NUMERI REALI
In quanto segue non diremo che cosa è un numero reale ma definiremo per via
assiomatica l’insieme dei numeri reali. Insieme che denotiamo con IR. L’insieme
dei numeri reali è un campo totalmente ordinato è completo, cioè un insieme sul
quale sono definite due operazioni +, · e una relazione d’ordine totale ≤ e vale
l’assioma dell’estremo superiore. Ricordiamo che (IR, +) è un gruppo abeliano
con elemento neutro 0, (IR − {0}, ·) è un gruppo abeliano con elemento neutro
1, le operazioni di addizione e moltiplicazione sono legate dalla proprietà
x(y + z) = xy + xz
per ogni x, y, z ∈ IR. La relazione d’ordine ≤ è legata alle operazioni + e · dalle
seguenti condizioni:
x≤y⇒
0 ≤ x,
x − y ≤ 0,
0≤y
0 ≤ y − x,
⇒0≤x+y
e
0 ≤ xy.
Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni
IR+ = {x ∈ IR : 0 < x}
IR− = {x ∈ IR : 0 > x}
0
IR+
= {x ∈ IR : 0 ≤ x}
0
IR−
= {x ∈ IR : 0 ≥ x}
Gli elementi di IR+ , rispettivamente IR− , sono i numeri reali positivi,
0
0
sono i numeri reali non neg, IR−
rispettivamente negati. Gli elementi di IR+
ativi, rispettivamente non positivi.
In IR l’operazione di sottrazione si definisce utilizzando l’operazione di addizione e il fatto che ogni numero reale ammette opposto. Per definizione
x − y = x + (−y),
dove -y denota l’opposto di y.
In IR l’operazione di divisione si definisce mediante l’operazione di moltiplicazione e il fatto che ogni numero reale y 6= 0 ammette inverso. Per definizione
x:y=
x
= xy −1
y
1
per ogni x, y ∈ IR.
Le proprietà che caratterizzano un campo sono dette anche assiomi, ora
vogliamo mettere in evidenza come da questi assiomi si possono dedurre le
proprietà dei numeri reali che conosciamo, cioè possiamo dedurre quelle regole
di calcolo note a tutti.
Innanzi tutto osserviamo che l’elemento neutro 0 è unico. Infatti se 0’e 0”
fossero elementi neutri per l’addizione, allora
00 = 00 + 0” = 0”.
In modo analogo si mostra che l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione
è unico. Dalla definizione di opposto segue che l’opposto dell’opposto di x ∈ IR
è x stesso e si deduce l’ unicità dell’opposto di un numero.
Ricordiamo che per ogni x ∈ IR risulta 0 · x = 0, infatti
0 · x = 0 · x + 0 = 0 · x + (x − x) = (0 · x + 1 · x) − x = (0 + 1) · x − x = 0.
Legge di annullamento del prodotto:
ab = 0
se e solo se
a=0
o
b = 0.
Abbiamo già provato che il prodotto è nullo se uno dei due fattori è nullo.
Supponiamo a 6= 0 ed osserviamo che risulta
b = 1 · b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 · 0 = 0.
Mostriamo che l’equazione x + a = b ammette una ed una sola soluzione
data da x = b − a. È facile verificare che x = b − a è soluzione. Se x è una
soluzione, allora
x = x + 0 = (x + a) − a = b − a.
In modo analogo si prova che l’equazione ax = b ammette una ed una sola
soluzione data da x = ba−1 .
Fissiamo l’attenzione su alcune proprietà connesse con la relazione di ordine.
Come è noto la scrittura x < y significa x ≤ y e x 6= y. Ricordando che 0 ≤ a
e 0 ≤ b implica che 0 ≤ ab, utilizzando la legge di annullamento del prodotto,
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deduciamo che 0 < a e 0 < b implica che 0 < ab. Si deduce così che il prodotto
di due numeri positivi è un numero positivo.
Osservato che −x = (−1)x, deduciamo che (−x)(−y) = xy e ciò assicura che
il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo, mentre il prodotto di
un numero negativo con uno positivo è negativo. Da cui deduciamo che a2 > 0
non appena a 6= 0 e in particolare che 1 > 0.
Si verifica facilmente che un numero reale, non nullo, e il suo inverso hanno
lo stesso segno. Si noti, inoltre, che per ogni a, b > 0 risulta
a≤b
se e solo se
a2 ≤ b2 .
Fissiamo l’attenzione su una conseguenza dell’assioma dell’estemo superiore
che assicura che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di IR
ammette estremo superiore.
Vogliamo mostrare che ciò implica che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore. Sia A 6= ∅ un insieme limitato
inferiormente e consideriamo l’insieme −A = {−a : a ∈ A}. L’insieme −A 6= ∅
risulta limitato superiormente, inoltre se x è un minorante di A, allora -x è un
maggiormente di - A e viceversa. Di conseguenza sup(−A) = −inf (A) e dato
che esiste sup(−A) segue che esiste inf (A) = −sup(−A).
Da quanto provato deduciamo che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato di
IR ammette sia estremo inferiore sia estremo superiore.
Abbiamo osservato che 1 > 0 e quindi in IR esistono gli elementi
1,
1 + 1 = 2,
1 + 1 + 1 = 3, . . .
tali elementi, tutti maggiori di zero, rappresentano l’insieme dei numeri Naturali.
Insieme che abbiamo denotato con IN . L’insieme
Z = IN
[
{0}
[
(−IN ).
A questo punto possiamo considerare l’insieme
Q = {ab−1 : a, b ∈ Z, b 6= 0}.
Per questi insiemi abbiamo le seguenti inclusioni
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR.
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(1)
Gli elementi di IR − Q si chiamano numeri irrazionali. Vedremo che tale
insieme non è vuoto.
Mostriamo che l’insieme IN non è limitato superiormente. Supponiamo per
assurdo che lo sia. In virtù dell’assioma sull’estremo superiore, IN risulta dotato
di estremo superiore sia esso c. Da n ≤ c per ogni n ∈ IN segue che n + 1 ≤ c
per ogni n ∈ IN e ciò implica che n ≤ c − 1 per ogni n ∈ IN . Ciò contrasta con
la definizione di estremo superiore e pertanto IN non è limitato superiornente.
Tenuto conto della (1) deduciamo che Z, Q, IR non sono limitati superiormente.
Essendo Z non limitato inferiormente, in quanto contiene -IN, deduciamo che
gli insiemi Q, IR non sono limitati inferiormente.
Uno degli assiomi che caratterizza l’insieme dei numeri naturali è il principio
di induzione.
Principio di induzione. Sia M un sottoinsieme di IN. Se 1 ∈ IN e se da
n ∈ M segue che n + 1 ∈ M , allora M = IN .
Valore assoluto di un numero reale.
Ad ogni numero reale x si associa un numero reale non negativo che si denota
con |x|, noto come valore assoluto di x, dove |x| = x se x ≥ 0 e |x| = −x se
x < 0.
Si dimostra facilmente che sussistono le seguenti proprieta.
|x| = | − x|
per ogni x ∈ IR,
(2)
−x, x ≤ |x|
per ogni x ∈ IR,
(3)
|x + y| ≤ |x| + |y|
|xy| = |x||y|
per ogni x, y ∈ IR,
per ogni x, y ∈ IR,
||x| − |y|| ≤ |x − y|
|x| ≤ a
se e solo se
per ogni x, y ∈ IR,
− a ≤ x ≤ a,
con a ∈ IR+ .
(4)
(5)
(6)
(7)
Verifichiamo la (7). Supponiamo che |x| ≤ a, allora in virtù della (3) risulta
x ≤ a e −x ≤ a e da quest’ultima segue che −a ≤ x e quindi −a ≤ xleqa.
Viceversa, da −a ≤ x ≤ a deduciamo che −x, x ≤ a che equivale ad affermare
che |x| ≤ a.
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Potenza di base reale ed esponente naturale
Fissato x ∈ IR per ogni n ∈ IN poniamo x1 = x e xn = xn−1 x se n > 1.
xn rappresenta la potena n-ma di x.
Le potenze con esponente naturale hanno le seguenti proprietà:
i) xn y n = (xy)n ,
ii) xn xm = xn+m ,
iii) (xn )m = xnm ,
iv) se 0 < x < y, allora xn < y n per ogni n ∈ IN ,
v) se 0 < x < 1 e n < m, allora xm < xn ,
vi) se 1 < x e n < m, allora xn < xm ,
vii) se n è pari e x 6= 0, allora xn > 0,
viii) se n è dipari e x 6= 0, allora xn e x hanno lo stesso segno,
ix) se x > 0, allora xn > 0 per ogni n ∈ IN ,
x) se x 6= 0, allora (xn )−1 = (x−1 )n .
Potenze ad esponente intero e base reale.
Per ogni x 6= 0 e per ogni n ∈ Z si considera la potenza xn . Se n è un
numero naturale tale potenza è stata già definita, se n = 0 si pone x0 = 1 e se
n < 0 si pone xn = (x−1 )−n .
Proprietà delle potenze ad esponente intero:
i) xn y n = (xy)n ,
ii) xn xm = xn+m ,
iii) (xn )m = xnm ,
iv) xn : xm = xn−m ,
v) se 0 < x < 1 e n < m, allora xm < xn ,
vi) se 1 < x e n < m, allora xn < xm ,
vii) (x : y)n = xn : xm .
Tali proprietà si conseguono utilizzando quelle relative alle potenze con esponente naturale.
Proprieta di Archimede.
Abbiamo visto che l’insieme Z non è limitato superiormente e ciò permette
di affermare che per ogni x ∈ IR esiste n ∈ IN tale che n > x. Tale affermazione
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è nota come Principio di Archimede. Utilizzando tale proprietà si definisce la
parte intera di un numero reale x che denotiamo con cxb∈ Z ed è tale che
cxb≤ x ≤cxb+1,
la parte intera di un numero reale è il più grande intero che non supera il numero.
Utilizzando il Principio di Archimede e la parte intera si verifica immediata
che Q è denso in IR, cioè che per ogni a, b ∈ IR, con a < b, esiste r ∈ Q
tale che a < r < b. Supponiamo che ∅ 6= B ⊂ A ⊂ IR. Supponendo B
limitato superiormente, allora possiamo trovare i maggioranti di B in quanto
sottoinsieme di IR e quelli di B in quanto sottoinsieme di A che chiameremo
A-maggioranti di B. Vogliamo trovare la relazione che intercorre tra sup(B) e
A-sup(B). Sussistono le seguenti affermazioni:
i) sup(B) ≤ A − sup(B),
ii) sup(B) = A − sup(B) non appena A è denso in IR.
i) segue dal fatto che ogni A-maggiorante di B è anche un maggiorante di B.
ii) se sup(B) < A − sup(B), l’ipotesi che A è denso in IR assicurerebbe
l’esistenza di un x ∈ A tale che sup(B) < x < A − sup(B) e ciò è assurdo.
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