Programma di Analisi II
Programma di Analisi Matematica II
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura (Corso A)
a.a. 2009-10 (Prof. Basile Nicola)
2-3-2010 (3 ore) – Il primo e il secondo teorema del calcolo integrale. L’integrale ottenuto come
limite di somme integrali; un caso particolare. Nozione di primitiva e di integrale indefinito.
Esercizi sul calcolo di integrali indefiniti: 1) Integrali immediati (è sufficiente ricordare
l’espressione della derivata delle prime funzioni elementari) ; 2) Integrali facilmente riconducibili
ad integrali immediati (si utilizza il teorema della derivazione della funzione composta).
4-3-2010 (2 ore) – Serie numeriche e la successione delle somme parziali. Carattere di una serie.
Esempi di serie divergenti, convergenti (serie di Mengoli), non convergenti, La serie geometrica: il
suo carattere al variare della ragione. Prime proprietà delle serie convergenti.
9-3-2010 (3 ore) – Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per parti: esercizi.
Formula di integrazione per sostituzione: funzioni razionali in e x , funzioni razionali in sin x e
cos x ,
11-3-2010 (2 ore) – Una condizione necessaria per la convergenza di una serie. Esempi di serie non
convergenti. Serie a termini positivi e loro carattere. Criterio del confronto. Corollario (senza
dimostrazione). Carattere della serie armonica e della serie armonica generalizzata; prova della
convergenza per α ≥ 2 , mentre l’esame degli altri casi è facoltativo.
16-3-2010 (3 ore) – Ancora sull’integrazione per sostituzione (con indicazione della sostituzione).
Il primo teorema del calcolo per individuare una primitiva. Una applicazione del calcolo della
primitiva: il modello di Malthus. Il secondo teorema del calcolo per valutare gli integrali definiti:
esercizi. Alcune applicazioni degli integrali definiti: calcolo delle aree; calcolo della lunghezza di
un grafico di funzione; volume di un solido di rotazione. Nozione di integrale improprio per
funzioni continue definite in intervalli non limitati. La non esistenza dell’integrale improprio della
funzione
1
nell’intervallo [1, +∞[ .
x
18-3-2010 (2 ore) – Richiamo di alcune (notevoli) approssimazioni con i polinomi di Taylor e loro
utilizzazione, mediante il confronto con la serie armonica generalizzata, nello studio del carattere di
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serie a termini positivi. Il criterio del rapporto (senza dimostrazione) e il criterio della radice.
Nozione di serie assolutamente convergente. La convergenza delle serie assolutamente convergenti.
∞
Il carattere della serie
xn
; il confronto degli infiniti ( n !)n e ( x n ) per x grande.
∑
n
n=0 n !
23-3-2010 (3 ore) – Equazioni differenziali a variabili separabili. Costruzione dell’integrale
generale. Problema di Cauchy e costruzione della soluzione. Teorema di esistenza e di unicità (solo
enunciato). Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee (del prim’ordine).
Costruzione dell’integrale generale. Il metodo di Lagrange (o delle variazioni delle costanti) per la
costruzione di una soluzione di una equazione differenziale lineare non omogenea.
25-3-2010 (2 ore) – Serie a segno alterno e teorema di Leibniz (enunciato e un cenno della
dimostrazione). Esempi di serie convergenti e non assolutamente convergenti. Serie di potenze: la
serie geometrica come primo esempio. Teorema sull’esistenza del raggio di convergenza di una
serie di potenze: enunciato.
30-3-2010 (3 ore) – Ancora qualche commento sulle equazioni differenziali lineari del prim’ordine.
Equazioni differenziali lineari del second’ordine. Teorema di esistenza e unicità (solo enunciato).
Costruzione della soluzione generale per le equazioni omogenee: coppia di soluzioni linearmente
indipendenti e loro caratterizzazione attraverso la matrice wronschiana (solo enunciato). Il caso
delle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: costruzione della soluzione
generale. Il metodo di Lagrange (o delle variazioni delle costanti) per la ricerca di una soluzione
particolare di un’equazione non omogenea (nota che sia la soluzione generale dell’equazione
omogenea associata).
8-4-2010 (2 ore) – Prova del teorema sull’esistenza del raggio di convergenza. Proprietà delle
somme di serie di potenze. Il teorema di derivazione e integrazione termine a termine (solo
enunciato). Relazione tra i coefficienti di una serie di potenze e le derivate della funzione somma
nel punto iniziale. Sviluppo in serie di potenze di alcune funzioni elementari: log(1 + x ) , arctg x ,
e x , sin x , cos x .
13-4-2010 (3 ore) – Il metodo della somiglianza per la ricerca di una soluzione particolare di una
equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti. Lo spazio vettoriale R n .
Basi e base canonica. Caratterizzazione delle basi (in R 2 e in R 3 ). La norma euclidea (modulo) e
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sue proprietà. La disuguaglianza triangolare (senza dimostrazione). La nozione di distanza tra due
elementi di R n . Il prodotto scalare e sue proprietà. Nozione di angolo tra due vettori (elementi) di
R n . Vettori paralleli e vettori ortogonali.
15-4-2010 (2 ore) – Integrabilità (impropria) per funzioni continue definite in intervalli non limitati
(del tipo
[ a, +∞[
oppure
]−∞, a ] ).
La funzione 1/ xα definita nell’intervallo [1, +∞[ : la sua
integrabilità per α > 1 e la sua non integrabilità per α ≤ 1 . Il criterio del confronto (senza
+∞
dimostrazione). Significato del simbolo
∫
f ( x)dx . Funzioni definite in intervalli a valori in R n :
−∞
continuità e derivabilità.
20-4-2010 (3 ore) – Derivata di un prodotto scalare. Nozione di curva parametrizzata. Curve
parametrizzate regolari e semplici. Retta, semiretta e segmento. I grafici di funzioni derivabili come
sostegno di curve parametrizzate regolari. Vettore e versore tangente. Lunghezza di un arco di curva
(parametrizzato) regolare e (solo enunciato) indipendenza dalla rappresentazione parametrica. La
lunghezza di un grafico di funzione. Il parametro lunghezza dell’arco di curva e parametrizzazione
della curva rispetto ad esso. Definizione di integrale curvilineo di una funzione.
Inizio seconda parte del corso
22-4-2010 (2 ore) – Indipendenza dell’integrale curvilineo dalla parametrizzazione (solo
enunciato). Alcune applicazioni della nozione di integrale curvilineo: superficie di una parete,
baricentro di un corpo filiforme, centroide di una curva, momento di inerzia rispetto agli assi
coordinati di un corpo filiforme.
Funzioni (a valori reali) di più variabili (reali). Linee di livello per funzioni di due variabili. Intorni
sferici.
Interruzione di due settimane previste dal calendario fissato dal Consiglio di Corso di Laurea
11-5-2010 (3 ore) – Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti, chiusi e insiemi limitati.
Rappresentazione grafica di semplici insiemi di R 2 . Definizione di convergenza e di continuità.
Insiemi connessi. Enunciato del teorema della permanenza del segno, del teorema di Weierstrass,
del teorema degli zeri. Continuità delle funzioni elementari nel proprio insieme di definizione.
Derivate parziali. Il calcolo delle derivate parziali per le funzioni elementari. Dominio di una
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funzione elementare. Derivate parziali di ordine superiore e uguaglianza delle derivate miste per le
funzioni elementari. Interpretazione geometrica delle derivate parziali prime. La nozione di
differenziabilità come naturale generalizzazione del concetto di derivata ordinaria. Il gradiente delle
funzioni differenziabili.
13-5-2010 (2 ore) – Lezione non tenuta per indisponibilità dell’aula.
18-5-2010 (3 ore) – Differenti modi per esprimere la differenziabilità. La continuità delle funzioni
differenziabili, La differenziabilità delle funzioni elementari (solo enunciato). Linearizzazione di
una funzione in un punto ed equazione del piano tangente al grafico di una funzione in un punto. Il
differenziale di una funzione differenziabile e sua interpretazione. Teorema sulla derivabilità della
funzione composta (dimostrazione facoltativa). Derivata direzionale e il gradiente (non nullo) come
direzione di massima pendenza. La formula di Taylor del second’ordine (solo enunciato). Forme
quadratiche (in due variabili) definite positive, definite negative e indefinite e loro caratterizzazione.
Massimi e minimi relativi.
20-5-2010 (2 ore) – Condizione necessaria per gli estremi relativi. Punti stazionari e punti di sella.
Matrice hessiana di una funzione regolare. Condizione sufficiente per gli estremi relativi (un cenno
della dimostrazione).
25-5-2010 (3 ore) – Nozione di funzione implicita e teorema del Dini sulle funzioni implicite (solo
enunciato). Nozione di estremo vincolato: una condizione necessaria e sua utilizzazione per la
ricerca di minimi e massimi assoluti vincolati.
27-5-2010 (2 ore) – Nozione di integrabilità per funzioni di due variabili. Alcune proprietà
dell’integrale (senza dimostrazione). La nozione di area. Domini normali e domini normali-regolari.
Teorema sull’integrabilità delle funzioni continue su domini normali e le formule di riduzione
(senza dimostrazione).
1-6-2010 (3 ore) – Esercizi sul calcolo di integrali con le formule di riduzione. Applicazion al
calcolo delle aree, del baricentro e del momento di inerzia superficiale rispetto all’origine. Le
coordinate polari per i punti del piano; rappresentazione analitica della trasformazione.
Rappresentazione cartesiana dei rettangoli del piano polare.
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3-6-2010 (2 ore) – La trasformazione in coordinate polari nel calcolo degli integrali doppi: un
cenno alla validità della formula. La matrice jacobiana della trasformazione. Traslazione e
cambiamento di scala della trasformazione. Esercizi sull’utilizzo della trasformazione nel calcolo di
integrali estesi a settori di corone circolari e un breve cenno al calcolo di integrali estesi a domini
più generali.
8-6-2010 (3 ore) – Campi vettoriali e forme differenziali (in R 2 e in R 3 ). Integrazione curvilinea e
proprietà. Campi vettoriali conservativi (risp. forme differenziali esatte). Potenziale di un campo
conservativo (risp. integrale di una forma differenziale esatta). Prima condizione necessaria:
indipendenza dell’integrale dal percorso. La condizione necessaria è sufficiente negli insiemi
connessi (solo enunciato) e procedura per la costruzione di un potenziale. Campi irrotazionali (risp.
forme differenziali chiuse). Seconda condizione necessaria per i campi conservativi (risp. per le
forme differenziali esatte). Un esempio di forma chiusa ma non esatta.
10-6-2010 (3 ore) – Le formule di Gauss-Green. Insiemi piani semplicemente connessi. Seconda
condizione sufficiente per i campi conservativi (in domini piani semplicemente connessi e
(facoltativo) in domini di R 3 convessi) e costruzione del potenziale.
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