Tutti i modi per esprimere un numero come somma di due

Soluzione di un esercizio proposto
(Teoria dei numeri)
Mattia Puddu
Numeri complessi
Il testo dell’esercizio era il seguente:
Trovare tutti i modi in cui il numero 2425 si può scrivere come somma
di due quadrati
Senza una certa conoscenza di questo argomento, questo esercizio è impossibile
(a meno che non si facciano tutti i tentativi, se qualcuno l’ha fatto gli propongo
di fare lo stesso con il numero 10! = 138125), quindi prima vi faccio vedere certe
cose sui complessi che molto probabilmente non conoscete (per le cose di base
basta prendere il Gobbino).
Tra tutti i numeri complessi, ci interessano i cosiddetti interi di Gauss, che
costituiscono il seguente insieme:
Z[i] = {a + bi| a, b ∈ Z}.
Come è ovvio, essendo questi numeri complessi, si possono svolgere allo stesso
modo con essi le solite operazioni di somma e di prodotto (per chi vuol saperne
di più questo insieme con queste due operazioni forma un anello).
Prima di tutto qualche definizione:
Definizione. Un elemento x di Z si dice invertibile se esiste un secondo
elemento y tale che xy = 1.
Si può dimostrare che gli unici elementi invertibili di Z sono 4:
1, −1, i, −i.
Definizione. Un elemento x non invertibile di un insieme si dice irriducibile
se presi due elementi a e b tali che x = ab, uno fra a e b è un invertibile.
Ad esempio, in questo anello 3 è irriducibile, come 2 + i (poi vi dico perché ne
sono certo), mentre non lo è 2 = (1 + i)(1 − i).
Definizione Definiamo la seguente applicazione, chiamata norma euclidea (ma
fregatevene del nome):
σ : Z[i]{0} → N
a + bi 7→ a2 + b2
Primo risultato utile La norma appena definita è moltiplicativa, ovvero vale
il seguente fatto: se x e y sono interi di Gauss
σ(xy) = σ(x)σ(y)
La dimostrazione è molto facile, ve la scrivo in fondo ma provate da soli, è solo
un calcolo.
Scrivo tutte le dimostrazioni a parte perché così concentro il succo
del discorso qui, ma vederle non è male.
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Secondo risultato utile Supponiamo di avere un numero primo dispari di
Z che sia riducibile in Z[i]. Allora questo numero si può scrivere come somma
di due quadrati di due numeri interi.
Ad esempio 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4, 97 = 81 + 16.
Terzo risultato utile Un numero primo della forma 4n + 3 ovvero congruo
a 3 modulo 4 (ripassate le congruenze), non si può scrivere come somma di due
quadrati.
Notate bene che per il secondo risultato, poiché tali primi non si
possono scrivere come somma di due quadrati non sono neanche riducibili. Questa è la contronominale del teorema precedente: se non
sapete cosa è, cercate le leggi delle contronominali, si tratta di logica:
sostanzialmente la legge a cui faccio riferimento dice che se A implica
B, allora la negazione di B implica la negazione di A, per intenderci, se mangio allora ho fame, è come dire se non ho fame allora non
mangio.
Questo fatto spiega che 3 è un irriducibile.
Quarto risultato utile Un elemento in Z[i] è irriducibile se e solo se o è
un primo della forma 4n+3 oppure la sua norma euclidea è un numero primo.
Questo tra l’altro implica che i primi della forma 4n+1 siano riducibili. Di questo fatto e di questo risultato non vi scrivo nemmeno la
dimostrazione, non è così importante per questo esercizio, però almeno ve lo accenno. Invece vi dico che per questa dimostrazione è importante
questo risultato:
Se p è un primo congruo a 1 modulo 4 allora si ha che:
2
p−1
! ≡ −1 (p)
2
2
Passiamo all’effettiva risoluzione dell’esercizio.
Si ha che
2425 = 25 · 97 = 52 · 97
Sia 5 sia 97 sono congrui a 1 modulo 4 e dunque riducibili. Infatti:
5 = 4 + 1 = (1 + 2i)(1 − 2i)
97 = 81 + 16 = (9 + 4i)(9 − 4i)
Le scomposizioni simili a queste tipo:
97 = (4 + 9i)(4 − 9i)
non le tengo in conto, perché si ottengono dalla prima moltiplicando per un
invertibile, e quindi sono sostanzialmente uguali alle altre (pensate a questo
fatto, ad esempio con i numeri interi gli unici invertibili sono 1 e −1, vi cambia
qualcosa nella fattorizzazione il segno? Qui il discorso è simile). Adesso, visto
che la norma del prodotto di interi di Gauss è uguale al prodotto delle norme,
devo semplicemente scegliere un numero pari a 2 (visto che il 5 compare due
volte nella fattorizzazione) di fattori nella scomposizione del 5, e un numero pari
a 1 di fattori nella scomposizione del 97 (visto che compare solo una volta). Non
è detto che otterrò sempre risultati diversi, ma sicuramente ora ce li ho tutti a
portata di meno, e con molti meno calcoli. Vediamone una lista:
(1 + 2i)(1 + 2i)(4 − 9i) = 24 + 43i
(1 + 2i)(1 + 2i)(4 + 91) = −48 − 11i
(1 − 2i)(1 − 2i)(4 + 9i) = 24 − 43i
(Qui il risultato è simile al primo, perché?)
(1 − 2i)(1 − 2i)(4 − 9i) = −48 + 11i
(Qui il risultato è simile al secondo, perché?)
(1 + 2i)(1 − 2i)(4 + 9i) = 20 + 45i
(1 + 2i)(1 − 2i)(4 − 9i) = 20 − 45i
(Qui il risultato è simile al precedente, perché?) In tutto abbiamo trovato tre
possibilità:
2425 = 242 + 432 = 482 + 112 = 202 + 452 .
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Dimostrazione La norma definita con gli interi di Gauss è moltiplicativa.
Siano x = a + bi e y = c + di, allora xy = (ac − bd) + (ad + bc)i.
σ(xy) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd + a2 d2 + b2 c2 + 2abcd =
= a2 c2 +b2 d2 +a2 d2 +b2 c2 = a2 (c2 +d2 )+b2 (c2 +d2 ) = (a2 +b2 )(c2 +d2 ) = σ(x)σ(y).
Dimostrazione Sia p ∈ Z un numero primo dispari che sia riducibile in Z[i].
Allora p si può scrivere come somma di due quadrati di due numeri interi.
Poiché p è riducibile esistono due non invertibili in Z[i] tali che p = (a+bi)(c+di).
Inoltre poiché p = p̄ (la parte immaginaria è nulla) si ha anche che
p = (a − bi)(c − di). Moltiplicando membro a membro le due relazioni otteniamo
p2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ).
Da quest’ultima si ricava immediatamente che
p = a2 + b2 = c2 + d2 .
Dimostrazione Un numero primo p della forma 4n + 3, ovvero congruo a
3 modulo 4, non si può scrivere come somma di due quadrati.
Infatti la somma di due quadrati qualsiasi è sempre congrua a 1 modulo 4
(provate).
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