Algebra I - Esercizi sugli spazi vettoriali
C.L. in Matematica
1. Si fornisca un esempio per ciascuna delle strutture algebriche sottoelencate, specificando con precisione l’insieme e le operazioni considerate:
• un semigruppo commutativo che non sia un monoide;
• un semigruppo non commutativo, che non sia un monoide;
• un monoide commutativo, che non sia un gruppo;
• un monoide non commutativo, che non sia un gruppo;
• un gruppo abeliano;
• un gruppo non abeliano;
• un campo finito;
• un campo infinito;
• un dominio d’integrità che non sia un campo.
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2. Per ciascuno dei sottoinsiemi seguenti si stabilisca se esso è un sottospazio di Q2 , strutturato a spazio vettoriale su Q nel modo usuale:
H1 = {(x, y) : x = y}
H2 = {(x, y) : x = 2y}
H3 = {(x, y) : x + y = 1}
H4 = {(x, y) : x = 0}
3. Per ciascuno dei sottoinsiemi seguenti si stabilisca se esso è un sottospazio di R3 , strutturato a spazio vettoriale su R nel modo usuale:
H1 = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 0}
H2 = {(x, y, z) : x = y = z}
H3 = {(x, y, z) : x = 5y, y = 5x + 1}
H4 = {(x, y, z) : x2 + y 2 = 1}
H5 = {(x, y, z) : x − 3z = 0}
4. Per ciascuno dei sottoinsiemi seguenti si stabilisca se esso è un sottospazio di (Z7 )4 , strutturato a spazio vettoriale su Z7 nel modo usuale:
¯ : ā + b̄ + c̄ + d¯ = 0̄}
H1 = {(ā, b̄, c̄, d)
¯ : ā + b̄ + c̄ = 0̄}
H2 = {(ā, b̄, c̄, d)
¯ : ā + b̄ = 0̄}
H3 = {(ā, b̄, c̄, d)
¯ : ā = 0̄}
H4 = {(ā, b̄, c̄, d)
5. Si consideri l’insieme V = {(2, 0, 0), (0, −3, 0)} nello spazio vettoriale
reale R3 e, dopo aver descritto hV i, si stabilisca se il vettore (5, −2, 0)
ne è un elemento.
6. Nell’insieme R3 strutturato a spazio vettoriale su R, si stabilisca quali
dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti:
A = {(1, 0, 0), (2, 1, 0)}
B = {(0, 2, 3), (0, −4, −6)}
C = {(1, 0, 0), (3, 2, 0), (0, 1, 0)}
D = {(2, 0, 0), (1, −5, 0), (0, −2, 1)}
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7. Nell’insieme R2 strutturato a spazio vettoriale su R, si stabilisca quali
dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono
un sistema di generatori dello spazio e quali costituiscono una base:
A = {(2, 12), (−π, −π)}
B = {(2, −1/3), (−1, 1/6)}
C = {(2/3, 3/2), (2, 3)}
√
D = {(1, 2), (3, −2 2), (−2, 2)}
8. Dopo aver provato che l’insieme
B = {(−1, −1, −1), (1, −1, 0), (−1, 0, 0)}
è una base dell’usuale spazio vettoriale reale R3 , si determinino le componenti in tale base dei vettori v = (−3, 1, 2) e w = (0, 1, 1).
9. Considerato (Z3 )3 in modo naturale come Z3 -spazio vettoriale, provare
che
X = {(1, 2, 0), (2, 1, 0)}
è una parte legata di (Z3 )3 , mentre
Y = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}
è una parte libera di (Z3 )3 .
10. Sia K un corpo. Si consideri l’insieme K 3 strutturato a K-spazio vettoriale sinistro nel modo usuale. Si provi che l’insieme
S = {(a, b, 0) : a, b ∈ K}
è un sottospazio di K 3 .
11. Siano K un corpo, V un K-spazio vettoriale sinistro, u, v, w ∈ V . Si
provi che se l’insieme {u, v, w} è linearmente indipendente, allora anche
l’insieme {u + v, u − v, u − 2v + w} lo è.
12. Si consideri l’insieme V = (Z3 )4 strutturato a Z3 -spazio vettoriale nel
modo usuale.
Si considerino in V i vettori
u = (1, 0, 1, 1),
v = (1, 2, 2, 0),
w = (2, 2, 0, 1).
Si descriva il sottospazio hu, v, wi di V e se ne determini una base.
Si stabilisca se (1, 1, 1, 1) ∈ hu, v, wi.
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13. Nell’usuale spazio vettoriale reale R4 , si considerino i sottospazi
V = {(x, y, z, t) : x + 3y − z = 0}
W = h(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 2, 2, 1)i.
Si determinino una base e la dimensione di V e W .
14. Siano U e W i sottospazi dello spazio vettoriale R4 su R generati rispettivamente da:
U : u1 = (1, −1, 2, −3),
u2 = (1, 1, 2, 0),
W : w1 = (0, −2, 0, −3),
u3 = (3, −1, 6, −6)
w2 = (1, 0, 1, 0).
Si calcoli la dimensione di U e di W .
15. Considerato Q2 in modo naturale come Q-spazio vettoriale, provare che
l’insieme
H = {(a, b) ∈ Q2 | a < b}
non è un Q-sottospazio di Q2 .
16. Si consideri il sottoinsieme V = {(a, b, a, b) : a, b ∈ Q} del Q-spazio
vettoriale Q4 . Si dimostri che V è un sottospazio di Q4 e se ne determinino due basi.
17. Si consideri R2 strutturato a spazio vettoriale reale nel modo usuale.
Si stabilisca se l’applicazione f : (x, y) ∈ R2 → (x + 1, y + 1) ∈ R2 è
lineare.
18. Siano S uno spazio vettoriale sinistro di dimensione finita su un corpo
Λ e B = {x1 , ..., xn } una base di S. Si dimostri che l’applicazione
Φ : x ∈ S → (α1 , ..., αn ) ∈ Λn
che ad ogni vettore di S associa la n-upla delle sue componenti nella
base B è un isomorfismo di spazi vettoriali, detto isomorfismo coordinato rispetto alla base B.
19. Con R3 strutturato a spazio vettoriale reale nel modo usuale, si stabilisca quali tra le seguenti applicazioni f : R3 → R3 sono lineari:
f (x, y, z) = (3, x − z, y)
f (x, y, z) = (x, y − z, z 2 )
f (x, y, z) = (2y − z, x + 4z, 0).
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20. Si provi che gli insiemi
V = {(1, 0, −1), (−2, 4, 1), (0, 0, 5)}
W = {(0, 3, 0), (1, −1, 0), (−1, 2, 1)}
sono basi dello spazio vettoriale reale usuale R3 .
Considerata poi l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f (1, 0, −1) = (1, 0, −1)
f (−2, 4, 1) = (2, −4, −1)
f (0, 0, 5) = (0, 0, 15),
si determini f (x, y, z) per ogni (x, y, z) ∈ R3 .
21. Si considerino R3 ed R4 strutturati a spazio vettoriale su R nel modo
usuale.
Si dimostri che B = {(1, 0, 1), (0, 0, 2), (3, −1, 0)} è una base di R3 .
Considerata l’applicazione lineare f : R3 → R4 definita dalle posizioni
f (1, 0, 1) = (1, 0, 0, 0)
f (0, 0, 2) = (−1, 1, k − 1, 0)
f (3, −1, 0) = (1, 1, k, 0),
dove k è un parametro reale, si determini f (x, y, z) per ogni (x, y, z) in
R3 .
Si stabilisca poi per quali valori di k l’applicazione f è iniettiva.
22. Si considerino gli usuali spazi vettoriali reali R2 e R3 e l’applicazione
lineare f : R2 → R3 definita ponendo f (x, y) = (2x − y, x + y, x).
Si dimostri che f è lineare e si determini la dimensione del nucleo e
dell’immagine.
23. Sia F un campo e si consideri l’usuale spazio vettoriale F4 . Si verifichi
che l’applicazione
ϕ : (a, b, c, d) ∈ F4 → (a + 3c, 4b + d) ∈ F2
è un epimorfismo di F -spazi vettoriali e se ne determini il nucleo.
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24. Si consideri l’applicazione
ϕ : (a, b, c) ∈ R3 → (a + b, a + b + 2c) ∈ R2
tra gli R-spazi vettoriali R3 e R2 .
Si dimostri che ϕ è un R-omomorfismo e si determinino il nucleo di ϕ,
la sua dimensione e una sua base.
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