Limiti - Dipartimento di Matematica

Limiti di funzioni e loro applicazioni
Versione da non divulgare. Scritta per comodità degli studenti. Può
contenere errori.
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, Novembre 2013
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→+∞ f = a
Idea
Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad un numero a,
pur di applicare la mia funzione a numeri sufficientemente grandi, la
funzione assume definitivamente valori ancora più vicini ad a.
Definizione
∀ > 0, ∃M() > 0
t.c.
x > M =⇒ |f (x) − a| < Esempio
limx→+∞ (1 + 1/x)x = e
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Osservazioni sulla definizione di limx→+∞ f (x) = a
0.0
-0.5
-1.0
sin(pi * x)
0.5
1.0
La definizione di limx→+∞ f (x) = a è molto simile a quella che
definisce il limite di una successione ma è più restrittiva. Fissato
> 0, non basta che la condizione sia soddisfatta per tutti gli interi
abbastanza grandi ma deve essere soddisfatta per tutti i numeri reali
abbastanza grandi. Per esempio, la funzione sin(πx)è sempre nulla
per valori di x interi e quindi la successione s(n) = sin(2πn) ha limite
zero per n che va a infinito. La funzione f (x) = sin(2πx) invece
continua ad oscillare tra −1 e 1 e quindi non ha limite per x che tende
a +∞.
0
2
E NRICO R OGORA
4
6
8
10
Matematica e Statistica
limx→+∞ f = −∞
Idea
Per quanto piccolo (molto negativo) io possa immaginare un numero,
pur di applicare la funzione a numeri sufficientemente grandi, la
funzione assume definitivamente valori ancora più piccoli.
Definizione
∀N > 0, ∃M(N) > 0
t.c.
x > M =⇒ f (x) < −N
Esempio
limx→+∞ −x = −∞
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→+∞ f = +∞
Definizione
∀N > 0, ∃M(N) > 0
t.c.
x > M =⇒ f (x) > N
Esempio
limx→+∞ x = +∞
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→−∞ f = a
Definizione
∀ > 0, ∃M() > 0
t.c.
x < −M =⇒ |f (x) − a| < Esempio
limx→−∞ (1 + 1/x)x = e
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→−∞ f = −∞
Definizione
∀N > 0, ∃M(N) > 0
t.c.
x < −M =⇒ f (x) < −N
Esempio
limx→−∞ x = −∞
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→−∞ f = +∞
Definizione
∀N > 0, ∃M(N) > 0
t.c.
x < −M =⇒ f (x) > N
Esempio
limx→−∞ −x = +∞
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Limiti al finito
0.0
-0.5
a
-1.0
c(-1, 1)
0.5
1.0
Per una funzione reale di variabile reale possiamo porci il problema di
cogliere l ’andamento della funzione quando la variabile si avvicina
ad un dato elemento del dominio. Possiamo avvicinarci a ogni valore
da sinistra oppure da sinistra.
Abbiamo di conseguenza limiti da sinistra, che si indicano limx→a− e
limiti da destra, che si indicano limx→a+ .
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
c(0, 2)
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→a− f = b
Idea
Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad un numero b, pur
di applicare la mia funzione a numeri sufficientemente vicini e minori
di a, la funzione assume definitivamente valori ancora più vicini ab.
Definizione
∀ > 0, ∃δ() > 0
t.c.
0 < a − x < δ =⇒ |f (x) − b| < Esempio
lim e1/x = 0
x→0−
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→a+ f = b
Definizione
∀ > 0, ∃δ() > 0
t.c.
0 < x − a < δ =⇒ |f (x) − b| < Esempio
lim+
x→0
e1/x
=1
1 + e1/x
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→a− f = −∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < a − x < δ =⇒ f (x) < −N
Esempio
lim
x→0−
E NRICO R OGORA
1
= −∞
x
Matematica e Statistica
limx→a+ f = −∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < x − a < δ =⇒ f (x) < −N
Esempio
lim −
x→0+
E NRICO R OGORA
1
= −∞
x
Matematica e Statistica
limx→a− f = +∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < x − a < δ =⇒ f (x) > N
Esempio
lim −
x→0−
E NRICO R OGORA
1
= +∞
x
Matematica e Statistica
limx→a+ f = +∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < x − a < δ =⇒ f (x) > N
Esempio
lim
x→0+
E NRICO R OGORA
1
= +∞
x
Matematica e Statistica
limx→a f = b
Quando è possibile definire il limite destro e il limite sinistro di una
funzione in un punto e tali limiti coincidono, chiameremo tale valore
limx→a f . È possibile una definizione compatta.
Definizione
∀ > 0, ∃δ() > 0
t.c.
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − b| < Esempio
sin x
=1
x→0 x
lim
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→a f = +∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > N
Esempio
lim
x→0
1
= +∞
x2
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→a f = −∞
Definizione
∀N > 0, ∃δ(N) > 0
t.c.
0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) < −N
Esempio
lim −
x→0
E NRICO R OGORA
1
= −∞
x2
Matematica e Statistica
Proprietà: Il valore del limite in un punto dipende solo
dai valori che la funzione assume vicino a quel punto.
In particolare, non dipende dal valore nel punto, dove
la funzione può anche non essere definita.
Sia p ∈ R e siano f e g due funzioni che coincidono in tutti i punti di
un intervallo aperto contenente p, salvo in p, dove posso anche non
essere definite in p. Allora se esiste uno tra limx→a f e limx→ g, esiste
anche l’altro e i due limiti coincidono
Se cambio una funzione ridefinendola in un punto, i valori del limite
non cambiano.
Sia
f (x) = x
e sia

 x
1
g(x) =

x
Se x < 0
Se x = 0
Se x > 0
Allora limx→0 f = 0 e limx→0 g = 0
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Limiti elementari
Le funzioni costanti
Sia f (x) = c una funzione costante, allora
lim f = lim f = lim f = c
x→−∞
x→α
x→+∞
(c, α ∈ R).
Le funzioni lineari
Sia f (x) = a + bx una funzione lineare, allora (a, b, α ∈ R).
Se b > 0
lim f = −∞
x→−∞
lim f = a + b · α
x→α
lim f = +∞
x→+∞
Se b < 0
lim f = +∞
x→−∞
lim f = a + b · α
x→α
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
lim f = −∞
x→+∞
Limiti e proprietà algebriche
Siano f e g due funzioni che ammettono limite finito in un punto
a ∈ R. Allora
Limite della somma
Esiste limx→a f + g, e
lim f + g = lim f + lim g
x→a
x→a
x→a
Limite del prodotto
Esiste limx→a f · g, e
lim f · g = lim f · lim g
x→a
x→a
x→a
Limite del quoziente
Se limx→a g 6= 0, allora esiste limx→a f /g, e
lim f /g = lim f / lim g
x→a
E NRICO R OGORA
x→a
x→a
Matematica e Statistica
Algebra dell’infinito: somma
+
−Inf
a0
+Inf
−Inf
−Inf
−Inf
IND
E NRICO R OGORA
a
−Inf
a0 + a
+Inf
+Inf
IND
+Inf
+Inf
Matematica e Statistica
Algebra dell’infinito: prodotto
•
−Inf
a0
0
b0
+Inf
−Inf
+Inf
+Inf
IND
−Inf
−Inf
a
+Inf
a0 · a
0
b0 · a
−Inf
0
IND
0
0
0
IND
b
−Inf
a0 · b
0
b0 · b
+Inf
dove a < 0, a0 < 0 e b > 0, b0 > 0
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
+Inf
−Inf
−Inf
IND
+Inf
+Inf
Algebra dell’infinito: quoziente
/
−Inf
a0
0
b0
+Inf
−Inf
IND
+Inf
Inf
−Inf
IND
a
0
a0 /a
Inf
b0 /a
0
0
0
0
IND
0
0
b
0
a0 /b
Inf
b0 /b
0
+Inf
IND
−Inf
Inf
+Inf
IND
dove a < 0, a0 < 0 e b > 0, b0 > 0
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Quando non si conosce il segno
Come accade per la funzione f = 1/x quando x tende a zero, può
succedere che limx→z f = ∞ senza poter determinare il segno. Si
anno allora le seguenti regole per il calcolo dei limiti (dove il simbolo
∞ rappresenta il limite infinito di una funzione senza la
determinazione del segno
∞ + ∞ = IND
∞ − ∞ = IND
∞ + a = ∞ (a ∈ R)
∞·∞=∞
∞ · 0 = IND
∞ · a = ∞ (a 6= 0).
∞/0 = ∞
∞/∞ = IND
∞/a = ∞ (a 6= 0)
0/∞ = 0
∞/∞ = IND
a/∞ = 0 (a 6= 0)
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Cautele
Attenzione ad usare le tabelle presentate nell slide precedenti. Il loro
significato è di stabilre delle regole per calcolare il limite di due
funzioni con dato limite, legate con un’operazione algebrica. Quindi,
per esempio, 1/0 = ∞ significa che se ho una funzione g(x) tale che
limx→a g = 0 e se esiste il limite della funzione 1/g(x) per x che
tende a zero, allora limx→a 1/g = ∞. Si osservi che l’affermazione
colorata in verde non è scontata.
Si consideri per esempio la funzione g(x) = x 2 · sin(1/x 2 ). Per il
teorema dei carabinieri
lim g = 0
x→0
La funzione 1/g in questo caso NON HA LIMITE in zero in quanto
non esiste alcun intorno punturato di zero tutto contenuto nel dominio
di definizione di 1/g in quanto g ha infiniti zeri che si addensano in
zero.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Forme indeterminate
∞/∞
0/0
+∞−∞
1∞
Esempi
limx→0
x
x 2 +x
limx→+∞
=
x
x 2 +x
x
x(x+1)
=
=
1
(x+1)
x
x 2 (1+1/x)
=
E NRICO R OGORA
=1
1
x(1+1/x)
=0
Matematica e Statistica
0∞
Esempi di funzioni che non ammettono limite
x/|x|, non ha limite per x che tende a zero
sin x, non ha linite per x che tende a ±∞
sin 1/x, non ha limite per x che tende a zero
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Il teorema dei due carabinieri
Siano f , g e h tre funzioni, definite in un intervallo aperto contenento
il punto a e sia
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
per ogni x dell’intervallo, (escluso eventualmente il punto a stesso)
Supponiamo anche che esistano limx→a f e limx→a h e che siano
uguali.
Allora esiste anche limx→a g ed è uguale ai precedenti.
Applicazione
lim
x→0
sin x
=1
x
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Matematica e Statistica
limx→0 sin x/x = 1
Assumiamo x > 0. Dalla figura seguente, ottenuta prolungando il
raggio che congiunge l’origine con il punto di coordinate (sin x cos x)
fino ad intersecare il segmento verticale per il punto di coordinate
(1, 0), si vede come
sin(x) ≤ x ≤ sin(x)/ cos(x)
dove la misura del cateto rosso segue dalla similitudine tra i due
triangoli rettangoli di cateti rosso e blu rispettivamente.
sin(x)
E NRICO R OGORA
x
sin(x)/cos(x)
Matematica e Statistica
limx→0 sin x/x = 1 (II)
Prendendo il reciproco delle disuguaglianze della slide precedente,
otteniamo
1
cos x
1
≥ ≥
sin x
x
sin x
e moltiplicando per sin x, che è positivi perchè abbiamo supposto
x >0
sin x
≥ cos x.
1≥
x
Per il teorema dei due carabinieri e per la continuità della funzione
cos x abbiamo quindi
sin x
=1
lim
x→0+ x
Analogamente si dimostra che limx→0−
sin x
x
= 1 e quindi che
sin x
=1
x→0 x
lim
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→+∞ (1 + 1/x)x = e
Sia n(x) il pi‘ğrande intero minore o uguale a x, ovvero
n(x) ≤ x < n(x) + 1. Ovviamente n(x) tende a +∞ quando x tende a
+∞. Poichè una potenza di base maggiore di 1 cresce quando
aumentiamo la base e quando aumentiamo l’esponente
1+
1
n+1
n
<
x n+1
1
1
1+
< 1+
x
n
Osserviamo che
lim
n→+∞
1
1+
n+1
n
= lim
n→+∞
n+1
1
1 + n+1
e
= = e.
1
1
1 + n+1
n+1
n 1
1
1
= lim
1+
1+
= e.
1+
n→+∞
n→+∞
n
n
n
lim
x
e si conclude che limx→+∞ (1 + 1/x) = e con il teorema dei
carabinieri.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
limx→−∞ (1 + 1/x)x = e
x
Per valutare limx→−∞ (1 + 1/x) introduciamo una nuova variabile,
y = −1 − x. Allora
−1−y
−1−y
1+y
−y
= lim
=
lim (1 + 1/x) = lim
x→−∞
y→+∞ −1 − y
y→+∞
y
y 1
1
lim
1+
1+
=e·1=e
y→+∞
y
y
x
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Cambio di variabile in un limite
Spesso per calcolare un limite si opera un cambio di variabili. Per esempio, per
calcolare
sin(x 2 )
lim
x→0
x2
si trasforma la funzione
sin w
.
w
sin(x 2 )
x2
operando il cambio di variabile w = x 2 per ottenere la
funzione
Si nota che quando x tende a zero, anche w tende a zero, e quindi
lim
x→0
sin(w)
sin(x 2 )
= lim
=1
w→0
x2
w
Questo modo di procedere è corretto, ma bisognerebbe osservare che quando x tende
a zero, la variabile w tende a zero da destra, e quello che dobbiamo calcolare nel
secondo membro dovrebbe essere in effetti
lim
w→0+
sin(w)
w
sin(w)
che però coincide con limw→0 w . Il procedimento di cambiare variabili per valutare
un limite risulta valido in numerosi casi, ma può non valere in situazioni patologiche
che non incontreremo nel corso.
http://www.batmath.it/matematica/a_limiti/camb_var.htm
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica