Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l’insieme dei numeri naturali 1, 2, 3, . . .. Su N sono definite due operazioni : · e + che soddisfano le seguenti proprietá formali : ∀ a, b, c ∈ N a·b=b·a a + b = b + a commutatività (a · b) · c = a · (b · c) (a + b) + c = a + (b + c) associatività 1 · a = a elemento neutro a · (b + c) = a · b + a · c distributività del prodotto rispetto alla somma É inoltre definita una relazione d0 ordine (≤ ) compatibile con le operazioni, tale cioé che ∀ a, b, c ∈ N a≤b⇒ a+c≤b+c a·c≤b·c Rispetto a questa relazione d’ordine, ogni sottoinsieme non vuoto S di N ha elemento minimo. L’elemento minimo di N stesso é 1 (si dice che N é un insieme ben ordinato Ricordiamo la definizione Definizione 1. Se S 6= é un insieme ordinato (cioé dotato di una relazione d’ordine ≤) diciamo che S ha minimo se S contiene un elemento m tale che m ≤ x, ∀x ∈ S. Scriveremo che m é il minimo di S, m = min S. Analogamente S ha massimo se S contiene un elemento M tale che x ≤ M , ∀x ∈ S. Scriveremo che M é il massimo di S, M = max S. n o Z = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . é l’insieme dei numeri interi. N ⊆ Z. Nel passaggio da N a Z sono preservate le proprietá formali citate per N. Si aggiungono le seguenti 0 + a = a ∀a ∈ Z ∀a ∈ Z ∃!(−a) ∈ Z elemento neutro : a + (−a) = 0 per l0 addizione esistenza del contrario La compatibilitá della relazione d’ordine con la moltiplicazione assume la forma : a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c ∀c > 0 a · c ≥ b · c ∀c < 0 1 Conseguenza di queste proprietá, sono la ”regola dei segni” +·+=+ +·−=−·+=− −·−=+ e il fatto che a · 0 = 0, ∀a ∈ Z (infatti ab = a(b + 0) = ab + a0 ⇒ a0 = 0). La sottrazione a − b viene definita come a + (−b). Al contrario di N, Z non é un insieme ben ordinato. Come N é peró un insieme discreto (ogni elemento ha un successore nell’ordinamento e non vi sono altri elementi tra lui e il suo successore). n o 3 3 2 2 Q = . . . , 4 , − 4 , 1, 2, 5 , − 5 , . . . é l’insieme dei numeri razionali. Q ⊇ Z. Tutte le relazioni formali valide in Z rimangono valide. Q é ordinato in modo compatibile rispetto alle operazioni. Ció che realizza l’estensione da Z a Q é la richiesta che ogni a 6= 0 abbia un inverso (unico !) moltiplicativo a−1 = a1 tale che a · a−1 = 1. 0 non puó avere inverso, altrimenti, per definizione 0·0−1 = 1 ma (2·0)·0−1 = 0·0−1 = 1 mentre 2·(0·0−1 ) = 2·1 = 2 violando l’associativitá del prodotto (e il fatto che a · 0 = 0, necessaria conseguenza della distributivitá). Al contrario di Z, Q non é discreto : tra due elementi qualunque di Q, esiste sempre almeno un elemento di Q distinto da entrambi : tra x e y con x < y c’é, per esempio, x+y 2 . Si dice che Q é un campo ordinato per riassumere tutte le proprietá formali che elenchiamo a+b=b+a , (a + b) + c = a + (b + c) , ∃!0 : a + 0 = a , ∀a ∃! (−a) : a + (−a) = 0 , a·b=b·a (a · b) · c = a · (b · c) ∃!1 : a · 1 = a ∀a 6= 0 ∃! a−1 = 1 a : a · a−1 = 1 a · (b + c) = a · b + a · c a≤b⇒a+c≤b+c a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c ∀c > 0 ⇒ a · c ≥ b · c ∀c < 0 Conseguenza della compatibilitá tra ordinamento e moltiplicazione é il fatto che per ogni elemento x si ha x2 ≥ 0. Sia ora S un insieme ordinato (S, ≤) e A un suo sottinsieme non vuoto. Definizione α ∈ S si dice maggiorante di A (o confine superiore di A) se α ≥ x, ∀x ∈ A. β ∈ S si dice minorante di A (o confine inferiore di A) se β ≤ x, ∀x ∈ A. 2 Esempio : In Q, l’insieme N é privo di maggioranti mentre tutti i razionali minori o uguali a 1 sono minoranti di N. Sempre in Q, l’intervallo (−7, 3] ha per maggioranti tutti i razionali maggiori o uguali a 3 e per minoranti tutti quelli minori o uguali a -7. Definizione Chiamiamo estremo superiore di A, se esiste, il minimo dei maggioranti di A, e lo indichiamo con sup A. Analogamente, chiamiamo estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dei minoranti di A, e lo indichiamo con inf A. Osservazione Se A ha massimo, allora sup A = max A. Analogamente, se A ha minimo, allora inf A = min A. Puó accadere che A non abbia massimo ma possegga l’estremo superiore. Per esempio, sia A l’insieme dei razionali strettamente minori di 5. sup A = 5, ma A non ha massimo (tra i suoi elementi non ce n’é alcuno piú grande di tutti !). In generale non é garantita neppure l’esistenza dell’estremo superiore (e di quello inferiore). Per esempio il sottoinsieme N di Q é privo di maggioranti e quindi di estremo superiore !. Un esempio di tipo diverso é dato dall’insieme n o A = x ∈ Q : x ≥ 0 e x2 ≤ 2 ⊆ Q A non ha massimo (essenzialmente perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2) e l’insieme dei maggioranti di A, cioé n o B = y ∈ Q : y ≥ 0 e y2 ≥ 2 non ha minimo, sempre perché non esiste alcun razionale il cui quadrato é 2. Dunque, in Q non esiste alcun elemento sup A. Definizione Se A 6= ∅ é privo di maggioranti (minoranti) diremo che A é illimitato superiormente (illimitato inferiormente) e scriveremo sup A = +∞ (inf A = −∞). Nell’esempio precedente, sup N = +∞, inf N = min N = 1. Se A possiede un maggiorante (minorante) diremo che é limitato superiormente (limitato inferiormente). Se A possiede un maggiorante e un minorante, diremo che A é limitato. Osservazione Se A é finito (cioé contiene solo un numero finito di elementi) ed ordinato, allora possiede sia il massimo che il minimo. Abbiamo visto che in Q ci sono insiemi limitati privi di estremo superiore in Q ( per esempio : A = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≤ 2}). Inoltre in Q non tutti i numeri posseggono le radici quadrate, cubiche, etc. Ció rende Q insufficiente per le esigenze sia dell’Analisi che della Geometria. Si introducono quindi i numeri reali R. Il modello a cui facciamo riferimento é quello degli allineamenti decimali illimitati : ±a, a1 a2 a3 · · · dove a ∈ N mentre a1 , a2 , · · · sono cifre comprese tra 0 e 9. Esempio : 318, 110222003333330004444 · · · −12, 005711122200327 · · · 3 Tra questi allineamenti é definita una relazione d’ordine tale che α = a, a1 a2 a3 · · · < β = b, b1 b2 b3 · · · se 1) a < b o 2) a = b e a1 < b1 ··· n + 1)a = b, o a1 = b 1 , · · · , a n = b n , e an+1 < bn+1 eccetera (cioé α < β se la prima cifra di α diversa dalla corrispondente cifra di β é minore di essa) cosı́ 2, 2539875 < 2, 260001123 Chiamiamo 0 l’allineamento 0, 000 · · · e definiamo l’ordinamento per gli allineamenti −a, a1 a2 a3 · · · in maniera simmetrica a quanto fatto per quelli del tipo +a, a1 a2 a3 · · ·. Cosı́ −2, 123005 · · · < −1, 1122131 · · · < −1, 10002 · · · < 0 < 1, 1002 · · · < 1, 1100 · · · Conveniamo di identificare allineamenti finiti e allineamenti periodici di periodo 9 Esempio 2, 35 ⇔ 2, 3499999 · · · 0, 2 ↔ 0, 1999999 · · · e di sostituire,qualora dovessero comparire, gli allineamenti periodici di periodo 9 con i corrispondenti allineamenti finiti. Chiamiamo numeri reali tali allineamenti decimali e indichiamo con R il loro insieme. Gli allineamenti finiti sono interpretabili come numeri razionali : a, a1 a2 a3 a4 a5 = a + a1 a2 a3 a4 a5 + 2+ 3+ 4+ 5 10 10 10 10 10 Si vede anzi che ogni numero razionale puó essere rappresentato come allineamento decimale finito o periodico e viceversa che ogni allineamento finito o periodico é associato ad un numero razionale. Q puó quindi essere visto come un sottoinsieme di R (allineamenti finiti o periodici). Q é denso in R : é facile vedere che tra due allineamenti arbitrari (i.e. tra due arbitrari elementi di R) ci sono sempre allineamenti finiti (o periodici !) e quindi tra due reali c’é sempre un razionale (in realtá infiniti) Esempio : Tra α = 2, 11222333000 · · · e β = 2, 11222334000123 · · · c’é, per esempio il razionale 2, 11222334 o anche il razionale 2, 112223335̄ = 2, 112223335555555 · · ·. Teorema Ogni sottoinsieme non vuoto di R possiede estremo superiore ed estremo inferiore (eventualmente uguali a +∞ o −∞). 4 Definizione Se x ∈ R, n | x |= x se x ≥ 0 −x se x < 0 (volgarmente | x | é il numero senza segno !) Dato il numero reale x rappresentato dall’allineamento decimale a, a1 a2 · · · chiamiamo troncamento di x a livello n il numero razionale xn = a, a1 a2 · · · an . La differenza tra x e il suo troncamento di ordine n é in valore assoluto minore o uguale a 101n . Mediante l’esistenza dell’estremo superiore per ogni sottoinsieme non vuoto di R e grazie ai troncamenti, possiamo definire le operazioni in R. Addizione Se 0 ≤ x ,y ∈ R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti. Costruiamo l’insieme X + Y = {xn + ym , ∀n, m} e definiamo x + y = sup(X + Y ) Con semplici aggiustamenti tecnici questa definizione si puó estendere anche ai reali negativi. Moltiplicazione Se 0 ≤ x ,y ∈ R, siano X e Y gli insiemi dei loro troncamenti. Costruiamo l’insieme XY = {xn ym , ∀n, m} e definiamo xy = sup(XY ) Questa definizione si estende a tutti i numeri reali mediante la regola dei segni. Con queste operazioni R diventa un campo ordinato con proprietà dell0 estremo superiore la e in conseguenza di ció, in R ogni numero maggiore o uguale a 0 ha radice ∀n ≥ 2 Infatti: sia α > 0, costruiamo A = {a ∈ R a ≥ 0 : n − esima an ≤ α} si dimostra che (sup A)n = α dunque, sup A é la radice n-esima di α. Dato α > 0 in R e p q ∈Q p 1 α q = (α q )p Possiamo ora definire per α > 0, α 6= 1 e ∀β ∈ R il numero reale αβ . Se α > 1 sia p A = {α q , allora Se 0 < α < 1, allora p ∈Q q : αβ = sup A αβ = inf A 5 p ≤ β} q FATTI Se A ha minimo, inf A = min A Se A ha massimo, sup A = max A Se sup A < ∞, allora ∀² > 0 ∃x² ∈ A tale che sup A − ² < x² (x² potrebbe essere proprio sup A qualora quest’ultimo fosse elemento di A e quindi il massimo di A). Se sup A < ∞, ma sup A 6∈ A, allora ∀² > 0 esistono infiniti elementi di A maggiori di sup A − ². Se inf A > −∞, allora ∀² > 0 ∃x² ∈ A tale che inf A + ² > x² . Se inf A > −∞, ma inf A 6∈ A, allora ∀² > 0 esistono infiniti elementi di A minori di inf A + ². 6