Esercizi 1
1. Cosa è uno spazio vettoriale su un campo K?
2. Dato l’insieme R2 delle coppie di numeri reali,
(i) dimostrare che (R2 , ⊕, ◦) è uno spazio vettoriale sul campo R con le seguenti operazioni:
(x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 − 2, y + y 0 ), per ogni (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R2
h ◦ (x, y) = (hx + 2 − 2h, hy), per ogni h ∈ R, per ogni (x, y) ∈ R2 ;
(ii) dimostrare che (R2 , , ∗) non è uno spazio vettoriale su R con le seguenti operazioni:
(x, y) (x0 , y 0 ) = (x + y 0 , x0 + y), per ogni (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R2
h ∗ (x, y) = (hx, hy), per ogni h ∈ R, per ogni (x, y) ∈ R2 .
3. Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, cosa è un sottospazio vettoriale di V ?
4. Quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi?
X = {α(2, 1, −1) + (1, 0, 1) | α ∈ R} ⊆ R3 ,
Y = {(a, b, c) ∈ R3 | a + b = 1} ⊆ R3 ,
Z = {ax + a2 x2 | a ∈ R} ⊆ R[x]≤3 ,
T = {a + (a + b)x + bx2 | a, b ∈ R} ⊆ R[x]≤2 .
5. Dati r vettori v1 , . . . , vr di uno spazio vettoriale (V, +, ·) su un campo K, cosa vuol dire che
un vettore v è combinazione lineare dei vettori assegnati?
6. Fissato un riferimento B (ossia, una base ordinata) di uno spazio vettoriale V finitamente
generato, dire cosa sono le componenti di un vettore u ∈ V in B.
7. Determinare le componenti di ciascuno dei seguenti vettori nei riferimenti fissati:
(i) (34, −56) ∈ R2 in B = ((1, 0), (0, 1));
(ii) (1, −2, −1) ∈ R3 in B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), 0, 1, 0)).
−2 0 1
(iii)
∈ R2,3 in
1 2 0
1 0 1
0 0 1
0 0 0
0 1 1
0 0 0
1 0 1
.
,
,
,
,
,
B=
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 0 0
8. Si considerino i vettori v1 = (1, 2, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, −2) dello spazio vettoriale
numerico (R3 , +, ·) e si ponga S = {v1 , v2 , v3 }.
(i) Osservare che il vettore v3 è combinazione lineare di v1 e v2 .
(ii) Dire se S è linearmente indipendente oppure è linearmente dipendente. In quanti modi
il vettore nullo si può scrivere come combinazione lineare dei vettori v1 , v2 , v3 ?
(iii) Il vettore w = (0, 0, 1) dipende linearmente da S? In quanti modi il vettore nullo si può
scrivere come combinazione lineare dei vettori v1 , v2 , w?
(iv) Qual è lo spazio L(S) generato da S? Il sistema S è un sistema di generatori di (R3 , +, ·)?
9. Nello spazio vettoriale V su R dei vettori liberi dello spazio delle geometria elementare, siano
u1 e u2 due vettori linearmente indipendenti entrambi di lunghezza 1.
(i) Posto w = u1 − 2u2 , dire se il sistema {u1 , u2 , w} è linearmente indipendente.
(ii) Esibire un vettore di lunghezza 3.
(iii) I vettori u1 e u2 possono essere paralleli?
