Esercizi proposti al settembre 2007

Esercizi di Analisi Numerica
Esercizio 1
Sia











A=










a
b
0
·
·
·
0
b
0
·
·
·
0 


a b
· 


b a ·
· 



· · ·
· 


· a b 0 



b a b 


· · · 0 b a
una matrice tridiagonale simmetrica appartenente a Rn×n .
a) Si determinino gli autovalori e gli autovettori di A;
b) si determini il raggio spettrale di A;
c) si consideri un sistema lineare in cui la matrice dei coecienti è A; si studi la
convergenza del metodo di Jacobi.
1
Esercizio 2
Sia
f (x) = (1 − x)p + xq − 1,
x ∈ R,
p, q ∈ N∗ .
a) Si dica quante radici reali ha la funzione f e quali sono le loro molteplicità;
b) si studi la convergenza dei metodi iterativi del tipo xi+1 = g(xi ) dove
1
1) g(x) = (1 − (1 − x)p ) q ;
1
2) g(x) = 1 − (1 − xq ) p ;
3) g(x) = x −
f (x)
.
f 0 (x)
Esercizio 3
Siano A ∈ Cn×n e B ∈ C2n×2n tali che

 O
B=
A

A 
.
O
a) Si determino due matrici D, E ∈ Cn×n tali che

B − λI2n
 In
=
D

O   λIn

In
O

A 
;
E
b) sfruttando la fattorizzazione ottenuta in a) si indichi come gli autovalori di B
sono legati agli autovalori di A;
c) si considerino per il sistema lineare
(B + αI2n )x = b,
α ∈ C,
x, b ∈ C2n ,
i due metodi iterativi di Jacobi a blocchi
1
α
x(m+1) = (b − B x(m) ), m = 0, 1, 2, . . .
2
e di GaussSeidel a blocchi

−1 

αI
O
n
 
 O
x(m+1) = 

 b − 
A αIn
O


A  (m) 
x ,
O
m = 0, 1, 2, . . .
e si dimostri che un metodo converge se e solo se converge anche l'altro, indicando
quale dei due metodi ha il maggiore tasso asintotico di convergenza (si utilizzino
le relazioni ottenute in b)).
3
Risoluzione esercizio 1
a) Se p = q = 1 si ha f (x) = 0.
Altrimenti si possono distinguere i seguenti casi:
i) p pari, q pari:
Le radici sono α = 0 e β = 1, entrambe di molteplicità 1.
ii) p pari, q dispari:
Nel caso che sia p > q le radici sono α = 0 e β = 1, entrambe di molteplicità 1.
Nel caso che sia p < q le radici sono α = 0, β = 1 e γ > 0, tutte di molteplicità
1. In tale caso si ha f (−1) = 2p − 2 > 0; quindi γ < −1.
iii) p dispari, q pari:
Nel caso che sia p < q le radici sono α = 0 e β = 1, entrambe di molteplicità 1.
Nel caso che sia p > q le radici sono α = 0, β = 1 e δ > 0, tutte di molteplicità
1. In tale caso si ha f (−2) = −2 + 2q > 0; quindi δ > 2.
iv) p dispari, q dispari:
Nel caso che sia p = q (allora il grado dell'equazione è p − 1) le radici sono α = 0
e β = 1, entrambe di molteplicità 1.
Nel caso che sia p < q le radici sono α = 0, β = 1 e γ ≤ −1, tutte di molteplicità
1.
Nel caso che sia p > q le radici sono α = 0, β = 1 e δ ≥ 2.
4
Conclusione:
I) se il grado dell'equazione è pari ci sono solo le due radici α e β ;
II) se il grado dell'equazione è dispari, oltre alle due radici α e β , esiste una terza
radice, negativa se p < q , positiva se p > q .
b)
1)
p
g (x) =
q
Ã
!
(1 − x)p−1
0
1
(1 − (1 − x)p )1− q
.
Si ha:
lim |g 0 (x)| = ∞,
x→0
g 0 (1) = 0.
Se p < q
p
g (γ) =
q
Ã
0
!
(1 − γ)p−1
1
(1 − (1 − γ)p )1− q
µ
¶µ
¶
p 1 − γq
1
=
q 1−γ
γ q−1
µ
¶
p
1
=
(1 + γ + γ 2 + · · · + γ q−1 )
q γ q−1
µ
¶
p
1
1
1
=
1 + + 2 + · · · + q−1 .
q
γ
γ
γ
Ne segue, poichè γ < −1, che
|g 0 (γ)| <
5
p
< 1.
q
Se p > q , analogamente
g 0 (δ) =
p
q
µ
¶
1
1
1
p
1 + + 2 + · · · + q−1 > > 1.
δ
δ
δ
q
Quindi il primo metodo converga alla soluzione β (con ordine superiore al primo)
e alla soluzione γ .
2) In modo analogo al caso precedente si ha:
g 0 (0) = 0,
lim |g 0 (x)| = ∞.
x|to1
Se p < q
g 0 (γ) >
q
> 1.
p
|g 0 (δ)| <
q
< 1.
p
Se p > q
Quindi il secondo metodo converga alla soluzione α (con ordine superiore di
primo) e alla soluzione δ .
3) Trattandosi di un'equazione algebrica con radici tutte di moltiplicità 1 il metodo
delle tangenti converge localmente ad ogni radice con ordine almeno 2.
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Risoluzione esercizio 3
a) Poichè


 −λIn
B − λI2n = 
A
e

 In

D

O   −λIn

In
O
A


−λIn
 
A   −λIn
=
E
−λD

A


DA + E
si ha
A = −λD
e
− λIn = DA + E.
Se λ = 0 tali relazioni sono vericate da A = E = O e D qualsiasi.
Per λ 6= 0 si ha
1
D=− A
λ
1
E = A2 − λIn .
λ
b) Si ha, per λ 6= 0,


 In
det(B − λI2n ) = det 
D
O   −λIn

In
O

A 

E
= det(−λIn ) det(E)
= (−1)n det(A2 − λ2 In ).
Ne segue che gli autovalori di B sono le soluzioni dell'equazione det(A2 − λ2 In ) = 0.
Posto µ autovalore di A, si ha λ2 = µ2 e quindi λ = ±µ.
Inoltre, poichè det(B) = (−1)n (det(A))2 , B è singolare se e solo se lo è A e l'autovalore
nullo di B ha molteplicità algebrica doppia rispetto a quella dell'autovalore nullo di A.
c) La matrice d'iterazione del metodo di Jacobi è
1
J =− B
λ
7
e quindi
ρ(J) =
1
1
ρ(B) =
ρ(A).
|α|
|α|
La matrice d'iterazione del metodo di GaussSeidel a blocchi è

−1 

 αIn O   O A 
G=
 

A αIn
O O



1
I
O
O
A

 α n

=


2
− α1 A α1 In
O O


1
I
O
α n


=

2
O − α1 A2
e quindi
ρ(G) =
12 2
ρ (A) = ρ2 (J).
α
Ne segue che ρ(G) < 1 se e solo se ρ(J) < 1 e che, in tal caso, ρ(G) < ρ(J). Quindi
GaussSeidel ha il maggiore tasso asintotico di convergenza.
8