Foglio di esercizi 3, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2016 Gli

Foglio di esercizi 3, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2016
Gli esercizi con * sono facoltativi e non verranno svolti in classe.
Esercizio 1
a) Dimostrare che lo spazio vettoriale k[x] dei polinomi di ogni grado a coefficienti in k non ha dimensione finita (cioe’ non esiste una base finita).
b)* Dimostrare che lo spazio vettoriale F (R) = {R −→ R} non ha dimensione finita. (Aiuto: per ogni a ∈ R si considerino la funzione fa : R −→ R,
fa (x) = a se e solo se x = a. Tali funzioni sono linearmente indipendenti?).
Esercizio 2
Data una matrice A con m righe e n colonne a coefficienti nel campo k, si
considerino le seguenti operazioni elementari di riga:
1. Scambio di due righe,
2. Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo,
3. Somma di un multiplo di una riga ad un’altra.
Si dimostri che tali operazioni non cambiano lo span dei vettori che formano
le righe di A.
Esercizio 3*
Una matrice si dice in forma scala per righe se il primo elemento diverso
da zero di una riga si trova piu’ a destra del primo elemento diverso da zero
della riga precedente. Dimostrare che le righe di una tale matrice sono vettori
linearmente indipendenti.
Esercizio 4
a) Siano v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (2, 0, 2, −1), v3 = (−1, 1, −1, 1). Si determini
una base di W = Span{v1 , v2 , v3 } ⊂ R4 e la si completi ad una base di R4 .
Inoltre si determini se il vettore w = (1, 0, 1, 1) appartiene a Span{v1 , v2 , v3 }.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono) il vettore v = (k, 0, k, 1) appartiene a W .
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Esercizio 5
Si risponda alle seguenti domande nello spazio vettoriale R2 [x] (i polinomi
di grado minore o uguale a 2). Se si ritengono vere si dia una spiegazione
esauriente del perche’, se si ritengono false e’ necessario fare un controesempio.
a) Esistono 3 vettori linearmente indipendenti?
b) Esistono 4 vettori linearmente indipendenti?
c) Lo spazio vettoriale dato puo’ essere scritto come span di 4 vettori?
d) Lo spazio vettoriale dato puo’ essere scritto come span di 2 vettori?
Esercizio 6
a) Si dica per quali valori di k si ha w = (2, 5) ∈ span{(k, 1), (1, −2)}.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono), {(k, 1), (1, −2)} e’ una base di
R2 . Motivare accuratamente la risposta.
Esercizio 7
Si dica per quali valori del parametro k i vettori di R3 [x]: v1 = 1 + x,
v2 = kx + 2x2 , v3 = 2x + kx2 , v4 = x3 sono linearmente indipendenti.
Esercizio 8
k 0
1 1
,
,
a) Si stabilisca per quali valori del parametro k le matrici
1
0
0
0
−1 k − 1
, sono linearmente indipendenti.
k
0
b) Si stabilisca per quali valori del parametro k tali matrici generano il sottospazio
r s
, | r, s, t ∈ R
W =
t 0
Esercizio 9*
Si consideri lo spazio vettoriale complesso M2,2 (C) come spazio vettoriale
reale e lo si denoti V .
a) Si calcoli la dimensione di V su R.
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b) Si dimostri che il sottoinsieme:
a + d b + ic
| a, b, c ∈ R
W =
b − ic a − d
e’ un sottospazio vettoriale di V (entrambi visti come spazi vettoriali reali).
c) Si dimostri che
1 0
,
σ0 =
0 1
0 1
,
σ1 =
1 0
0 −i
,
σ2 =
i 0
σ3 =
1 0
0 −1
e’ una base per W (sempre su R). Le matrici σi si dicono matrici di Pauli
e hanno un’importanza fondamentale in fisica. W e’ uno dei modelli per lo
spazio tempo di Minkowski.
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