I PROBLEMI DI LANDAU
Congettura e infinità dei
Numeri di Landau di forma n2 +1
(dimostrazione ed estensione
a forme numeriche simili)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we proof the of Landau’s conjecture and infinity of
Landau’s prime numbers ; possible extensions at forms
n2 + 2 with n odd
n2 - 2 with n odd
Riassunto
In questo lavoro dimostreremo la congettura di Landau sui numeri
1
primi di forma n2 +1 e di conseguenza la loro infinità; possibili
estensioni a forme numeriche simili :
n2 + 2 con n dispari
n2 - 2 con n dispari
I problemi di Landau sono inclusi nella lista dei problemi matematici
ancora irrisolti, e così riportati dall’omonima voce di Wikipedia:
“ Problemi di Landau
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
“I problemi di Landau sono quattro problemi di base riguardanti i numeri primi che furono
elencati nel 1912 all'International Congress of Mathematicians a Cambridge da Edmund Landau.
Egli affermò che questi problemi fossero "inattaccabili allo stato attuale della scienza". I problemi
sono:
1. La congettura di Goldbach: può ogni numero pari maggiore di 2 essere scritto come somma
di due numeri primi?
2. La congettura dei numeri primi gemelli: esistono infiniti numeri primi tali che anche
sia un numero primo?
3. La congettura di Legendre: esiste sempre un numero primo compreso tra due quadrati
perfetti consecutivi?
4. Esistono infiniti numeri primi della forma
?
Fino ad oggi, questi quattro problemi sono ancora irrisolti. “
…
Circa i primi tre problemi, li abbiamo già risolti, parzialmente o
totalmente, e i relativi lavori sono stati già pubblicati sul nostro sito,
vedi Rif. finali.
In questo lavoro dimostreremo il quarto, la congettura di Landau, e
2
quindi l’infinità dei numeri primi di forma
Costruendo infatti una tabella apposita, vediamo che il loro numero
a(L) fino a 10n cresce in modo direttamente proporzionale
all’esponente n, con una stima attendibile di a(L) di n2:
Tabella dei numeri di landau fino a N =10n
TABELLA 1
n
10^n
Numeri di
Landau
fino a 10^n
Stima
logaritmica
a*n e (ln 10^n)
log(10^n)
1
10
a(L)
2
2
100
4
3
1 000
10
3n + 1
6,90 < 10
10 ≈ 1,44
3
4
10 000
19
4n + 3
?
…
9,21< 19
19 ≈ 2 ln(10^4)
4
5n + ?
…
5
…
100 000
…
3
2n
2,30 > 2
1
2n
4,60 > 4
2
Osservazioni:
Gli a(L), i numeri di Landau fino a 10n, sono sempre maggiori del
ln (10n), salvo che nei primi due valori, il che significa che vanno più
veloci del logaritmo di n(10n) e quindi sono infiniti.
Per log (10n), il numero dei numeri di Landau a(L) supera fin dal
primo valore il log (10n), e prosegue con la stima approssimativa
a(L) ≈ log (10n)2, con valori reali leggermente in eccesso a tale
stima molto attendibile, infatti:
Log(10^n) Log(10^n)^2 ≈ <a(L)
1
1^2 = 1
2
2^2 = 4
3
3^2 = 9 < 10
4
4^2 = 16 < 19
…
a(L) = a(10^n)
2
4
10
19
…
Questo ci permette di stimare approssimativamente, per leggero
eccesso, a(L) con qualsiasi esponente n di 10n:
a(10n) ≈ n2,
con a(n) > n2 già a partire da n = 3
(per n = 1 ed n = 2 si ha la parità)
Per esempio, per 1020 avremo un valore di a(L) un po’ superiore al
quadrato di 20: a(1020) ≈ 202 = 400, approssimato per difetto.
Poiché n2 cresce con n, i valori di n sono infiniti e così anche i loro
4
quadrati, anche i numeri primi di Landau sono infiniti, ed anche i
numeri di Landau sono infiniti, ed anche un po’ maggiori di n2.
Infine i numeri di landau si possono generalizzare, poiché affinché un
numero di forma n2 +1 sia dispari e quindi potenzialmente anche
primo, n deve essere necessariamente pari:
2^2+1 = 5
primo
4^2 +1 = 17 primo
6^2 +1 = 37 primo
8^2 +1 = 65 non primo
10^2+1=101 primo
…
Per i numeri n dispari avremmo invece :
3^2+1 = 10 pari
5^2+1 = 26 pari
7^2+1 = 50 pari
9^2+1 = 82 pari
11^2+1 = 122 pari
…
Per generalizzare i numeri di Landau, estendendoli ai numeri dispari,
dobbiamo considerare invece la forma n2 + 2 con n dispari:
1^2 +
3^2 +
5^2 +
7^2 +
9^2 +
11^2 +
2
2
2
2
2
2
= 3 primo
= 11 primo
= 27 non primo
= 51 non primo
= 83 primo
=123 non primo
5
13^2 + 2 = 171 non primo
15^2 + 2 = 227 primo
…
Ma anche a n2 - 2 poiché
1^2
3^2
5^2
7^2
9^2
11^2
13^2
15^2
17^2
19^2
21^2
…
-
2 = 1
2= 7 primo
2 = 23 primo
2 = 47 primo
2= 79 primo
-2 =119 non primo = 7*17
- 2 = 167 primo
- 2 = 223 primo
- 2 = 287 non primo = 7*41
-2 = 359 primo
-2 = 439 primo
…
La congettura si potrebbe estendere anche ad n pari, ma con - 1
invece di +1, osserveremo che non si ottiene nessun numero primo,
tranne il 3 iniziale:
nuovi presunti numeri di Landau = n2 -1
Esempi
2^2
4^2
6^2
8^2
10^2
12^2
14^2
16^2
18^2
-
1 =
1 =
1 =
1 =
1 =
1 =
1 =
1 =
1 =
3 primo
15 non primo
35 non primo
63 non primo
99 non primo
143 non primo
195 non primo
255 non primo
323 non primo
=
=
=
=
=
=
=
=
6
3*5
5*7
3^2*7
3^2 *11
11*13
3*5*13
3*5*17
17*19
20^2
22^2
24^2
26^2
28^2
30^2
32^2
…
-
1 =
1 =
1 =
1 =
1=
1=
1 =
…
399 non primo =
483 non primo =
575 non primo
=
675 non primo
=
783 = non primo
899 = non primo
1023 = non primo
…
…
3*7*19
3*7*23
5^2 * 23
3^3*5^2
= 3^3 * 29
= 29*31
= 3*11*31
…
L’estensione a n2 -1 non è quindi valida, dando sempre numeri
composti tranne il 3 iniziale , e quindi le estensioni possibili sono solo:
n2 + 2 con n dispari
n2 - 2 con n dispari
La stima di a (L) in questi casi non è molto lontana da n2, come per
la forma originaria n2 +1 dei numeri di Landau.
Per i tutti i composti della forma n2 - 1 possiamo osservare che:
a) se n pari è una potenza pari di 2, queste sono di forma 6k -2
(per esempio 24 = 16 = 6*3 -2 =18 -2 =16 , e sottraendo 1, si hanno
sempre multipli di 3 e quindi non primi (vedi i numeri segnati in blu
nella precedente tabella)
b) se n pari è il doppio di un numero dispari, e anche se primo, e come
tutti i numeri pari è di forma 6k - 2, 6k e 6k +2, con le seguenti tre
possibilità circa la forma n2 -1
7
● 6k – 2 - 1 = 6k - 3 = multipli di 3, e quindi composti;
● 6k - 1, dispari e quindi potenzialmente primo, essendo di forma
6k - 1 (che insieme a 6k +1 costituiscono le forme dei numeri primi,
tranne i soli 2 e 3 iniziali), ma fino a 322 - 1 non dà numeri primi, ma
solo composti con fattori spesso molto piccoli (3, 5, ecc.)
● 6k + 2 - 1 = 6k + 1 , idem come sopra.
Succede però che tanti numeri di forma 6k -1 e 6k +1 sono anche
multipli di 3, e quindi non primi, mentre altri sono prodotti di numeri
primi rispettivamente di forma 6k-1 e 6k +1 per lo stesso valore di k
Per esempio 5*7 per k = 1, 11*13 per k = 2, con 5 e 7, e 11 e 13
coppie di numeri primi gemelli (come pure 17 e 19 per k = 3) , oppure
di numeri misti ma che anch’essi differiscono di 2, per esempio:
3^2*7
3^2 *11
3*5*13
3*5*17
3*7*19
=
=
=
=
=
9*7
9*11
15*13
15*17
21*19
con 9 con 11 con 15 con 17 con 21 -
7 =
9 =
13 =
15 =
19 =
2
2
2
2
2
(in rosso i numeri primi coinvolti nelle coppie di numeri con
differenza 2)
E così via, fino a 3*11*31 =33*31 con 33 - 31 = 2
8
Ma anche con n dispari succede lo stesso, per esempio:
7*7 = 49,
49 -1 = 6*8, 8 - 6 = 2
11*11 = 121, 121 – 1 = 120 = 10*12, 12 – 10 = 2
Solo che in questo caso n – 1 è un numero pari e quindi non primo.
Ecco quindi spiegato parzialmente perché la formula n2 con n pari
non dà mai numeri primi tranne il 3 iniziale: che i numeri pari n siano
o no potenze pari di 2, i loro fattori sono sempre o due numeri primi
gemelli, o due numeri misti, di cui uno è primo e l’altro un prodotto di
due fattori dei quadrati di n pari meno 1 , oppure entrambi misti,
come per esempio 675 = 33*52 = 27*25 , ma in ogni caso con
differenza 2 tra i due numeri (gemelli, misti o entrambi composti)
Conclusioni
Mentre gli infiniti numeri normali di Landau sono di forma canonica
n2 + 1, i nuovi numeri di Landau (estesi) sono ora di forma:
n2 + 2 con n dispari
n2 - 2 con n dispari,
e anch’essi infiniti, mentre la forma n2 -1 con n pari non dà numeri
primi, tranne il 3 iniziale per quanto sopra detto (prodotti di numeri
primi gemelli o di numeri misti o composti che differiscono sempre di
9
2, come nei vari esempi riportati).
Per cui la congettura, o quarto problema di Landau può ritenersi
definitivamente dimostrata, essendo infiniti i numeri di Landau
canonici, ma anche quelli ottenuti con le versioni estese
n2 + 2 con n dispari
n2 - 2 con n dispari,
e soltanto uno, il 3, nella versione n2 -1 con n pari, al contrario
della versione canonica n2 +1 con n pari.
Connessioni tra i vari problemi di Landau:
a) numeri di Landau n2 +1 : se passiamo alla forma n2 - 1, con n
pari, abbiamo prodotti di due numeri dispari con differenza 2, e se
sono entrambi primi abbiamo una coppia di numeri primi gemelli
b) una coppia di gemelli è l’ultima coppia di Goldbach per molti
numeri pari di forma 12k , per esempio per 24 = 2*12, abbiamo
come ultima coppia 11 e 13, con 11+13 = 24; le altre due possibili
coppie di Goldbach per N = 24 sono 5 e 19 , 7 e 17, poiché
5 +19 = 24 e 7+17 = 24, oltre a 11+13 = 24 . Infatti se ordiniamo le
coppie di Goldbach per ordine crescente abbiamo:
10
5 + 19
7 + 17
11 +13
= 24
= 24
= 24
a N/2 = 24/2 = 12 , in questo caso 12 + 1 = 11 e 13, si risale fino ad
N – p = 24 – 5, vedi Rif. 1 e relativi esempi per N = 210
Notiamo che il numero 24 (12 = 24 / 2 ) è connesso ai modi
corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche
attraverso la seguente equazioni modulare di Ramanujan:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx 142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'
e 4 φw' (itw')
.
24 =
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
c) la congettura di Legendre è vera, poiché tra un quadrato n2 e il
successivo (n +1)2 ci sono sempre più numeri primi al crescere di n,
(vedi Rif. 7) , crescendo l’intervallo tra i due quadrati più
velocemente del logaritmo di n2 , e quindi l’intervallo diviso il
logaritmo di n2 (frequenza media dei numeri primi) dà un numero
di numeri primi ivi compresi sempre più grande.
Appendice
I problemi di Landau, oltre ad essere connessi tra di loro, hanno
anche qualche relazione con l’ipotesi di Riemann (RH)/ o con l’ipotesi
11
di Riemann generalizzata (GRH), e con la crittografia RSA, e che qui
accenneremo brevemente:
a) relazioni con la RH e GRH
- numeri primi gemelli (GRH)
----da Wikipedia
- congettura di Goldbach ( grafico simile alla RH1, Rif. 9, lavori
vari sull’ipotesi di Riemann)
Congettura debole di Goldbach (GRH e congettura di Levy, che è
anche ipotesi RH – equivalente (Rif. 10)
Wikipedia, Congettura debole di Goldbach:
“…Nel 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev dimostrarono[1] che l'ipotesi di
Riemann generalizzata implica la congettura di Goldbach debole. Questo risultato combina
un'affermazione generale per numeri maggiori di 1020 con una ricerca estensiva al computer
per casi piccoli. Inoltre, se la Congettura di Levy fosse vera, la congettura debole di Goldbach
sarebbe vera anch'essa…”
Vedi anche Rif. 3, dal quale riportiamo il seguente brano, relativo alla
crittografia:
Terence Tao, matematico dell'Università della California, ha dimostrato che è possibile
scrivere i numeri dispari come somme di, al massimo , cinque primi e sta conducendo le
ricerche su come abbassare a tre il numero di primi necessari sfruttando le dimostrazioni
fatte sui numeri "grandi" e su quelli "piccoli". Tao ha affermato che la dimostrazione della
congettura debole, seppur non aiuti la dimostrazione della sua versione "forte", potrebbe
aprire nuovi studi matematici applicabili nella vita quotidiana, come ad esempio la
crittografia dei dati sensibili.”
- congettura di Legendre
(non vi sono connessioni dirette con l’ipotesi di Riemann e neppure
12
con la crittografia)
b) relazioni tra i problemi di Landau e la fattorizzazione veloce e quindi
anche con la crittografia RSA)
- prodotti numeri primi gemelli (ipotesi percentuale, 0,d 0 99…)
Esempio: N = 101*103 = 10403; n = √10403 = 101,99, parte decimale
0,99… quindi p ≈ n , infatti 101 ≈ 101,99… (Rif. 11)
- coppie di Goldbach. Esempio raro di parte decimale ottimale
29083 = 127 * 229, n =√ 29083 = 170, 53; parte decimale 0,53
Corrispondente al rapporto ottimale 1,88 molto vicino a 1,80 con %
circa 74% (Rif.10)
- Numeri primi di Sophie Germain, estensione dei primi gemelli a
p + 2p+1, come prodotto p*(2p+1) = 2p2 + p e rapporto
(2p +1)/p ≈ 2
(rapporto r =2, % = 70%, parte decimale ottimale 0,50
poiché 1 / 2
= 0,50, ma molto rara , come 0,53 del caso precedente.
Per esempio, per p = 11 e 2p +1 = 23, N = 11*23 = 253, con n = √253
= 15,90, con p ≈ n*0,70 = 11,90*0,70 = 11, 13≈ 11 valore reale;
0,90 non è la parte decimale ottimale, ma per rapporti r ≈ 2 molto
spesso la parte decimale è circa il doppio o la metà di quella ottimale;
13
per cui , essendo alta 0,90 , la metà è 0,45, molto vicina a 0,50. Quindi
1/0,45 = 2,22, con√2,22 =1,4907 al quale corrisponde una percentuale
di 1/4907 = 0,67, molto prossimo a 0,70; per cui avremo p ≈
15,90*0,67 = 10,653 ≈ 11, valore reale.
(Notiamo che 15,90 è un valore molto vicino a 16 = 2 * 8, dove 8 è un
numero di Fibonacci ed è connesso ai modi corrispondenti alle
vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente equazione
modulare di Ramanujan:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx 142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'
e 4 φw' (itw')
1
8=
).
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
Ricordiamo che per i numeri RSA il rapporto q/p varia da 1 a 2,
con qualche eccezione anche 2,10, per il quale la percentuale scende a
0,69 ( e a 0,66,666…≈ 67% se il rapporto dovesse arrivare a 2,25,
per il quale avremo anche p ≈ 2n/3 e q ≈ 3n/2)
Congettura di Legendre (spettroscopio matematico per soli primi)
Riferimenti finali
(nostri lavori vari sui tutti gli altri problemi di Landau (numeri primi
14
gemelli, congettura di Goldbach, congettura di Legendre), tutti sul
nostro sito.
1) “I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva
della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “ESTENSIONI DELLE CONGETTURE, FORTE E DEBOLE, DI
GOLDBACH”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
3)”NOVITA ‘ SULLA CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH
Gruppo “B.Riemann”
Francesco Di Noto,Michele Nardelli
4)”MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI “
Ing. Pier Francesco Roggero
5)”INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E DEI
NUMERI PRIMI GEMELLI “
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardell
6) “ QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE LE FORME
6K + 1 E LORO INFINITA’ “
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
7) “ La congettura di Legendre”
ing. Rosario Turco, prof. Maria Colonnese, Dr . Michele Nardelli, prof.
Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, prof. Annarita Tulumello
15
8)” IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE SUI
NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI
NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann...”
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto,
9)Lavori vari sull’ipotesi di Riemann, tra i quali anche il Rif. 9
10)“Congettura di Levy come ipotesi RH equivalente e relativo grafico
comet”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
10) Ipotesi percentuale
11) Articoli vari sulla Fattorizzazine e i numeri RSA
16
