Analisi Matematica 2 AA 2016-2017
Programma del Corso
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni del primo ordine: generalità ed esempi, problema di Cauchy, equazioni a variabili
separabili, equazioni lineari del primo ordine, Teorema di Cauchy, esempio di non unicità della
soluzione di un problema di Cauchy.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale delle equazioni omogenee, integrale generale delle equazioni non omogenee con termini noti di tipo particolare, problema di Cauchy, esempi di problemi ai limiti.
Curve
Generalità ed esempi, cambi di parametrizzazione, derivata e suo significato geometrico, lunghezza
di una curva, integrale di linea di prima specie e suo comportamento rispetto ai cambi di parametrizzazione.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Grafico di una funzione di due variabili, continuità per funzioni di più variabili.
Definizione e calcolo delle derivate parziali, gradiente, differenziabilità, calcolo del piano tangente
al grafico di una funzione, Teorema del differenziale totale, derivate direzionali, direzioni di massima e minima crescita.
Derivate del secondo ordine, Teorema di Schwarz, matrice hessiana, sviluppo di Taylor al secondo
ordine.
Definizione di massimo e minimo relativo ed assoluto, Teorema di Fermat, definizione di punto
critico, condizioni sufficienti affinchè un punto critico sia di massimo o minimo relativo (criterio
della matrice hessiana), esempi di classificazione dei punti critici.
Insiemi aperti, chiusi e compatti, Teorema di Weierstrass, metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
esempi di calcolo di massimi e minimi di funzioni continue definite su compatti.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali
Generalità ed esempi, coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.
Continuità e differenziabilità, matrice Jacobiana, differenziale della funzione composta (regola della
catena), Teorema della funzione inversa, Teorema della funzione implicita.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Integrali doppi e tripli, significato geometrico dell’integrale di una funzione di due variabili, aree e
volumi, formula per il cambio di coordinate, calcolo del baricentro, esempi di calcolo di integrali.
Campi vettoriali
Linee di forza, rotore, divergenza.
Lavoro di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie), comportamento rispetto ai
cambi di parametrizzazione. Definizione di campo conservativo, lavoro di un campo conservativo,
condizioni necessarie e sufficienti affinchè un campo sia conservativo, calcolo del potenziale.
Calcolo dell’area di una superficie, integrale di superficie, vettore normale ad una superficie, flusso
attraverso una superficie orientata, Teorema di Gauss (o della divergenza), esempi.
Analisi Matematica 2 AA 2016-2017
Teorema di Stokes (o del rotore), formula di Gauss-Green nel piano, esempi.
Serie di potenze
Generalità, esempi, raggio di convergenza, calcolo del raggio di convergenza.
2
