Probabilit`a - laurea triennale Matematica

Docente: Prof. Anna De Masi
A.A. 2013-14
Ricevimento studenti: Mercoledi 11-13
Corsi:
Probabilità - laurea triennale Matematica 9CFU
Processi Stocastici - laurea magistrale in Matematica 6CFU con mutazione di 6 cfu del
corso di Calcolo della Probabilita’ per la finanza
Probabilità : CFU 9.
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Programma. - Spazio campione e σ-algebra degli eventi. Probabilità: definizione e
proprietà. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Indipendenza e relazione tra
indipendenza e spazi prodotto.
- Variabili aleatorie: definizione ed esempi. Funzione di distribuzione e sue proprietà.
Variabili aleatorie continue e discrete. Distribuzione notevoli.
- Vettori casuali. Distribuzioni congiunte e distribuzioni marginali.
- Media e sue proprietà. Varianza, covarianza e momenti di variabili aleatorie.
- Variabili aleatorie indipendenti. Variabili aleatorie non correlate. - Funzioni di
variabili aleatorie ed in particolare somma di variabili aleatorie.
- Distribuzioni condizionate e medie condizionate per variabili aleatorie discrete e
continue.
- Disuguaglianze: Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebyshev.
-Convergenza di variabili aleatorie: convergenza in legge, in media quadratica ed in
probabilità. Relazioni tra questi tre tipi di convergenza. Lemmi di Borel- Cantelli.
Legge debole e legge forte dei grandi numeri per v.a. con momento secondo finito.
- Funzioni generatrici e funzioni caratteristiche: definizione esempi e proprietà. Teorema di continuità (solo enunciato). Teorema del limite centrale.
- Catene di Markov omogenee. Probabilità di transizione ad 1 e n passi: definizione e proprietà. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Distribuzioni congiunte finitodimensionali. Esempi: passeggiata aleatoria con o senza barriere. Processi di nascita e
morte, catena di Ehrenfest, catene di nascita. Tempi di arresto: primo tempo di arrivo
ad uno stato. Stati transienti e ricorrenti. Numero di visite ad uno stato. Proprietà
e caratterizzazioni degli stati transienti e ricorrenti. Decomposizione dello spazio degli stati. Probabilità di assorbimento. Distribuzioni stazionarie, proprietà ed esempi.
Distribuzioni stazionarie per le catene di nascita e morte. Processi reversibili.
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Libro di testo: G. Grimmett D. Stirzaker Probability and Random Processes Oxford
2001
Altri libri: P. Baldi Calcolo delle Probabilità McGraw-Hill 2007, P.G.Hoel, S.C. Port,
C.J. Stone Introduction to Stochastic Processes Waveland Press. Inc. 1972
Modalità d’esame: Prova scritta e prova orale
Risultati di apprendimento previsti.
Si prevede che con questo corso lo studente
acquisisca la conoscenza delle nozioni basilari della teoria della probabilità e sappia
applicarle nello studio di problemi concreti. Lo studente impara anche il più semplice
dei processi stocastici, le catene di Markov e alcune applicazioni a fenomeni di interesse
in vari campi come fisica e biologia.
Processi Stocastici : CFU 6.
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Programma. Processi Stocastici con spazio degli stati discreto. Processo di Poisson:
tempi di interarrivo e loro distribuzione. Propriet della distribuzione esponenziale. Processi di Markov in tempo continuo con spazio degli stati discreto. Processi di Markov
omogenei e probabilit di transizione. Processi di salto: costruzione e propriet. Generatore infinitesimale. Processi di nascita e morte. Distribuzioni stazionarie. Bilancio
dettagliato. Applicazioni ad esempi in teoria delle code.
Processi Gaussiani. Vettori aleatori Gaussiani. Matrice della covarianza. Dimostrazione del fatto che i vettori gaussiani sono univocamente determinati dalla funzione media
e dalla covarianza.
Moto Browniano. Definizione tramite incrementi indipendenti. Equivalenza con la
definizione come processo Gaussiano con traiettorie continue. Densit congiunta. Propriet di invarianza del M.B. Propriet delle traiettorie: variazione prima e variazione
quadratica. Legge del logaritmo iterato(solo enunciato). Non differenziabilit del moto
browniano.
Tempi di arresto, Martingale e Processi di Markov. Filtrazioni e filtrazioni naturali.
Tempi di arresto. Approssimazioni discrete dei tempi di arresto. Tempi di arresto del
Moto Browniano. Principio di riflessione. Martingale associate al moto browniano.
Teorema di arresto per martingale continue (solo enunciato). Applicazione al calcolo
di distribuzioni di tempi di arresto.
Integrale stocastico di una funzione deterministica (integrale di Paley, Wiener, Zygmund). Processi non anticipanti e processi progressivamente misurabili. Integrale di
Ito per funzioni semplici ed estensione a processi in L2 . Proprietà dell’integrale stocastico. Integrale di Ito come processo e come martingala continua. Formula di Ito per
polinomi. Regola del prodotto per differenziali stocastici. Formula di Ito per il moto
Browniano. Formula di Ito in generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Moto Browniano geometrico. Ponte Browniano.
Equazione di Langevin e processo di Ornstein -Uhlenbeck. Metodi per determinare
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soluzioni esplicite in casi semplici. Teorema di esistenza ed unicità nei casi semplici.
Teorema di esistenza ed unicità in generale (solo enunciato).
Caso multidimensionale. Moto Browniano ed integrale stocastico in più dimensioni
(definizioni). Moto Browniano e laplaciano. Funzioni armoniche e moto browniano.
Transienza e ricorrenza del moto Browniano.
Modalità d’esame: Prova orale.
Risultati di apprendimento previsti. Si prevede che con questo corso lo studente acquisisca una conoscenza abbastanza profonda del moto browniano che è il processo stocastico più usato nella modellizzazione di fenomeni aleatori. Lo studente apprende inoltre
i concetti basilari della teoria del calcolo stocastico e metodi per la determinazione
esplicita delle soluzioni di alcune equazioni stocastiche.
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Anna De Masi. Curriculum
Titolo di studio: Laurea in Matematica, Universita’ di L’Aquila conseguito nel 1977.
- Posizione accademica attuale: Professore Ordinario in Probabilita’ e Statistica (MAT/06)
presso l’Universita’ di L’Aquila
- Posizioni accademiche precedenti: Ricercatore Confermato presso L’Universita’ di
L’Aquila 1981-1987, Professore Associato in Fisica Matematica presso L’Universita’ di
L’Aquila: 1987-2000, Professore Ordinario in Fisica Matematica presso L’Universita”
di L’Aquila dal 2000.
-Compiti organizzativi: Vice-Presidente del Consiglio di Area Didattica in Matematica:
Maggio 2000-Ottobre 2001 Presidente del Consiglio di Area Didattica in Matematica:
2001 2003.Coordinatore del Dottorato in Matematica presso L’Universita’ di L’Aquila
dal Gennaio 2003.
- Attivita’ di coordinamento della ricerca:
Coordinatore dell’unita’ locale in L’Aquila dei Progetti di Ricerca biennali cofinanziati:
PRIN del 1994, del 1998, del 2000, del 2002, 2004, del 2007 e del 2009.
- Attivita’ editoriale e commissioni scientifiche:
Membro del comitato di redazione della rivista ””Mathematics and Mechanics of Complex Systems”. Membro del comitato scientifico del GREFI-MEFI (Gruppo di Ricerca
Europeo Franco-Italiano: Fisica e matematica). Membro del comitato di redazione del
Journal Stat. Phys. nel triennio 1991-1993. Mi e’ stata richiesta una valutazione su
vari progetti NSF.
Membro del comitato scientifico organizzatore del 33rd Conference on Stochastic Processes and their Applications of the Bernoulli society (2009)
Membro del comitato scientifico organizzatore della XVII-th Brazilian school of Probability (2013).
Organizzatore di una Invited session della 37rd Conference on Stochastic Processes and
their Applications of the Bernoulli society (2014)
Referee per varie riviste: ‘Annals of Probability’, ‘Nonlinearity’, ’Probability Theory
and related fields’, ‘Stochastic Processes and their Applications’, ’Comm. Pure Appl
Math’, Commun. Math. Phys.
Membro della commissione di valutazione del progetto bilaterale Germania/ Olanda
dal titolo ”Mathematics of Random Spatial Models for physics and Biology”. (2002)
Premio 1996 dall’ Institut Henri Poincare’/Gauthier - Villars ad un lavoro pubblicato
nella sezione ”Probabilites et Statistiques” in collaborazione con S. Brassesco and E.
Presutti
- Principali conferenze su invito: Minicorso da me tenuto dal titolo Stochastic particle
systems, hydrodynamic limits and free boundary problems nel convegno Rencontres de
Probabilits, Rouen 2013; invited speaker alla confereza CIRM Dynamical and disordered systems, invited speaker alla XVI-th Brazilian school of Probability (Recife) August
2012, Conference ”Discrete Random Structures, Representation Theory and Interacting Particle Systems (ZiF, Bielefeld, 16-19 July 2012). XVI-th International Congress
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of Mathematical Physics,(Prague) August 2009. Conference on Phase Transitions Max
Planck Institute (Leipzig), October 2008. Conference ”Mathematical Physics, Statistical Mechanics and Foundations of Quantum Mechanics” Rutgers University (Usa),
October 2007, Centre de Rencontres Matematiques Marseille (France) meeting on ”Statistical Mechanics and Probability Theory” March 2003, Workshop ”Particle systems,
random media and large deviations” Institute fur Angewandte und Stochastik, Berlino
(Germany); XI-th International Congress of Mathematical Physics, Unesco-Sorbonne,
(Paris) July 1994.
Interessi di ricerca: Meccanica Statistica, Processi Stocastici, Limiti idrodinamici.
ELENCO PUBBLICAZIONI (2007-2013)
(l’elenco completo si trova in: http://univaq.it/ demasi/lavori.html)
- A. De Masi , P.A. Ferrari, E. Presutti (2013) Symmetric simple exclusion process
with free boundaries http://arxiv.org/abs/1304.0701 submitted
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2013) Extinction time for
a random walk in a random environment http://arxiv.org/abs/1304.0622 submitted
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2013) Spectral gap in
stationary non-equilibrium processes http://arxiv.org/abs/1304.0624 submitted
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2012) Non equilibrium
stationary states in the symmetric simple exclusion with births and deaths Journal
Statistical Physics, 146 , 519-528 http://arxiv.org/abs/1203.1795
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2012) Truncated correlations in the stirring process with births and deaths Electronic Journal of Probability,
vol. 17, p. 1-35, ISSN: 1083-6489, doi: 10.1214/EJP.v17-1734 http://arxiv.org/abs/1104.3447
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2011) Current reservoirs in the simple exclusion process Journal Statistical Physics, 144, no 6, 1151-1170
(http://arxiv.org/abs/1104.3445)
- A. De Masi , E. Presutti, D. Tsagkarogiannis (2011) Fourier law, phase transitions and
the stationary Stefan problem Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume
201 No. 2, 681-725
- A. De Masi, I. Merola, E. Presutti, Y. Vignaud (2009) Coexistence of ordered and
disordered phases in Potts models in the continuum J. Stat. Phys. 134, no.2, 243 (
http://arxiv.org/abs/0807.5080v1)
- A. De Masi, I. Merola, E. Presutti, Y. Vignaud (2008) Potts models in the continuum.
Uniqueness and exponential decay in the restricted ensembles J. Stat. Phys., 133,
281–345
- G. Bellettini, A. De Masi, N. Dirr, E. Presutti (2007) Stability of invariant manifolds
in one and two dimensions Nonlinearity, 20
- Bellettini, A. De Masi, N. Dirr, E. Presutti (2007) Tunnelling in two dimensions
Commun. Math. Phys. Vol. 269, 715–763
- A. De Masi, S.Luckhaus, E. Presutti (2007) Two scales hydrodynamic limit for a
model of malignant tumor cells H. Poincare, Probabilite et Statistiques, 43, 257-297
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