Corso di Laurea: Diritto per le Imprese e le istituzioni
a.a. 2016-17
Statistica
Probabilità
Lezioni : 11, 12
Docente: Alessandra Durio
1
Contenuti
1. Variabili casuali notevoli DISCRETE (uniforme, di
Bernoulli, Binomiale)
• Variabile casuali notevoli CONTINUE: (uniforme,
Gaussiana (o normale) )
Docente: Alessandra Durio
2
Variabile casuale Uniforme Discreta
Una variabile casuale discreta X viene detta possedere una distribuzione
uniforme se le sue determinazioni sono i primi n numeri interi e queste hanno
probabilità costante di verificarsi, cioè se possiede distribuzione di probabilità:
"$ x i &$
"$ r &$
" 1
&
2 ... n
#
'
= #1/n 1/n ... 1/n ' = # '
%
( $%1/n $(
$% p(x i ) $(
i=1,...,n
r =1,...,n
Per tale variabile casuale, abbiamo:
€
n 2 −1
V[X] =
12
n +1
E[X] =
2
NB: contrariamente a
quanto ho detto a lezione
questa formula è corretta
€
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€
3
Esempio Variabile casuale Uniforme
Discreta
Un semplice esperimento casuale consiste nell’estrazione di una pallina da
un’urna che ne contiene dieci, indistinguibili al tatto e numerate
progressivamente a partire da uno.
La v.c. X = {# impresso sulla pallina estratta} è di tipo discreto con
distribuzione uniforme, cioè:
"$ x i &$
"
&
" 1
2
... 10 & $ r $
#
'
'
= #1/10 1/10 ... 1/10 ' = #
%
( $%1/10 $(
$% p(x i ) $(
i=1,...,10
r =1,...,10
E[X] =
€
€
V[X] =
10 +1
= 5.5
2
10 2 −1
= 8.25
12
Calcoliamo ora la probabilità dell’evento A={X < µ}:
5
5
P(X < µ) = P(X < 5.5) = ∑ P(X = r) =∑ p(r) =
r =1
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r =1
5
= 0.5
10
4
Variabile casuale di Bernoulli
Si immagini un esperimento casuale i cui esisti possano semplicemente essere
classificati in Successo S, e Insuccesso I. Posto P(S)=θ la variabile casuale X
che associa al Successo 1 e all’insucesso 0 si dice di Bernoulli con parametro θ
ed ha distribuzione di probabilità:
" xi %
" 0
1%
#
&
#
= 1−θ θ&
'
$ p(x i ) 'i=1,2 $
Per tale variabile casuale, abbiamo:
€
infatti
Possiamo anche dire
che la v.c X conta i
successi
⋆ E[X]=θ
⋆ Var[X]=θ(1−θ)
E[X] = 0⋅ (1 − θ ) +1⋅ θ = θ
E[X 2 ] = 0 2 ⋅ (1 − θ ) +12 ⋅ θ = θ
V[X] = E[X 2 ] − (E[X]) 2 = θ − θ 2 = θ (1 − θ )
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5
Esempio variabile casuale di Bernoulli
Si immagini di controllare casualmente, a fine linea di produzione, un pezzo
meccanico prodotto, e che il tasso di difettosità del processo di produzione sia
θ = 0.01. Gli eventi elementari di tale esperimento sono due:
D = {il pezzo è difettoso} ND = {il pezzo non è difettoso}
La v.c. X di Bernoulli , che associa all’evento ND il valore x1 = 0 ed all’evento D
il valore x2 = 1 ha distribuzione di probabilita`
" xi %
" 0
1 %
#
&
= #0.99 0.01&
'
$ p(x i ) 'i=1,2 $
Per tale variabile casuale si ha
E[X] = 0.01
Var[X] = 0.01 · 0.99 = 0.0099
€
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Variabile casuale di Binomiale
Una variabile casuale X che esprime il numero di Successi in una serie di
n prove bernoulliane indipendentim che, ricordiamo, equivale a θ = P(S)
costante in ogni prova viene detta BINOMIALE e possiede funzione di
distribuzione di probabilità:
"
0
"$ x i &$
$) n ,
#
'
= #+ .θ 0 (1 − θ ) n −0
$% p(x i ) $(
$+ 0 .
i=1,...,n +1
%* -
€
& "
&
1
...
n
r
$ $) n ,
$
) n,
) n,
1
n −1
n
n −n ' = #
r
n −r '
+ .θ (1 − θ )
+ .θ (1 − θ )
... ++ ..θ (1 − θ )
+ .
+ .
$
$
$
*1 * n( %* r (r =0,...,n
Una v.c. binomiale è interamente caratterizzata dai parametri n, che indica il
numero delle prove, e θ, che è la probabilità del successo nella singola prova.
Per tale variabile casuale, abbiamo:
E[X]=nθ
Var[X]=nθ(1−θ)
Considerando la probabilità che la v.c assuma una generica sua determinazione r
" n%
p(r) = P(X = r) = $$ ''θ r (1 − θ ) n −r
#r &
r
θ (1 − θ )
n −r
Docente: Alessandra Durio
e ricordando quanto detto per le prove ripetute si ha
la probabilità di una
generica sequenza
formata da r successi
e n-r insuccessi
" n%
$ '
$ '
#r &
il Coefficiente binomiale, dà
il numero di combinazioni n
su r. (il numero di modi
possibili di avere r successi
in n prove)
7
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8
Esempio Variabile casuale di Binomiale
Un addetto dell’Italgas in una mattina compie 10 visite ad altrettanti utenti
dell’azienda energetica municipale. Volendo conoscere la probabilità che
l’addetto possa eseguire in mattinata la lettura di piu` di 7 contatori,
introduciamo la variabile casuale X = {numero di letture eseguite} che
possiede distribuzione binomiale di parametri n = 10 e θ = 0.45. Si osservi che
quest’ultimo parametro rappresenta la probabilità che un generico utente sia
in casa alla mattina. La funzione di distribuzione di probabilità e quella di
ripartizione sono in figura.
La probabilità che ci interessa è:
P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) =
"10%
"10%
"10%
8
2
9
1
= $$ ''0.45 0.55 + $$ ''0.45 0.55 + $$ ''0.4510 =
#8 &
#9 &
#10&
= 0.02289 + 0.00416 + 0.00034 = 0.02739
In definitiva l’addetto ha una probabilità del 2.7% di eseguire più
di 7 letture del contatore ogni mattina. Ovviamente egli ha una
probabilità del 97.3% si eseguire al più 7 letture.
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OSSERVAZIONI sulla v.c. Binomiale
Naturalmente, al variare dei parametri che la caratterizzano, la funzione di
distribuzione di una v.c. binomiale assume forme diverse, in particolare al
variare del parametro θ. In figura è riportato il grafico delle funzioni di
distribuzione di probabilità di alcune v.c. binomiali caratterizzate da diversi
valori di θ e tutte con n=5.
Quale è quella con la varianza più grande?
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Contenuti
1. Variabili casuali notevoli DISCRETE (uniforme, di
Bernoulli, Binomiale)
2. Variabile casuali notevoli CONTINUE: (uniforme,
Gaussiana (o normale) )
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Variabile casuale Uniforme continua
(o rettangolare)
Una variabile casuale X continua viene detta possedere distribuzione uniforme
se ha funzione di ripartizione e funzione di densità rispettivamente:
Per tale variabile casuale, abbiamo:
€
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a+b
E[X] =
2
(b − a) 2
V[X] =
12
€
12
Esempio: Variabile casuale Uniforme
continua
Sia X una v.c. con distribuzione uniforme nell’intervallo [−2; 2]. Ci proponiamo
di calcolare la probabilita` dell’evento {−1 < X ≤ 1}
f (x) =
1
1
= = 0.25
2 − (−2) 4
1
Area=0.5
P(−1 < X < 1) =
∫
1
1
dx = ........
4
−1
f (x) = dx ∫
−1
€
ma è l’area di un rettangolo……
€
P(−1 < X < 1) = base⋅ altezza = (1 − (−1))⋅ 0.25 = 0.5
volendo usare la funz. di ripartizione:
€
E[X] =
a+b
= ......
2
F(x) =
x − (−2) x + 2
=
2 − (−2)
4
P(−1 < X < 1) = F(1) − F(−1) =
1+ 2 −1+ 2
−
= 0.5
4
4
€
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€
13
Variabile casuale Normale di Gauss
Tra le variabili casuali continue un posto di notevole rilievo occupa la variabile
casuale Normale, o di Gauss o più semplicemente gaussiana.
Una v.c. X viene detta possedere distribuzione Normale di parametri (µ, σ2), in
simboli X ∼ N (µ, σ2), qualora essa possegga la seguente funzione di densità:
−
1
f (x) =
e
σ 2π
(x − µ )2
2σ 2
massimo per x=µ
flessi x=µ±σ
Per tale variabile casuale si dimostra che:
⋆ il valore atteso coincide con il parametro µ cioè E[X]=µ
⋆ la varianza coincide con il parametro σ cioè Var[X]=σ2
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14
La posizione della Normale
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15
La forma della Normale
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16
Altre proprietà della Normale
• Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale è ancora una v.c.
Normale.
Se X è normale allora anche Y=aX+b è normale e si ha che:
E[Y]=aE[X]+b
e
V[Y]=a2V[X]
In particolare se X≈N(µ,σ) la v.c standardizzata
Z=
(che è una trasformata lineare di X con a=1/σ e b=-µ/σ)
X −µ
σ
sarà una v.c. Normale di media 0 e varianza 1, cioè Z≈N(µ=0,σ=1)
€
• La somma di due v.c. Normali indipendenti è ancora una v.c. Normale
(con media e varianza pari, rispettivamente, alla somma delle medie e
delle varianze delle due v.c. Normali).
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Per conoscere la probabilità si ricorre alla
v.c. Normale standardizzata
Posto di lavorare con una variabile casuale con distribuzione Normale, ci si
pone il problema del calcolo delle probabilità di eventi di interesse, quali
A={X ≤ a}, B={a < X ≤ b}, C={X ≥ b}, . . .
Le probabilità di tali eventi possono evidentemente essere calcolate con la
funzione di ripartizione oppure valutando l’area sottesa alla funzione di
densità.
Purtroppo, non conoscendo la forma analitica della
primitiva della funzione di densità della variabile casuale
Normale con media e varianza qualsiasi, l’integrale per
il calcolo dell’are non si può risolvere.
Il problema si può
risolvere ricorrendo
alla
standardizzazione
di X:
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18
Il legame tra X≈N(µ,σ) e Z≈N(0,1)
ad ogni intervallo di valori di X corrisponde uno ed un solo intervallo di valori di
Z e la probabilità associata ai due intervalli è la stessa!
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19
La tavola della Normale (0,1)
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20
La tavola della Normale (0,1)
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Esempio: probabbilità di eventi nel caso di
v.c. Normale
Data la variabile casuale X ∼ N (µ=20, σ=5), ci proponiamo di calcolare la
probabilità dell’evento: A= {X < 21}
Anziché lavorare sulla v.c. X data, scegliamo di trasformare quest’ultima in
una v.c. Normale standardizzata semplicemente ponendo
X − 20
Z=
Dunque la probabilità cercata è:
5
#
21 − 20 &
P(A) = P(X < 21) = P% Z <
( = P(Z < 0.2) = 0.5793
€
$
5 '
dalla tavola
Se si volessero le probabilità dei seguenti eventi?
B= {X > 21}
C= {18< X < 21}
e il problema inverso, trovare c tale che
P(X < c) = 0.64
Problemi aperti
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22
€
