Esercizi Fisica B 2012-2013 - ISHTAR

Fisica B
Prof. Piccinini
Esercitazioni
Dott. Gianluca Pagnoni
E-mail: [email protected]
http://ishtar.df.unibo.it/
Operatore differenziale Nabla
r
∂ ˆ ∂ ˆ ∂
ˆ
∇≡i
+ j +k
∂z
∂x
∂y
r
∂
1 ∂
∂
ˆ
∇ ≡ ρˆ
+φ
+ zˆ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
r
1
∂ ˆ1 ∂
∂
ˆ
∇ ≡ rˆ + θ
+φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
coordinate cartesiane
coordinate cilindriche
coordinate sferiche
Consideriamo un campo vettoriale generico:
r
v = iˆ v
16/10/2012
x
+ ˆj v
y
+ kˆ v
z
Fisica B – G. Pagnoni
2
Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:
r r
∂
∂
∂
∇ ⋅v =
vx +
vy +
vz
∂x
∂y
∂z
Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale
iˆ
r r
∇ ∧ v = ∂x
vx
ˆj
∂y
vy
Data una funzione f
Il gradiente è:
16/10/2012
kˆ
∂ z = iˆ (∂ y v z − ∂ z v y ) − ˆj (∂ x v z − ∂ z v x ) + kˆ (∂ x v y − ∂ y v x )
vz
∂
dove:
( x, y , z )
r
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ
∇f =
fi+
f j+
fk
∂x
∂y
∂z
Fisica B – G. Pagnoni
= ∂x
∂x
∂
= ∂y
∂y
∂
= ∂z
∂z
3
Calcolare la divergenza del campo vettoriale
(
r
v = x 2 , xy, xy z
)
r ∂ ∂ ∂ 2
2
∇ ⋅ v =  , ,  ⋅ x , xy, xy z = 2 x + x − xy z
 ∂x ∂y ∂z 
(
Calcolare il rotore del campo vettoriale
)
(
r
v = x 2 , xy, xy z
)
r
∇ × v = (∂ y v z − ∂ z v y )iˆ − (∂ x v z − ∂ z v x ) ˆj + (∂ x v y − ∂ y v x )kˆ =
= (x z − 0)iˆ − ( y z − 0) ˆj + ( y − 0)kˆ = x z iˆ − y z ˆj + ykˆ
16/10/2012
Fisica B – G. Pagnoni
4
Siano dati il vettore costante
(
r
v = x 2 , xy, xy z
)
r
c = (c1 , c2 , c3 )
e il campo vettoriale
r r
. Calcolare il gradiente della grandezza c ⋅ v .
r ∂ ∂ ∂
∇(c ⋅ v ) =  , , (c1 , c2 , c3 ) x 2 , xy, xy z =
 ∂x ∂y ∂z 
(
)
∂ ∂ ∂ 2
=  , ,  c1 x + c2 xy + c3 xy z =
 ∂x ∂y ∂z 
(
)
(
= 2c1 x + c2 y + c3 y z , c2 x + c3 x z ,−c3 xy z 2
16/10/2012
Fisica B – G. Pagnoni
)
5
r
1
a ( x , y , z ) calcolarne il
Dato il campo vettoriale v =
3
flusso attraverso una superficie cubica di lato L centrata
nell’origine
1 - metodo: calcolo diretto
r r
a
∫∫Σ v ⋅ δΣ = ∫∫Σ 3 (x, y, z )⋅ (0,0, δxδy)
1
1
a
aL
= ∫∫ zδxδ y =
δxδy =
∫∫
3
3 2 Σ1
Σ1
aL 2 aL3
=
L =
6
6
16/10/2012
r
δΣ = (0,0, δxδy )
r a
v = ( x, y , z )
3
δΣ
z
v
L
L L/2
y
x
Fisica B – G. Pagnoni
6
r
Dato il campo vettoriale v =
1
a ( x , y , z ) calcolarne il flusso attraverso una
3
superficie cubica di lato L centrata nell’origine
2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza
r
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ v δV = ∫∫ v ⋅ δΣ
VΣ
Calcoliamo allora
Σ
r
∇⋅v
r ∂ ∂ ∂
a a a a
∇ ⋅ v =  , ,  ⋅ ( x, y, z ) = + + = a
3 3 3 3
 ∂x ∂y ∂z 
r r
3
v
⋅
δ
Σ
=
a
δ
V
=
a
δ
V
=
aL
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Σ
16/10/2012
VΣ
VΣ
Fisica B – G. Pagnoni
7
Due cariche sono disposte come in figura. Calcolare il rapporto delle
cariche affinchè il campo elettrico nel punto P sia nullo.
+q
r
E=
d
Q
rˆ
2
4πε 0 r
1
Il campo elettrico si annulla ne punto P se:
16/10/2012
-Q
Fisica B – G. Pagnoni
P
d/2
q
=9
Q
8
Due cariche elettriche sono disposte come in figura. Calcolare il
potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare
in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico
rispetto alla variabile x.
+q
+Q
r
E=
x=
d
1
Q
rˆ
2
4πε 0 r
d
Q
1+
q
16/10/2012
In questo punto il campo elettrico
complessivo è nullo
Fisica B – G. Pagnoni
9
Calcolare nel punto P ,modulo
direzione e verso del campo
elettrico generato dalle cariche
elettriche indicate in figura
-3q
-2q
L
Principio di sovrapposizione
q
L
r
E=
P
L
1
Q
rˆ
2
4πε 0 r
I vettori del campo elettrico generati in P dalle diverse cariche sono
tutti collineari per cui possono essere sommati come numeri dotati
di segno
1  q 2q 3q 
q  1 1
q
1− −  =
 2 − 2 − 2=
2 
4πε 0  L 4 L 9 L  4πε 0 L  2 3  24πε 0 L2
16/10/2012
Fisica B – G. Pagnoni
10
A) Q
2Q
3Q
B)
2
3Q
2
d
r Q ⋅ 2Q
2Q 2
FA =
rˆ = 2 rˆ
2
r
r
d
r 3Q 3Q 1
9Q 2 1
FB =
⋅
rˆ =
rˆ
2
2
2 2 r
4 r
r 9 2Q 2
9 r
FB =
rˆ = FA
2
8 r
8
16/10/2012
Fisica B – G. Pagnoni
11
Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico
generato dalla carica elettrica q lungo il percorso
tratteggiato che congiunge A e B
B
L
r
Q 1
E=
rˆ
2
4πε 0 r
r
E = − gradV
Campo elettrostatico è conservativo
r
1 Q
V (r ) =
+ V∞
4πε 0 r
L
q
A
r r
1 
Q 1
∫A E ⋅ δl = VA − VB = 4πε 0  L − L 2  =
B
=
Q
4πε 0
16/10/2012
Q 2− 2
2 −1
=
4πε 0 L
2L
Fisica B – G. Pagnoni
12
Calcolare modulo
r direzione e verso del campo
elettrostatico E generato nel punto P dalla
distribuzione lineare finita ed uniforme di carica
elettrica indicata in figura
λ
L
P
d
λδx
δE x =
4πε 0 (Lλd − x )2
1
λ
Ex =
4πε 0
L
δx
∫ (L + d − x )
2
0
λ L − δ ( L + d − x)
Ex =
4πε 0 ∫0 (L + d − x )2
L

1
1 
λ 
λ 1
Ex =
=
 −



4πε 0  (L + d − x )  0 4πε 0  d d + L 
=
λ
L
4πε 0 d (d + L )
16/10/2012
Fisica B – G. Pagnoni
13
Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio R, ed
avente densità lineare λ uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una
carica puntiforme q dall’infinito al centro della distribuzione stessa
q
∞
L∞P
∞
r
r
Fest = −qE
P
R
r
E
dove
è il campo elettrico generato
dall’anello carico
λ
r r
= −q ∫ E ⋅ δl = −q(V∞ − VP ) = qVP
P
L∞P
∞
VP =
∫
anello
23/10/2012
1
r
r
= ∫ Fest ⋅ δl
P
λδl
4πε 0 R
=
λ
λ
2πR =
4πε 0 R
2ε 0
G. Pagnoni
V∞ = 0
r
1 Q
V (r ) =
+ V∞
4πε 0 r
L∞P
qλ
=
2ε 0
La superficie laterale di un cono e di una semisfera sono unite in
modo da formare una superficie chiusa S. Internamente ad S,
nel centro del cerchio che costituisce il bordo comune delle
superfici di cui sopra, è posizionato un elettrone (q=-1.60x10-18
C). Calcolare il flusso del campo elettrostatico Φ(E) attraverso la
superficie laterale del cono nell’ipotesi che il raggio della
semisfera valga R=10 cm (ε0=8.85x10-12C2/Nm2
S
R
q
q = −1.60 ×10 −19 C
R = 10cm
ε 0 = 8.85 ×10 −12 C 2 Nm 2
()
r
Φ E =?
23/10/2012
G. Pagnoni
r r q
∫∫ E ⋅ δS =
Dalla legge di Gauss si ha che
S
r r
∫∫ E ⋅ δS =
S
r r
∫∫ E ⋅ δS +
semisfera
r r q
∫∫ E ⋅ δS =
Sup . Lat .Cono
ε0
e quindi anche
ε0
Considerando ora una superficie sferica centrata in q, la legge di Gauss ci dice
r r
∫∫ E ⋅ δS =
S
r r
∫∫ E ⋅ δS +
Semisfera
r r q
∫∫ E ⋅ δS =
Semisfera
2ε 0
r r q
∫∫ E ⋅ δS =
Sup . Lat .Cono
23/10/2012
r r
∫∫ E ⋅ δS = 2
Semisfera
r r q
∫∫ E ⋅ δS =
Semisfera
ε0
da cui
sostituendo
−19
−
1
.
60
×
10
−6
−q
= q
=
=
−
0
.
18
×
10
ε0
2ε 0
2ε 0 0.1 ⋅ 8.85 × 10 −12
G. Pagnoni
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 24/09/2008
E = −∇V , E = k , F = kQ
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 24/09/2008
La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il
lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.
23/10/2012
G. Pagnoni
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 14/06/2010
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 14/06/2010
G. Pagnoni
22
Esame 13/07/2010
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 01/02/2008
23/10/2012
G. Pagnoni
Esame 13/07/2010
06/11/2012
G. Pagnoni
27
Esame 13/07/2010
06/11/2012
G. Pagnoni
28
1
Q
2
U = CV C =
Q costante
d 2 = 2d1
2
∆V
densità di energia : energia elettrostatica per unità di volume
UE
U
uE =
= E
Volume A ⋅ d
2
2
1
Q
Q
d
2
=
U = CV =
2
2C 2ε 0 S
UE
uE =
V
06/11/2012
U1
u1 =
V1
C=
2U1
u2 =
2V1
G. Pagnoni
ε0S
d
La densità di energia non varia
29
Esame 23/07/2012
Due particelle di carica uguale ma di segno opposto partono
contemporaneamente da due punti diversi, con velocità v1 e
v2, nello stesso verso e su traiettorie parallele. Le particelle
sono immerse in un campo magnetico uniforme e
perpendicolare alla loro direzione. Le due cariche s’incontrano
quando la direzione della prima è ruotata di 90° e quella della
seconda di 150°. Qual è il rapporto tra le masse de lle due
particelle?
06/11/2012
G. Pagnoni
30
Calcolare il diametro di un filo di rame (ρ =168 × 10-8 Wm) in
cui circola una corrente di 40 A, affinché dissipi una potenza di
1.6 W per ogni metro di lunghezza
20/11/2012
G. Pagnoni
31
Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la
differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro
avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt.
Determinare la resistenza interna r della pila.
r=24.2 ohm
20/11/2012
G. Pagnoni
32
Una resistenza filiforme di sezione S=1 mm2 è costituita
dall'unione di un filo di lunghezza l1=10 mm e resistività
ρ1=5×10-5 Wm con un filo di lunghezza l2=5 mm e resistività
ρ 2=3ρ 1. Quando la resistenza è attraversata da una
corrente uniforme I = 5 A calcolare:
a) i campi elettrici nei due materiali
b) la differenza di potenziale ai capi della resistenza
c) la carica presente sulla superficie di separazione dei due
materiali.
20/11/2012
G. Pagnoni
33
20/11/2012
G. Pagnoni
34
Un filo metallico di massa m scivola senza attrito su due rotaie
poste a distanza d. Il binario è posto in un campo di induzione
magnetica B diretto perpendicolarmente al piano del binario.
Una corrente costante i circola dal generatore G lungo una
rotaia, attraversa il filo e torna al generatore attraverso l'altra
rotaia. Trovare la velocità (modulo, direzione e verso) del filo in
funzione del tempo nell'ipotesi che esso sia fermo per t=0.
20/11/2012
G. Pagnoni
35
Un filo rettilineo conduttore di sezione circolare costituito da un
materiale di densità pari a 2.5 g/cm3 è posto in un campo
magnetico uniforme in modo che l'asse del filo sia
perpendicolare alla direzione del campo. Nel filo si stabilisce
una densità di corrente di 2.4x106 A/m2 e si fa aumentare il
campo magnetico fino a quando la forza magnetica agente sul
filo bilancia esattamente quella gravitazionale. Calcolare il
valore di B al raggiungimento di questa condizione.
20/11/2012
G. Pagnoni
36
Una pila ha forza elettromotrice f=1.534 volt. Se si misura la
differenza di potenziale ai capi della pila con un voltmetro
avente resistenza interna R’=1000 ohm si trova V=1.498 volt.
Determinare la resistenza interna r della pila.
r=24.2 ohm
27/11/2012
G. Pagnoni
37
E=
Q
σ
=
ε 0 ε0S
t
−
1
1
&
&
RQ + Q = 0; Q = −
Q; Q = Q0 e RC
C
RC
Ri + VA − VB = 0
t
Q0 − RC
Q
E=
=
e
Sε 0 Sε 0
27/11/2012
G. Pagnoni
38
27/11/2012
G. Pagnoni
39
27/11/2012
G. Pagnoni
40
Un circuito costituito da un condensatore a facce piane parallele di forma circolare
avente una carica Q (sia S la superficie delle armature e d la loro distanza) e da una
resistenza R, è inizialmente aperto.
1) Calcolare il campo elettrico tra le armature.
Al tempo t=0 il circuito viene chiuso ed il condensatore comincia a scaricarsi:
2) Determinare la carica sulle armature in funzione del tempo.
Questo fatto determina una variazione temporale anche del campo elettrico tra le
armature.
3)Determinare la corrente di spostamento attraverso una superficie circolare posta
tra le armature.
E=
σ
Q
=
ε 0 ε0S
t
−
1
1
&
&
RQ + Q = 0; Q = −
Q; Q = Q0 e RC
C
RC
Ri + VA − VB = 0
t
Q0 − RC
Q
E=
=
e
Sε 0 Sε 0
27/11/2012
G. Pagnoni
41
t
Q0 − RC
Q
E=
=
e
Sε 0 Sε 0
r r
d
d
d
d
i S = ε 0 ∫∫ E ⋅ dΣ = ε 0 ∫∫ EdΣ = ε 0 E ∫∫ dΣ = ε 0 Eπr 2 =
dt Σ
dt Σ
dt S
dt
t
t
−
1 − RC
2 dE
2 Q0
2 Q0
= ε 0πr
= −ε 0πr
e
= −πr
e RC
dt
Sε 0 RC
SRC
27/11/2012
G. Pagnoni
42
Iniziamo calcolando il campo magnetico generato
dalle correnti i1 e i2:
r
µ i
B1 (r1 ) = 0 1
2π r1
r
µ 0 i2
B2 (r2 ) =
2π r2
Sia
r = r1
allora
Entrante nel foglio fra i due conduttori
d
i1
i2
i3
Entrante nel foglio fra i due conduttori
2d
r2 = 2d − r1 = 2d − r
quindi possiamo riscrivere il campo magnetico totale come:
r
µ 0 i1 µ 0 i2
µ 0 (2d − r )i1 + ri2
B(r ) =
+
=
2π r 2π 2d − r 2π r (2d − r )
04/12/2012
G. Pagnoni
43
Sui lati ortogonali (2-4) ai fili agiscono forze uguali ed opposte che si cancellano
fra di loro
Sui lati paralleli agiscono forze uguali ed opposte ma diverse in modulo
Sia R la distanza fra il lato 1 ed il filo 1 per la legge di Lorentz:
r r
r
dF = i3 dl × B
r
B costante su tutto il filo
r
r
B ⊥ dl
d
i1
d
r
F1 = i3 ∫ B(R ) ⋅ dl = i3d ⋅ B(R )
0
r
F2 = −i3 d ⋅ B(R + d )
i3 d ⋅ [B(R ) − B(R + d )] = 0
r
i2 
µ0  i1
B(r ) =
 +

2π  r 2d − r 
04/12/2012
4
1
i2
3
2
i3
2d
r r r
R = F1 + F2 = 0
[B(R ) − B(R + d )] = 0
i1
i2
i1
i2
+
−
−
=0
R 2d − R R + d 2d − R − d
G. Pagnoni
44
d = 6cm = 0.06m
J ( x) = ax
r
−5
B
⋅
dl
=
1
.
9
×
10
Wb / m
∫
I = Jl
d
dI = Jdx
d
d
a 2
a 2
I = ∫ Jdx = ∫ axdx =  x  = d
 2 0 2
0
0
04/12/2012
G. Pagnoni
45
d = 6cm = 0.06m
J ( x) = ax
r
−5
B
⋅
dl
=
1
.
9
×
10
Wb / m
∫
r
∫ B ⋅ dl = µ0 I
I=
1.9 × 10 −5Wb / m
= 15
µ0
1.9 ×10 −5 Wb / m
=
=
−7
4π ×10 H m
Wb
= 15 A
H
04/12/2012
G. Pagnoni
46
d = 6cm = 0.06m
J ( x) = ax
r
−5
B
⋅
dl
=
1
.
9
×
10
Wb / m
∫
a 2
d = 15 A
2
2 ⋅15
30
−3
2
a= 2 A=
A
=
8
.
4
⋅
10
A
m
d
3.6 ⋅10 −3
I=
04/12/2012
G. Pagnoni
47
Il campo magnetico può essere calcolato come la
somma dei contributi delle strisce parallele di
larghezza dx
I =I
δx
se I fosse costante
d
δx
xP
P
R
2 Ix
I = Jδx = 2 δx
d
µ0
(
)
δB r =
µ0 I
2 Ix
δx = 2
xδx
2
2πxP d
πd (r + d − x )
µ0 I
B (r ) = ∫ 2
= 2
πd (r + d − x ) πd
o
d
04/12/2012
µ 0 Ixδx

µ0 I 
xδx
 d
∫o (r + d − x ) = πd 2 (r + d )ln1 + r  − d 
d
G. Pagnoni
48
x
11/12/2012
G. Pagnoni
49
δq
δq
δq x
 r r
δE (r )x = k 2 cos(θ ) = k 2 cos(θ ) = k 2 1

r r
r
r
r r 2
1 Q

δE (r ) =
rˆ → 
2
r
4πε 0 r
δE (rr ) = k δq sen(θ ) = k δq sen(θ ) = k δq y
y

r2
r2
r 2 r 12
r r
E (r )tot
1 qa
r r
x
r r
r  E (r )tot , x =
3
1 qa
2
4
πε
= ∫ δE 
→ E (r )tot =
x
0 r
3
4πε 0 r 2
 Er (rr ) = 0
tot , y

11/12/2012
G. Pagnoni
50
11/12/2012
G. Pagnoni
51
r
r r
FL = −ev × B
r
v = vr rˆ + vt tˆ + vn nˆ
vt
tˆ r̂
ω
è data dal solo trascinamento della sbarra
vt = ?
dst = rdϑ
dst
dϑ
=r
= vt
dt
dt
O
vt = rω
vr
è data dall’effetto della Forza di Lorentz non annullata dalla reazione
vincolare della sbarra
11/12/2012
G. Pagnoni
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Gli elettroni sono spinti verso il centro di rotazione, il modulo della forza
che sente un elettrone e- a distanza r da O è:
F = evB = erωB
E =
F
e
= rωB
tˆ r̂
la differenza di potenziale è:
1
1 dϑ 2
2
Bl
∆V = ∫ rωBdr = ωBl =
2
2 dt
o
l
ω
O
1 dϑl 2
1 dS dϑ ⋅ B dΦ (B )
=
B=
=
2 dt
2 dt
dt Tagliato
2π
Area del cerchio:
11/12/2012
r
2π
1 2 1 2
2
A = r π = ∫ dϑ ∫ rdr =2π ⋅ r = r ∫ dϑ
2
2 0
0
0
G. Pagnoni
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11/12/2012
G. Pagnoni
54
11/12/2012
G. Pagnoni
55
Esame 12/01/2010
11/12/2012
G. Pagnoni
56
Esame 18/06/2009
11/12/2012
G. Pagnoni
57
11/12/2012
G. Pagnoni
58
Esame 22/04/2009
F
V
F
11/12/2012
G. Pagnoni
59
Esame 23/12/2009
23/10/2012
G. Pagnoni
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