statistica esercitazione 9

STATISTICA ESERCITAZIONE 9
Dott. Giuseppe Pandolfo
19 Gennaio 2015
REGOLE DI CONTEGGIO
Sequenze ordinate
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
Sequenze non ordinate
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
N = numero di prove
n = numero di volte che si verifica l’evento
Sequenze ordinate con ripetizione
𝑁𝑛
Sequenze ordinate senza ripetizione
𝑁!
𝑁−𝑛 !
Sequenze non ordinate con ripetizione
(𝑁 + 𝑛 − 1)!
𝑛! 𝑁 − 1 !
Sequenze non ordinate senza ripetizione
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
Esercizio 1
a) Se abbiamo un’urna che contiene 4 palline (Rossa, Bianca, Verde, Gialla), per cui Ω = {R, B, V, G},
definiamo le sequenze ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2.
Soluzione
Le sequenze sono 42 = 16, ovvero:
{RR, RB, RV, RG, BB, BR, BV, BG, VR, VB, VV, VG, GR, GB, GV, GG}
b) Ora definiamo le sequenze ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2.
Soluzione
Le sequenze sono
4!
4×3×2×1
=
= 4 × 3 = 12
4−2 !
2×1
{ RB, RV, RG, BR, BV, BG, VR, VB, VG, GR, GB, GV }
c) Ora definiamo le sequenze non ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2.
Le sequenze sono
(4 + 2 − 1)!
5×4×3×2×1
20
=
=
= 10
2! 4 − 1 !
2 × 1 (3 × 2 × 1)
2
{ RR, RB, RV, RG, BB, BV, BG, VV, VG, GG}
d) Ora definiamo le sequenze non ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2.
Le sequenze sono
4!
4×3×2×1
12
=
=
=6
2! 4 − 2 !
2 × 1 (2 × 1)
2
{ RB, RV, RG, BV, BG, VG }
Esercizio 2
Consideriamo il numero di terni possibili nelle estrazioni del Lotto. Calcoliamo il numero di possibili
combinazioni di 90 numeri scelti a 3 a 3 senza ripetizione.
Soluzione
In questo caso l’ordinamento non è rilevante, dunque:
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
dove n = 3 e N = 90.
90!
= 117480
3! 90 − 3 !
Il numero di terni possibili è 117480.
Modelli discreti di variabili: Uniforme, Binomiale, Bernoulli
Si chiama variabile di Bernoulli una variabile discreta X che assume valori 0 e 1, con probabilità,
rispettivamente, 1−p e p.
p viene chiamato parametro della variabile di Bernoulli. Convenzionalmente che ha probabilità p viene
chiamato successo mentre che ha probabilità 1−p viene chiamato insuccesso.
Esempi

Il lancio di una moneta è un esperimento di Bernoulli. Se la moneta non è truccata il parametro p è
uguale a 1/2.

Lancio di due dadi. Considero successo l’evento “somma dei punti dei due dadi uguale a 8, e
insuccesso l’evento complementare. Il parametro p vale 1/6.
La variabile di Bernoulli si indica con X ∼ B(p) e prende il valore 1 in caso di successo e 0 in caso di
insuccesso:
P(X=1) = p,
P(X=0) = 1 − p.
L’esperimento associato ad una variabile di Bernoulli prende il nome di esperimento di Bernoulli o prova di
Bernoulli.
Consideriamo un processo di Bernoulli di parametro p, di n prove. Si definisce binomiale di parametri n e p,
e si scrive X ∼ Bin(n, p). Dunque Bin(n, p) è la somma di n variabili Bernoulliane di parametro p,
indipendenti tra loro.
Esercizio 3
Da un mazzo di 52 carte (13 di picche, 13 di cuori, 13 di fiori e 13 di quadri) ne vengono estratte cinque con
reinserimento. Si è interessati alla variabile casuale X che descrive il numero di carte di cuori ottenute nelle
estrazioni. Determinare:
a) il valore atteso e la varianza della variabile Xi;
b) la probabilità di estrarre tre carte di fiori;
c) la probabilità di estrarre almeno tre carte di fiori;
d) la probabilità di estrarre al più tre carte di fiori;
Soluzione
a) Dato che l’estrazione delle carte dal mazzo di 52 avviene con riposizione, la probabilità di ottenere una
carta di cuori rimane costante da estrazione ad estrazione. Le singole estrazioni sono inoltre indipendenti in
quanto fisicamente separate. Alla luce di ciò, la variabile casuale X risulta essere una variabile casuale
binomiale di parametri n = 5 e p = 13/52 = 1/4. Si ha dunque che:
𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 = 5 ∙ 0.25 = 1.25
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 1 − 𝑝 = 5 ∙ 0.25 ∙ 0.75 = 0.9375
b) La funzione di probabilità di X è:
𝑃 𝑋=𝑥 =
5
𝑥
0.25
𝑥
1 − 0.25
5−𝑥
0
,
𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4, 5
,
𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
Quindi:
𝑃 𝑋=𝑥 =
5
5!
0.253 0.755−3 =
0.0156 ∙ 0.5625 = 10 ∙ 0.0156 ∙ 0.5625 = 0.0879
3
3! ∙ 2!
c) La probabilità di estrarre almeno tre carte di cuori coincide con la probabilità che la variabile casuale X
assuma valori maggiori o uguali a 3. Si ha quindi:
𝑃 𝑋 ≥𝑥 =𝑃 𝑋 =3 +𝑃 𝑋 =4 +𝑃 𝑋 =5
=
5
5
5
0.253 0.755−3 +
0.254 0.755−4 +
0.255 0.755−5
3
4
5
= 0.0879 + 5 ∙ 0.25
4
∙ 0.75 + 0.25
5
= 0.0879 + 0.0146 + 0.0010 = 0.1035
d) La probabilità di estrarre al più tre carte di cuori coincide con la probabilità che la variabile casuale X
assuma valori minori o uguali a 3:
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 = 0.2373 + 0.3955 + 0.2637 + 0.0879 =
0.9844 = 1 − 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 .
Esercizio 4
Può capitare che alcuni passeggeri pur avendo acquistato un biglietto aereo decidano di non viaggiare. Una
compagnia aerea sa che in media il 15% dei passeggeri non si presenta alla partenza e accetta 18
prenotazioni su 15 posti liberi. Supponendo che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti, qual è
la probabilità che almeno uno rimanga a terra?
Soluzione
La variabile X assume valore 0 se il passeggero non si presenta, 1 se si presenta. Gli eventi sono 17.
Dunque i parametri sono n = 17 e p = 0.88, e cerchiamo la probabilità che variabile Binomiale con questi
parametri abbia valori maggiori di 15:
𝑝 𝑉17 > 15 =
17
17
0.8816 0.121 +
0.8817 0.120 ≈ 0.263 + 0.113 = 0.376
16
17
Esercizio 5
Si consideri l’esperimento lancio di un dado non truccato. Sia X la variabile casuale che assume valore pari
alla faccia uscita;
1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente;
2) Calcolare valore atteso e varianza usando le definizioni generali;
3) Calcolare valore atteso e varianza usando quanto noto sulla distribuzione uniforme discreta.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
La variabile casuale X è rappresentata di seguito in forma tabellare e in forma grafica:
1
2
3
4
5
6
Il valore atteso è (secondo la definizione generale):
𝐸 𝑋 =
𝑖
1
1
1
1
1
1
𝑥𝑖 𝑝 𝑥𝑖 = 1 ∙ + 2 ∙ + 3 ∙ + 4 ∙ + 5 ∙ + 6 ∙ = 3.5
6
6
6
6
6
6
La varianza è (secondo la definizione generale):
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇
2
=
𝑥𝑖 − 𝜇
2
𝑝 𝑥𝑖
𝑖
1
∙ + 2 − 3.5
6
1
+ 6 − 3.5 2 ∙ = 2.91
6
= 1 − 3.5
2
2
1
∙ + 3 − 3.5
6
2
1
∙ + 4 − 3.5
6
La variabile casuale X è una variabile casuale uniforme discreta: X ~ Ud(6), quindi
𝐸 𝑋 =
𝑛+1 6+1
=
= 3.5
2
2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇
2
=
𝑛 2 − 1 62 − 1
=
= 2.91
12
12
2
1
∙ + 5 − 3.5
6
2
∙
1
6