Esercitazione n. 8

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8
Dott. Giuseppe Pandolfo
18 Novembre 2013
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Elementi del calcolo delle probabilità:
1) Esperimento: fenomeno caratterizzato da incertezza
2) Evento: qualunque esito che può risultare
3) Probabilità: valutazione numerica associata ad un evento
Esempio: Lancio di una moneta
I possibili risultati (eventi) dell’esperimento “lancio di una moneta” sono due: T = Testa e C = Croce. La
probabilità associata che esca Testa è uguale al 50%.
Definiamo prova ogni esperimento soggetto ad incertezza.
Indichiamo con Ω lo spazio campionario, ovvero l’insieme di tutti i risultati di una prova.
Operazione sugli eventi:
1) L’unione tra due eventi A e B è l’evento C che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi
A e B, ovvero: se si verifica A, se si verifica B o se si verificano contemporaneamente A e B.
𝐴⋃𝐵
2) La negazione dell’evento A è definita come quell’evento che si verifica quando non si verifica A e lo
indichiamo con
𝐴
Che si legge: “non A” oppure “A negato”.
3) L’intersezione di A e B è quell’evento C che si verifica se e solo se si verificano contemporaneamente
sia A che B.
𝐶 =𝐴∩𝐵
Che si legge: “A e B” oppure “A intersecato con B”.
Principio di inclusione-esclusione

𝑨⊂𝑩
A è incluso in B

𝑩⊃𝑨
B include A
Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se:
𝐴⋂𝐵 = Ø
Due eventi A e B si dicono necessari se la loro unione è l’evento certo, cioè si verifica certamente almeno
uno di essi, quindi se:
𝐴∪𝐵 =𝛺
Se una collezione di eventi è composta da eventi necessari e incompatibili, allora essa è una partizione di Ω.
Le leggi di Morgan offrono un legame tra le operazioni.
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵;
𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵
Sono due relazioni, una è duale dell’altra.
Esercizio 1
Nella prova lancio di un dado si generano 6 possibili risultati espressi dai possibili valori di ciascuna delle
6 facce del dado.
Indicare lo spazio campionario.
Soluzione
𝜴 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔
Esercizio 2
Ora determiniamo lo spazio campionario nella prova lancio di due dadi per l’evento 𝑆𝑗 , ovvero la somma
dei punti che si verificano sulle facce dei due dadi.
Soluzione
Si generano 36 possibili combinazioni, la somma assumerà valori compresi tra 2 e 12 ( j = 1,2,…,12 ). Per
cui,
𝜴 = 𝑺𝟐, 𝑺𝟑 , 𝑺𝟒 , 𝑺𝟓 , 𝑺𝟔 , 𝑺𝟕 , 𝑺𝟖 , 𝑺𝟗 , 𝑺𝟏𝟎 , 𝑺𝟏𝟏 , 𝑺𝟏𝟐
che costituisce la collezione di tutti i possibili risultati di tale prova.
Esercizio 3
Supponiamo di lanciare tre volte una moneta. Definiamo il più piccolo spazio degli eventi elementari che
descrive il numero di teste, il più piccolo spazio degli eventi elementari che descrive l’evento massimo
numero di teste consecutive ed infine il più piccolo spazio degli eventi elementari che descrive i precedenti
due eventi.
Soluzione
Indichiamo il risultato testa con T e croce con C. La partizione che descrive l’evento numero di teste è
costituita dai seguenti eventi elementari:
(TTT) (TTC, TCT, CTT) (TCC, CTC, CCT) (CCC)
La partizione che descrive l’evento numero massimo di teste consecutive è:
(TTT) (TTC, CTT) (TCT, TCC, CTC, CCT), (CCC)
La minima partizione che descrive entrambi gli eventi composti è:
(TTT), (TTC, CTT) (TCT), (TCC, CTC, CCT), (CCC)
POSTULATI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Siano 𝐸𝑖 , 𝑖 = 1,2 … eventi di 𝛺.
POSTULATO 1. 𝑃𝑅 𝐸𝑖 ≥ 0, ∀𝐸𝑖 ⊂ 𝛺
POSTULATO 2. 𝑃𝑅 𝛺 = 1
POSTULATO 3. 𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 = Ø, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 ⇒ 𝑃𝑟 ⋃∞
𝑖=1 𝐸𝑖 =
∞
𝑖=1 𝑃𝑟
𝐸𝑖
PROBABILITA’ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA
La probabilità condizionata di B dato A, Pr(B|A), si definisce:
𝑃𝑟 𝐵 𝐴 =
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
, 𝑝𝑒𝑟 𝑃𝑟 𝐴 > 0
𝑃𝑟(𝐴)
Ciò implica l’intersezione:
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃𝑟 𝐴 𝑃𝑟(𝐵|𝐴)
Inoltre
𝑃𝑟 𝐸 𝛺 =
𝑃𝑟(𝐸 ∩ 𝛺) 𝑃𝑟(𝐸)
=
= 𝑃𝑟(𝐸)
𝑃𝑟(𝛺)
𝑃𝑟(𝛺)
Due eventi si dicono indipendenti se
𝑃𝑟(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃𝑟(𝐴)𝑃𝑟(𝐵)
Probabilità dell’ unione di due eventi compatibili:
𝑃𝑟(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃𝑟(𝐴) + 𝑃𝑟(𝐵) − 𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Esercizio 4
Si consideri un’urna contenente tre palline, una Rossa, una Bianca e una Verde. Si estraggono due palline
in successione senza ripetizione. Si determini la probabilità che, per la coppia estratta
a) la prima pallina estratta sia rossa (evento A)
b) la seconda pallina estratta non sia bianca (evento B)
c) la prima pallina sia rossa o la seconda non sia bianca (evento C)
Soluzione
a) Lo spazio degli eventi è dato da
{RB, RV, BR, BV, VR, VB}
Il numero degli eventi possibili è quindi 6. Ciascuno di tali eventi ha probabilità 1/6 in quanto la
probabilità di una qualunque pallina è 1/3 alla prima estrazione e 1/2 (estrazione senza ripetizione) alla
seconda estrazione (1/3 ∗ 1/2 = 1/6). Il numero degli eventi favorevoli è due, quindi la probabilità cercata
è 2/6.
Ovvero:
𝑃𝑟 𝐴 = 𝑃𝑟 (𝑅1 ∩ 𝐵2 ∪ (𝑅1 ∩ 𝑉2 )] = 𝑃𝑟(𝑅1 ∩ 𝐵2 ) + 𝑃𝑟(𝑅1 ∩ 𝑉2 ) =
1 1 1 1 1 1 2
× + × = + =
3 2 3 2 6 6 6
b) Il numero degli eventi favorevoli è 4, la probabilità è 4/6.
Ovvero:
𝑃𝑟 𝐵 = 𝑃𝑟[(𝑅1 ∩ 𝑉2 ) ∪ (𝐵1 ∩ 𝑅2 ) ∪ (𝐵1 ∩ 𝑉2 ) ∪ (𝑉1 ∩ 𝑅2 )]
= 𝑃𝑟(𝑅1 ∩ 𝑉2 ) + 𝑃𝑟(𝐵1 ∩ 𝑅2 ) + 𝑃𝑟(𝐵1 ∩ 𝑉2 ) + 𝑃𝑟(𝑉1 ∩ 𝑅2 ) =
=
1 1 1 1 4
+ + + =
6 6 6 6 6
c) Possiamo procedere usando la formula
Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B)
1 1 1 1 1 1 1 1
× + × + × + ×
3 2 3 2 3 2 3 2
dove A e B sono gli eventi di cui ai punti 1 e 2. A ∩ B è quindi l’evento {RV} e Pr(A ∩ B) = 1/6. Quindi la
probabilità cercata è 2/6 + 4/6 – 1/6 = 5/6.
Ovvero:
𝑃𝑟 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃𝑟 𝐴 + 𝑃𝑟 𝐵 − 𝑃𝑟 𝐴 ∩ 𝐵 =
2 4
1 1
2 4 1 5
+ − ×
= + − =
6 6
3 2
6 6 6 6
Esercizio 4
Supponiamo che dati i due eventi A e B, con Pr(A) = 1/2 e Pr(A|B) = Pr(B|A) = 1/4, calcolare la
probabilità dell’event0 condizionat0 𝐴|𝐵 .
Soluzione
Sappiamo che
𝑃𝑟 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃𝑟 𝐴 𝑃𝑟 𝐵 𝐴 = 𝑃𝑟 𝐵 𝑃𝑟 𝐴|𝐵
Da questa abbiamo
𝑃𝑟 𝐵 = 𝑃𝑟(𝐴) = 1/2
Dalla definizione di probabilità di evento complementare
𝑃𝑟 𝐴 𝐵 = 1 − 𝑃 𝑟 𝐴 𝐵 = 1 −
=
𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃𝑟 𝐴 𝑃𝑟(𝐵|𝐴)
𝑃𝑟 𝐴 (1 − 𝑃𝑟 𝐵 𝐴 )
= 1−
=1−
𝑃𝑟(𝐵)
𝑃𝑟(𝐵 )
𝑃𝑟(𝐵)
1
= 𝑃𝑟 𝐵 𝐴
4
Con calcoli analoghi si ottiene 𝑃𝑟(𝐴|𝐵 ) = 3/4
Esercizio 5
Il 15% degli studenti non supera l’esame di matematica, il 20% non supera l’esame di statistica e il 10%
non supera né l’esame di matematica né quello di statistica. Se scegliamo uno studente a caso.
a) Se non ha superato l’esame di statistica, qual è la probabilità che non abbia superato matematica?
b) Se non ha superato l’esame di matematica, qual è la probabilità che non abbia superato statistica?
c) Qual è la probabilità che non abbia superato matematica o statistica?
Soluzione
Indichiamo con M ={studenti che non hanno superato matematica} e con S ={studenti che non hanno
superato statistica}, abbiamo
𝑃𝑟 𝑀 = 0,15
𝑃𝑟 𝑆 = 0,20
𝑃𝑟 𝑀 ∩ 𝑆 = 0,10
a) La probabilità che uno studente non abbia superato matematica se non ha superato statistica è
𝑃𝑟 𝑀 𝑆 =
𝑃𝑟(𝑀 ∩ 𝑆) 0,10
=
= 0,5
𝑃𝑟(𝑆)
0,20
b) La probabilità che uno studente non abbia superato statistica se non ha superato matematica è
𝑃𝑟 𝑆 𝑀 =
𝑃𝑟(𝑆 ∩ 𝑀) 0,10
=
= 0,66
𝑃𝑟(𝑀)
0,15
c) La probabilità che non abbia superato matematica o statistica è
𝑃𝑟 𝑀 ∪ 𝑆 = 𝑃𝑟 𝑀 + 𝑃𝑟 𝑆 − 𝑃𝑟 𝑀 ∩ 𝑆 = 0,15 + 0,20 − 0,10 = 0,25
Esercizio 6
La tabella seguente riporta i dati relativi a 100 studenti classificati secondo il voto ottenuto all’esame di
statistica a seconda se l’esame di matematica è stato superato o meno.
Superamento esame di matematica
Voto
SI
NO
≤ 18
15
15
> 18
50
20
Si estrae a caso uno studente. Denotiamo con A: {Voto ≤ 18} e con B: {Superamento esame di
matematica}.
Calcoliamo:
a) Pr(A), Pr(B)
b) Pr(A⋃B)
c) Pr(B|A)
d) I due eventi sono indipendenti?
Soluzione
a) 𝑃𝑟 𝐴 =
30
100
= 0,30
b) 𝑃𝑟 𝐴 ∩ 𝐵 =
15
100
= 0,15
𝑃𝑟 𝐵 =
65
100
= 0,65
Quindi
𝑃𝑟 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃𝑟 𝐴 + 𝑃𝑟 𝐵 − 𝑃𝑟 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,30 + 0,65 − 0,15 = 0,8
c) 𝑃𝑟 𝐵 𝐴 =
𝑃𝑟 𝐴∩𝐵
𝑃𝑟 𝐴
=
0,15
0,30
= 0,5
d) A e B non sono indipendenti poiché
𝑃𝑟(𝐵|𝐴) ≠ 𝑃𝑟(𝐵) → 0,5 ≠ 0,65
Teorema di Bayes
Se 𝐻1 , 𝐻2 , … , 𝐻𝑀 sono eventi che costituiscono partizioni di Ω, allora per qualsiasi evento 𝐸 ⊂ 𝛺 la
probabilità di 𝐻𝑖 dato E è:
Pr 𝐻𝑖 𝐸 =
𝑃𝑟 𝐻𝑖 𝑃𝑟(𝐸|𝐻𝑖 )
𝑀
𝑗 =1 𝑃𝑟(𝐻𝑗 ) 𝑃𝑟(𝐸|𝐻𝑗 )
Esercizio 7
Esempio 8.16, Domenico Piccolo
Un’azienda effettua controlli sui prodotti, si nota che il 12% presenta un difetto (evento A). Se il prodotto
non presenta difetti supera il controllo (evento B) con probabilità 0,85, se, invece, il prodotto è difettoso
supera il controllo con probabilità 0,4. Qual è la probabilità che il mattone non sia difettoso sapendo che ha
superato il controllo?
Soluzione
Pr 𝐴 = 0,12
Pr 𝐵 𝐴 = 0,85
Pr 𝐵 𝐴 = 0,4
Dobbiamo calcolare:
𝑃𝑟(𝐴|𝐵)
Applichiamo il teorema di Bayes e otteniamo:
𝑃𝑟 𝐴 𝐵 =
𝑃𝑟 𝐵 𝐴 𝑃𝑟(𝐴)
=
𝑃𝑟 𝐵 𝐴 𝑃𝑟 𝐴 + 𝑃𝑟 𝐵 𝐴 𝑃𝑟(𝐴) 𝑃𝑟 𝐵 𝐴
𝑃𝑟 𝐵 𝐴 (1 − 𝑃𝑟 𝐴 )
1 − 𝑃𝑟 𝐴 + (1 − 𝑃𝑟 𝐵 |𝐴 )𝑃𝑟(𝐴)
=
0,85 × (1 − 0,12)
0,748
=
= 0,86
0,9 × 1 − 0,12 + (1 − 0,4) × 0,12 0,864
REGOLE DI CONTEGGIO
Sequenze ordinate
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
Sequenze non ordinate
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
N = numero di prove
n = numero di volte che si verifica l’evento
Sequenze ordinate con ripetizione
𝑁𝑛
Sequenze ordinate senza ripetizione
𝑁!
𝑁−𝑛 !
Sequenze non ordinate con ripetizione
(𝑁 + 𝑛 − 1)!
𝑛! 𝑁 − 1 !
Sequenze non ordinate senza ripetizione
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
Esercizio 8
a) Se abbiamo un’urna che contiene 4 palline (Rossa, Bianca, Verde, Gialla), per cui Ω = {R, B, V, G},
definiamo le sequenze ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2.
Soluzione
Le sequenze sono 42 = 16, ovvero:
{RR, RB, RV, RG, BB, BR, BV, BG, VR, VB, VV, VG, GR, GB, GV, GG}
b) Ora definiamo le sequenze ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2.
Soluzione
Le sequenze sono
4!
4×3×2×1
=
= 4 × 3 = 12
4−2 !
2×1
{ RB, RV, RG, BR, BV, BG, VR, VB, VG, GR, GB, GV }
c) Ora definiamo le sequenze non ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2.
Le sequenze sono
(4 + 2 − 1)!
5×4×3×2×1
20
=
=
= 10
2! 4 − 1 !
2 × 1 (3 × 2 × 1)
2
{ RR, RB, RV, RG, BB, BV, BG, VV, VG, GG}
d) Ora definiamo le sequenze non ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2.
Le sequenze sono
4!
4×3×2×1
12
=
=
=6
2! 4 − 2 !
2 × 1 (2 × 1)
2
{ RB, RV, RG, BV, BG, VG }
Esercizio 9
Consideriamo il numero di terni possibili nelle estrazioni del Lotto. Calcoliamo il numero di possibili
combinazioni di 90 numeri scelti a 3 a 3 senza ripetizione.
Soluzione
In questo caso l’ordinamento non è rilevante, dunque:
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
dove n = 3 e N = 90.
90!
= 117480
3! 90 − 3 !
Il numero di terni possibili è 117480.