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COGNOME CORSO DI LAUREA MATRICOLA INF TWM NOME ANNO DI IMMATRICOLAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, PRIMA PARTE 15 Settembre 2010 Il compito è composto da due sezioni. Per superarlo bisogna rispondere in modo corretto ad almeno 8 domande della prima sezione ed ottenere la sufficienza nella seconda sezione. Le risposte sbagliate nella prima sezione influiscono negativamente sul voto complessivo. Compilate subito la parte anagrafica del compito. La durata della prova è di 3 ore. PRIMA SEZIONE Nota: N, Z, Q, R, C indicano gli insiemi di numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, rispettivamente. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, dire se è vera o falsa: 1. La funzione f : N → N × N definita da f (n) = (n, n) è suriettiva. V F 2. La funzione f : N × N → N definita da f (n, m) = n è iniettiva. V F 3. La relazione E definita sui numeri reali non nulli R∗ da rEs ⇔ r ∈Z s è d’equivalenza. V F 4. L’equazione z=z ha infinite soluzioni nei numeri complessi (dove z è il coniugato di z). V F 5. I numeri reali negativi hanno radici quadrate in C. V F 6. Se f = (3, 2, 4)(1, 5) allora f 3 = (1, 5). V F 7. Un gruppo finito è ciclico. V F 8. Un insieme di 10 elementi ha 10 sottoinsiemi di cardinalità 9. V F 9. L’insieme dei numeri interi dispari è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli. V F 10. Se l’insieme A ha 7 elementi e l’insieme B ne ha 9 ci sono più di 1000 funzioni iniettive da A a B. V F SECONDA SEZIONE 1. Dimostrare per induzione che per ogni n ≥ 2 vale: 5 5 5 5n−1 (5 − )(5 − ) . . . (5 − ) = . 2 3 n n 2. Determinare se 62 è invertibile modulo 267 e in caso affermativo trovare l’inverso moltiplicativo. 3. Trovare la forma trigonometrica del numero complesso i − 1 e il suo inverso moltiplicativo. Trovare tutte le soluzioni dell’equazione z 2 = i − 1. 4. Le targhe automobilistiche di uno stato sono composte da 11 caratteri, dove un carattere è una delle 26 lettere dell’alfabeto inglese. (a) Quante macchine possono essere immatricolate? (b) Quante sono le targhe che contengono esattamente quattro A? (c) Quante sono le targhe che contengono esattamente quattro A consecutive? 5. Sia (U (9), ·) il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili modulo 9. Trovare l’inverso di ogni elemento del gruppo e determinare se il gruppo è ciclico. In caso affermativo, trovare un elemento generatore.
