6. Introduzione alle equazioni differenziali (I)

6. Introduzione alle equazioni differenziali (I)
http://eulero.ing.unibo.it/~barozzi/SCAM/SCAM-tr06A.pdf
1. Un’equazione diﬀerenziale è una relazione tra i valori della variabile indipendente x ed i valori assunti
(nello stesso punto x ) da una funzione incognita y e da una o più sue derivate. L’incognita è dunque una
funzione, anziché un numero. Il ricorso a tali equazioni si presenta naturale in molti problemi in cui si vuole
studiare il comportamento dinamico di un sistema: la Fisica presenta molti modelli matematici sotto forma
di equazioni diﬀerenziali. Nelle Scienze Naturali si fa ricorso alle equazioni diﬀerenziali nello studio della
dinamica di grandi popolazioni.
Esempio 6.1.1. Supponiamo di studiare una massa di un composto radioattivo che si sta disintegrando.
Sia t il tempo contato a partire dall’istante in cui s’inizia a studiare il fenomeno, m = m(t) la massa
non disintegrata al tempo t. Ovviamente t → m(t) è una funzione decrescente del tempo. La “velocità di
disintegrazione” al tempo t è misurata dalla derivata m (t). Supponiamo che tale velocità sia, in ogni istante,
proporzionale alla massa m(t) attiva al tempo t. Dunque
m (t) = −λm(t),
(6.1.1)
dove λ > 0 è la costante di proporzionalità. Abbiamo scritto −λ in quanto m (t) è negativa mentre m(t) è
positiva. La (6.1.1) costituisce un semplice esempio di equazione diﬀerenziale; una funzione t → m(t) che
veriﬁchi la (6.1.1) per ogni t è una soluzione (si dice anche un integrale) dell’equazione stessa. Ricordando
che D exp(kt) = k exp(kt), si riconosce che
m(t) := e−λt
è una soluzione della (6.1.1), cosı̀ come lo è ogni funzione del tipo
t → ce−λt ,
(6.1.2)
per ogni c reale. Per c = 0 si ottiene la funzione identicamente nulla.
Inversamente, se t → m(t) è una soluzione dell’equazione in esame, allora m (t) + λm(t) = 0, da cui,
moltiplicando per la funzione non nulla eλt , segue
⇐⇒
D eλt m(t) = 0
m (t)eλt + λeλt m(t) = 0
e ﬁnalmente eλt m(t) = c, cioè m(t) = ce−λt . Dunque tutte le soluzioni dell’equazione considerata sono fornite
dalla (6.1.2).
Per determinare quella, tra le funzioni individuate, che descrive il fenomeno ﬁsico, occorre conoscere
la massa iniziale non disintegrata m(0). In tal caso è facile determinare la costante c: poiché la funzione
exp(−λt) vale 1 per t = 0, deve essere c = m(0). Dunque la soluzione dell’equazione (6.1.1) che corrisponde
al problema ﬁsico è
m(t) := m(0) e−λt .
(6.1.2 )
L’equazione (6.1.1) è un caso particolare di equazione del tipo
y (x) + a(x)y(x) = f (x),
(6.1.3)
dove a e f sono funzioni continue, assegnate su un intervallo I della retta reale, mentre y è la funzione
incognita. Nel caso dell’equazione (6.1.1) si ha a(x) = λ (costante), f (x) = 0, ∀x, dunque si tratta di
un’equazione omogenea.
Come caso particolare della (6.1.3) abbiamo quello in cui a(x) = 0, ∀x; l’equazione diventa allora
y (x) = f (x),
(6.1.3 )
con f funzione assegnata. Si tratta allora di trovare una primitiva della funzione f , problema che abbiamo
risolto mediante il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: tutte le soluzioni della (6.1.3) sono date
dalla formula
6.
Equazioni differenziali
x
f (t) dt + c,
x →
2
(6.1.4)
x0
dove x0 è un punto ad arbitrio dell’intervallo I e c è una costante reale arbitraria.
Se si preferisce, si può utilizzare allo stesso scopo il simbolo di integrazione indeﬁnita
f (x) dx.
Se imponiamo alla soluzione di avere un valore preﬁssato, diciamo y0 , per x = x0 , possiamo determinare
la costante d’integrazione c. Infatti scrivendo la (6.1.4) per x = x0 otteniamo y(x0 ) = c. In conclusione, la
soluzione richiesta si scrive
x
y(x) = y0 +
f (t)dt.
(6.1.4 )
x0
2. Equazioni diﬀerenziali lineari del primo ordine
Nelle equazioni ﬁn qui incontrate non compaiono potenze di esponente superiore a 1 della funzione incognita
y e della derivata prima y , né compare il prodotto yy ; si parla in tal caso di equazioni diﬀerenziali di primo
grado o lineari. Al contrario l’equazione
[y (x)]2 + y(x) = 1
è di secondo grado, dato che compare il quadrato della derivata prima.
Si chiama poi ordine di un’equazione diﬀerenziale il massimo ordine di derivazione che in essa compare.
Cosı̀ y + y = 2x è un’equazione lineare del primo ordine, mentre
y + 2xy + y = ex
è un’equazione lineare del secondo ordine. Noi ci limiteremo quasi esclusivamente a studiare equazioni
diﬀerenziali lineari del primo e del secondo ordine.
In generale, un’equazione diﬀerenziale lineare del primo ordine si scriverà
a0 (x)y (x) + a1 (x)y(x) = f (x),
con a0 , a1 e f funzioni continue, assegnate su un intervallo I della retta reale. Occorre tuttavia supporre
che sia a0 (x) = 0 per ogni x, perché in caso contrario, nei punti di annullamento di a0 non comparirebbe più
la derivata della funzione incognita. Dividendo primo e secondo membro per a0 e scrivendo semplicemente
f al posto di f /a0 , ci si può dunque sempre ricondurre alla forma (6.1.3), che per comodità riscriviamo:
y (x) + a(x)y(x) = f (x).
(6.2.1)
Noi abbiamo visto come si tratta il caso a(x) = 0. Vediamo di introdurre un artiﬁcio che consenta di
riportare una qualunque equazione del tipo (6.2.1) al caso che sappiamo risolvere. A tale scopo, sia A(x) una
qualsivoglia primitiva della funzione a(x), cioè un rappresentante della famiglia a(x) dx, e consideriamo la
funzione
eA(x) = 0.
(6.2.2)
Moltiplichiamo entrambi i membri della (6.2.1) per eA(x) , ottenendo
y (x)eA(x) + y(x) a(x) eA(x) = f (x) eA(x) ,
dove la funzione
F (x) := f (x) eA(x)
a secondo membro è nota, essendo note f e A. Dunque
A(x)
A(x)
D y(x)e
= F (x)
⇐⇒
y(x)e
= F (x) x,
vale a dire
x
y(x)eA(x) =
F (t) dt + c,
x0
6.
3
Equazioni differenziali
e ﬁnalmente
y(x) = e−A(x)
x
F (t) dt + c .
(6.2.3)
x0
La formula ottenuta fornisce la soluzione generale ( = integrale generale) dell’equazione allo studio, nel
senso che ogni soluzione dell’equazione stessa è data dall’espressione a secondo membro, per un opportuno
valore della costante c.
Si osservi che se l’equazione è omogenea (∀x, f (x) = 0), la formula precedente si riduce a
y(x) = c e−A(x) .
(6.2.3 )
I due addendi che compaiono a secondo membro della formula (6.2.3):
x
−A(x)
y(x) = e
F (t) dt + c e−A(x) ,
x0
rappresentano dunque una soluzione particolare dell’equazione non omogenea e la soluzione generale dell’equazione omogenea.
Se si aggiunge una condizione iniziale, cioè si richiede che sia y(x0 ) = y0 , dove x0 ∈ I e y0 è un valore
assegnato, otteniamo
y0 = c e−A(x0 )
=⇒
c = y0 eA(x0 ) ,
e dunque la formula risolutiva
x
−A(x)
y(x) = e
F (t) dt + y0 e[A(x0 )−A(x)] .
(6.2.4)
x0
Riassumendo:
Il problema di valori iniziali (= problema di Cauchy)
y (x) + a(x)y(x) = f (x), x ∈ I,
y(x0 ) = y0 , x0 ∈ I
ammette una e una sola soluzione, fornita dalla formula (6.2.4).
Esempio 6.2.1. La determinazione della trasformata di Fourier della funzione gaussiana x → e−x conduce
all’equazione diﬀerenziale omogenea
x
x
y = − y
⇐⇒
y + y = 0, x ∈ R.
2
2
Possiamo applicare la formula (6.2.3 ): una primitiva di x/2 essendo x2 /4, si trova che tutte le soluzioni
dell’equazione posta (l’integrale generale di tale equazione) sono date dalla formula
2
y(x) = c e−x
2
/4
;
la costante c coincide col valore della soluzione per x = 0: c = y(0).
Esempio 6.2.2. Riprendiamo in esame l’equazione del primo esempio che, con i simboli attualmente in uso,
riscriviamo y + λy = 0. Una primitiva di x → λ è x → λx, dunque la (6.2.3 ) fornisce, come già sappiamo,
y(x) = ce−λx .
Esempio 6.2.3. Consideriamo l’equazione non omogenea
y + xy = x,
x ∈ R.
Abbiamo a(x) = x, dunque possiamo scegliere A(x) = x2 /2 e di conseguenza F (x) = x exp(x2 /2). Dalla
(6.2.3) deduciamo
y(x) = exp(−x2 /2)[exp(x2 /2) + c] = 1 + c exp(−x2 /2).
✏
6.
4
Equazioni differenziali
3. Campo di direzioni
Possiamo dare un’interpretazione geometrica di un’equazione diﬀerenziale del tipo (6.2.1) e della relativa
famiglia di soluzioni, una per ogni scelta del “valore iniziale” y0 = y(x0 ). Per comodità di esposizione
prendiamo come riferimento l’equazione y + xy = x dell’esempio 6.2.3, che riscriviamo in modo che a primo
membro compaia soltanto la derivata prima della funzione incognita:
y = x(1 − y).
Sia x → y(x) una soluzione dell’equazione scritta, e (x, y) è un punto del graﬁco di tale soluzione,
dunque y = y(x). L’uguaglianza scritta signiﬁca che, in tale punto, il coeﬃciente angolare della tangente al
graﬁco è dato dal numero x(1 − y), e questo è vero per ogni x. Più in generale, se l’equazione (6.2.1) viene
scritta nella forma
y (x) = f (x) − a(x)y(x),
e si indica col simbolo d(x, y) la funzione a secondo membro
d(x, y) := f (x) − a(x)y
allora ogni curva integrale (si chiama cosı̀ il graﬁco di una soluzione dell’equazione stessa) è caratterizzata
dal fatto che, in ogni suo punto, la pendenza è data dal valore assunto nello stesso punto dalla funzione d.
Nasce allora l’idea di rappresentare la funzione di due variabili d(x, y) selezionando un certo numero di
punti nel dominio della funzione stessa, e tracciando a partire da ciascuno di tali punti un breve segmento
avente come pendenza il valore della d nello stesso punto. La funzione d fornisce quello che potremmo
chiamare un “campo di direzioni”, nel senso che il valore che essa associa ad ogni punto (x, y) del suo
dominio viene interpretato come una direzione (più esattamente: un coeﬃciente angolare che individua una
direzione).
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
Figura 1. La funzione di due variabili d(x, y) := x(1 − y) (↑ esempio 6.2.3) viene visualizzata in un rettangolo del
piano cartesiano, suddividendo ogni intervallo unitario in venti parti uguali, e tracciando, in corrispondenza di ciascun
punto del reticolato ottenuto, un piccolo segmento avente come pendenza il valore della funzione d nel punto stesso.
In colore è rappresentata la curva integrale corrispondente al valore iniziale y(0) = 1.8.
Esempio 6.3.1. Consideriamo l’equazione diﬀerenziale
y − y = x.
6.
5
Equazioni differenziali
Ora si ha a(x) = −1, quindi A(x) = −x. Per la funzione F si trova l’espressione xe−x , il cui integrale
indeﬁnito si calcola mediante integrazione per parti e risulta essere −(1 + x)e−x + c. La formula (6.2.3)
fornisce allora per la famiglia delle soluzioni l’espressione
y(x) = −1 − x + cex ,
c ∈ R.
✏
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 2. Graﬁco analogo a quello della ﬁgura precedente, relativo all’equazione diﬀerenziale y = x + y. In colore
sono evidenziati i graﬁci delle soluzioni y0 := −1 − x (c = 0), y1 := −1 − x + ex (c = 1).
Nel caso della ricerca di una primitiva, cioè quando l’equazione si riduce alla forma y (x) = f (x), la
funzione a secondo membro dipende solo da x, cioè è costante al variare di y, per x ﬁssato; in questo caso
tutti i segmenti che si trovano sulla medesima verticale sono tra loro paralleli. Ciò corrisponde al fatto che
due primitive della stessa funzione diﬀeriscono per una costante.
Al contrario, nel caso di un’equazione lineare omogenea a coeﬃcienti costanti, y +ay = 0, si può scrivere
y = −ay = d(x, y), vale a dire la funzione d che individua il “campo di direzioni” dipende dalla sola y: tutti
i segmenti che corrispondono ad una certa y hanno la stessa pendenza.
È il caso dell’equazione y = y, la cui soluzione che vale 1 per x = 0 è la funzione esponenziale y(x) = ex .
In questo caso la pendenza di ogni segmento del nostro graﬁco è uguale all’ordinata del punto centrale dello
stesso segmento.
4. Il metodo delle poligonali di Eulero
Il metodo visto nel precedente paragrafo suggerisce una procedura per il calcolo approssimato della soluzione
di un problema di valori iniziali del tipo
y = f (x, y),
y(x0 ) = y0 ,
6.
6
Equazioni differenziali
dove la soluzione viene cercata nell’intervallo [x0 , x0 + L].
Partendo dal punto (x0 , y0 ) si traccia un primo segmento uscente dal punto stesso con pendenza f (x0 , y0 ),
ﬁno a raggiungere il punto di ascissa x0 + h, dove h è un ﬁssato incremento. Gli estremi di tale segmento
saranno dunque
(x0 , y0 ),
(x0 + h, y0 + h · f (x0 , y0 )).
Sia (x1 , y1 ) il punto cosı̀ ottenuto; su tale punto possiamo iterare la procedura precedente, tracciando un
secondo segmento uscente dal punto stesso con pendenza f (x1 , y1 ): cosı̀ si può proseguire ﬁno a raggiungere
l’ascissa desiderata.
Il tutto può essere descritto in modo algoritmico.
Il metodo di Eulero
È data una funzione f deﬁnita nella striscia [x0 , x0 + L] × R, l’ordinata y0 e l’incremento h > 0. Si calcola
una sequenza di valori approssimati della soluzione dell’equazione diﬀerenziale y = f (x, y) nell’intervallo
[x0 , x0 + L].
0. x ← x0 , y ← y0 , xmax ← x0 + L
1. ﬁnché x < xmax, ripetere:
1.1
m ← f (x, y)
1.2
x←x+h
1.3
y ←y+m·h
1.4
stampare y
2. ﬁne
Applicato all’equazione y = y, sull’intervallo [0, 1], con la condizione iniziale y(0) = 1 e il passo h = 1/n,
il metodo appena descritto produce la successione di ordinate (1 + 1/n)k , k = 0, 1, 2, . . . , n. Il valore ﬁnale,
(1 + 1/n)n , fornisce una stima (per difetto) di y(1) = e.
L’algoritmo appena descritto è basato sull’approssimazione
y(x + h) ≈ y(x) + h · y (x)
⇐⇒
y(x + h) − y(x) ≈ h · y (x).
Il teorema del valor medio di Lagrange suggerisce che una migliore approssimazione può essere ottenuta
utilizzando la formula
y(x + h) − y(x) ≈ h · y (x + h/2)
⇐⇒
y(x + h) ≈ y(x) + h · y (x + h/2).
Possiamo dunque innanzitutto stimare l’ordinata y(x + h/2) mediante la formula
h
h y(x + h/2) ≈ y(x) + · y (x) = y(x) + · f x, y(x) ,
2
2
e successivamente stimare y (x + h/2) come f x + h/2, y(x + h/2) .
Il metodo modificato di Eulero
È data una funzione f deﬁnita nella striscia [x0 , x0 + L] × R, l’ordinata y0 e l’incremento h > 0. Si calcola
una sequenza di valori approssimati della soluzione dell’equazione diﬀerenziale y = f (x, y) nell’intervallo
[x0 , x0 + L].
0. x ← x0 , y ← y0 , xmax ← x0 + L
1. ﬁnché x < xmax, ripetere:
1.1
m ← f (x, y)
1.2
m ← f (x + h/2, y + m · h/2)
1.3
x←x+h
1.4
y ←y+m·h
1.5
stampare y
2. ﬁne
Si osservi come ogni iterazione del metodo descritto richieda due valutazioni della funzione f .
6.
Equazioni differenziali
7
Esercizi
1. Si veriﬁchi che l’equazione diﬀerenziale y = 2y/x, in ciascuno dei due semipiani x > 0 e x < 0, ammette
come soluzioni le funzioni y(x) = cx2 , c ∈ R.
2. Si trovino le soluzioni dell’equazione y = xy. Si determini la soluzione particolare che vale 1 per x = 0.
3. Risolvere le equazioni:
a) y + 2y = ex ;
b) y − y = ex .
4. Risolvere l’equazione y + 2xy = x. Trovare la soluzione che vale 1 per x = 0. Qual è la soluzione che
vale 1/2 per x = 0?
5. Risolvere l’equazione y − y = −x; trovare la soluzione che vale 2 per x = 0.