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Integrabilità della funzione composta
Teorema 1.1 Siano f : I → R una funzione integrabile nell’intervallo limitato I e g una
funzione continua in R. Allora la funzione composta g ◦ f è integrabile in I.
Dimostrazione – Siano a, b, con a < b, gli estremi di I. Sulla base dell’Osservazione ??, possiamo
supporre che I = [a, b], attribuendo, eventualmente, alla funzione f , nei punti a e b, due valori reali
arbitrari. Poiché f è integrabile in I, essa è limitata. Quindi, esistono m, M ∈ R tali che m ≤ f (x) ≤ M ,
per ogni x ∈ I. La funzione g, che è continua in R, è certamente uniformemente continua nell’intervallo
[m, M ]. Quindi, per ogni > 0, esiste δ > 0 tale che |g(y1 )−g(y2 )| < , per ogni coppia di punti y1 , y2 ∈ J
con |y1 − y2 | < δ. Si può supporre che sia δ < .
L’integrabilità di f in I implica che esiste una suddivisione P = {x0 , x1 , . . . , xn } di I tale che, posto
mi =
inf
f (x)
e
x∈]xi−1 ,xi [
risulti
n
X
Mi =
sup
f (x),
x∈]xi−1 ,xi [
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) < δ 2 .
i=1
La funzione g ◦ f è limitata in I, perché composizione di funzioni limitate. Indichiamo, rispettivamente,
con M i e mi il sup e l’inf di g ◦ f in [xi−1 , xi ]. Definiamo adesso le seguenti due funzioni a gradini
Mi
per x ∈ [xi−1 , xi [,
i = 1, 2, . . . , n
v(x) =
,
(g ◦ f )(b) per x = b
mi
per x ∈ [xi−1 , xi [,
(g ◦ f )(b) per x = b
u(x) =
i = 1, 2, . . . , n
.
Si ha u(x) ≤ (g ◦ f )(x) ≤ v(x), per ogni x ∈ [a, b]. Dividiamo l’insieme In = {1, 2, . . . , n} in due parti:
X = {i ∈ In : Mi − mi < δ}
e
Y = {i ∈ In : Mi − mi ≥ δ}.
Se i ∈ X, risulta, per definizione, Mi − mi < δ e, quindi, per ogni coppia di punti s, t ∈ [xi−1 , xi ], si
ha pure |f (s) − f (t)| < δ. L’uniforme continuità di g implica, allora, che |g(f (s)) − g(f (t))| < . Si ha,
perciò,
sup
|g(f (s)) − g(f (t))| = M i − mi ≤ .
s,t∈[xi−1 ,xi ]
Se, invece, i ∈ Y , si ha
δ
X
(xi − xi−1 ) ≤
i∈Y
e, di conseguenza,
X
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) ≤
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) < δ 2 ,
i=1
i∈Y
X
n
X
(xi − xi−1 ) < δ. Indichiamo con L il sup di g in J; allora, M i − mi ≤ 2L, per ogni
i∈Y
i ∈ In . A questo punto,
Jba [v] − Jba [u]
=
n
X
(M i − mi )(xi − xi−1 )
i=1
=
X
(M i − mi )(xi − xi−1 ) +
i∈X
<
X
(M i − mi )(xi − xi−1 )
i∈Y
(b − a) + 2Lδ < ((b − a) + 2L),
ricordando che δ < . Dall’arbitrarietà di , segue l’integrabilità di g ◦ f .
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