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Didasfera - Ambiente didattico digitale 2.2.2 Il contenuto geometrico degli Elementi Mappa dell'Unità Mappa dell'Unità Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. Esistono alcuni teoremi chiamati criteri di congruenza che permettono di confrontare solo alcuni lati e/o angoli per essere comunque sicuri che due triangoli siano effettivamente congruenti. Teorema - I criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo compreso tra essi allora i due triangoli sono congruenti. Pagina 1/3 Didasfera - Ambiente didattico digitale I criterio di congruenza. DIMOSTRAZIONE Si sovrappone il segmento AB al segmento DE, il segmento BC al segmento EF e l'angolo `AhatBC`, all'angolo `DhatEF`. Tale sovrapposizione è possibile perché per ipotesi questi lati e l'angolo compreso sono congruenti. Allora il vertice A risulta sovrapposto al vertice D e il vertice C risulta sovrapposto al vertice F. Avendo tutti i vertici sovrapposti i due triangoli sono congruenti. Tale dimostrazione è quella originale di Euclide, ma secondo la matematica moderna tale metodo di dimostrazione non è più considerato accettabile. Il I criterio di congruenza è stato inserito da Hilbert tra i suoi postulati. Teorema - II criterio di congruenza Se due triangoli hanno congruenti due angoli e il lato compreso tra essi allora i due triangoli sono congruenti. Teorema - III criterio di congruenza Se due triangoli hanno congruenti i tre lati allora sono congruenti. Nei triangoli rettangoli si è già certi che c'è un angolo congruente, ed è quello retto. E' possibile quindi trovare criteri di congruenza più semplici dei tre criteri precedenti. I criterio: se due triangoli rettangoli hanno congruenti i due cateti allora sono congruenti. II criterio: se due triangoli rettangoli hanno congruenti un cateto e l'angolo acuto opposto allora sono congruenti. III criterio: se due triangoli rettangoli hanno congruenti un cateto e l'angolo acuto adiacente allora sono congruenti. IV criterio: se due triangoli rettangoli hanno congruenti l'ipotenusa e un angolo acuto allora sono congruenti. V criterio: se due triangoli rettangoli hanno congruenti l'ipotenusa ed un cateto allora sono congruenti. Teorema (dell'angolo esterno di un triangolo) Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. DIMOSTRAZIONE Si consideri M punto medio di AB. Si tracci un segmento ME sulla semiretta CM tale che `CM~=ME` e CM non sia sovrapposto a ME. I triangoli AME e CMB sono congruenti per il primo criterio avendo gli angoli in M congruenti in quanto opposti, `CM~=ME` per costruzione e `AM~=MB` in quanto M punto medio. Da ciò segue che l'angolo `EhatAM~=MhatBC`. Ma `EhatAM~=DhatAM` da cui la tesi. Pagina 2/3 Didasfera - Ambiente didattico digitale In questa unità Testo: Storia delle idee Autore: Marcello Ciancio Curatore: Maurizio Châtel Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo Editore: BBN Pagina 3/3
