R.
Il modello a cui facciamo riferimento é quello degli allineamenti decimali illimitati :
±a, a1 a2 a3 · · · dove a ∈ N mentre a1 , a2 , · · · sono cifre comprese tra 0 e 9.
Esempio :
318, 110222003333330004444 · · ·
−12, 005711122200327 · · ·
3
Tra questi allineamenti é definita una relazione d’ordine tale che
α = a, a1 a2 a3 · · · < β = b, b1 b2 b3 · · ·
se
1) a < b o
2) a = b e a1 < b1
···
n + 1)a = b,
o
a1 = b 1 , · · · , a n = b n ,
e an+1 < bn+1
eccetera
(cioé α < β se la prima cifra di α diversa dalla corrispondente cifra di β é minore di essa)
cosı́
2, 2539875 < 2, 260001123
Chiamiamo 0 l’allineamento 0, 000 · · · e definiamo l’ordinamento per gli allineamenti
−a, a1 a2 a3 · · ·
in maniera simmetrica a quanto fatto per quelli del tipo +a, a1 a2 a3 · · ·. Cosı́
−2, 123005 · · · < −1, 1122131 · · · < −1, 10002 · · · < 0 < 1, 1002 · · · < 1, 1100 · · ·
Conveniamo di identificare allineamenti finiti e allineamenti periodici di periodo 9
Esempio
2, 35 ⇔ 2, 3499999 · · ·
0, 2 ↔ 0, 1999999 · · ·
e di sostituire,qualora dovessero comparire, gli allineamenti periodici di periodo 9 con i
corrispondenti allineamenti finiti.
Chiamiamo numeri reali tali allineamenti decimali e indichiamo con R il loro insieme.
Gli allineamenti finiti sono interpretabili come numeri razionali :
a, a1 a2 a3 a4 a5 = a +
a1
a2
a3
a4
a5
+ 2+ 3+ 4+ 5
10 10
10
10
10
Si vede anzi che ogni numero razionale puó essere rappresentato come allineamento decimale finito o periodico e viceversa che ogni allineamento finito o periodico é associato ad
un numero razionale. Q puó quindi essere visto come un sottoinsieme di R (allineamenti
finiti o periodici).
Q é denso in R : é facile vedere che tra due allineamenti arbitrari (i.e. tra due
arbitrari elementi di R) ci sono sempre allineamenti finiti (o periodici !) e quindi tra due
reali c’é sempre un razionale (in realtá infiniti)
Esempio : Tra α = 2, 11222333000 · · · e β = 2, 11222334000123 · · · c’é, per esempio il
razionale 2, 11222334 o anche il razionale 2, 112223335̄ = 2, 112223335555555 · · ·.
Teorema Ogni sottoinsieme non vuoto di R possiede estremo superiore ed estremo
inferiore (eventualmente uguali a +∞ o −∞).
4
Definizione Se x ∈ R,
n
| x |=
x se x ≥ 0
−x se x < 0
(volgarmente | x | é il numero senza segno !)
Dato il numero reale x rappresentato dall’allineamento decimale a, a1 a2 · · · chiamiamo
troncamento di x a livello n il numero razionale xn = a, a1 a2 · · · an . La differenza tra x
e il suo troncamento di ordine n é in valore assoluto minore o uguale a 101n .
Mediante l’esistenza dell’estremo superiore per ogni sottoinsieme non vuoto di R e
grazie ai troncamenti, possiamo definire le operazioni in R.
Addizione Se 0 ≤ x ,y ∈ R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti. Costruiamo
l’insieme X + Y = {xn + ym , ∀n, m} e definiamo
x + y = sup(X + Y )
Con semplici aggiustamenti tecnici questa definizione si puó estendere anche ai reali
negativi.
Moltiplicazione Se 0 ≤ x ,y ∈ R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti.
Costruiamo l’insieme XY = {xn ym , ∀n, m} e definiamo
xy = sup(XY )
Questa definizione si estende a tutti i numeri reali mediante la regola dei segni.
Con queste operazioni R diventa un
campo
ordinato con
proprietà dell0 estremo superiore
la
e in conseguenza di ció, in R ogni numero maggiore o uguale a 0 ha radice
∀n ≥ 2
Infatti: sia α > 0, costruiamo
A = {a ∈ R a ≥ 0
:
n − esima
an ≤ α}
si dimostra che (sup A)n = α dunque, sup A é la radice n-esima di α. Dato α > 0 in R e
p
q ∈Q
p
1
α q = (α q )p
Possiamo ora definire per α > 0, α 6= 1 e ∀β ∈ R il numero reale αβ . Se α > 1 sia
p
A = {α q ,
allora
Se 0 < α < 1, allora
p
∈Q
q
:
αβ = sup A
αβ = inf A
5
p
≤ β}
q
FATTI
Se A ha minimo, inf A = min A
Se A ha massimo, sup A = max A
Se sup A < ∞, allora ∀² > 0 ∃x² ∈ A tale che sup A − ² < x² (x² potrebbe essere proprio
sup A qualora quest’ultimo fosse elemento di A e quindi il massimo di A).
Se sup A < ∞, ma sup A 6∈ A, allora ∀² > 0 esistono infiniti elementi di A maggiori di
sup A − ².
Se inf A > −∞, allora ∀² > 0 ∃x² ∈ A tale che inf A + ² > x² .
Se inf A > −∞, ma inf A 6∈ A, allora ∀² > 0 esistono infiniti elementi di A minori di
inf A + ².
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