Area del Trapezoide f x

Area del Trapezoide
y
f(x)
B
A
f(a)
o
a
trapezoide
h
Data una funzione f  x definita
in un intervallo [a,b] nel quale
e' continua si consideri l'arco
AB del suo grafico i cui estremi
A e B hanno per ascisse a e b
e quindi per ordinate f(a) e f(b).
f(b)
b
x
y
L'area del trapezoide S puo'
essere approssimata dall'area del
trapezio aABb.
A
Per avere una migliore
f(a)
approssimazione possiamo
suddividere il trapezio in trapezi piu' o
a
piccoli.
f(x)
B
f(b)
h
b
x
1
Area del trapezoide: somma integrale
y
f(x)
B
f  x k / 2
A
f(b)
f(a)
o
a
h
b
 xk
x
Si divida l'intervallo [a,b] in n sottointervalli,  x k in modo tale che
∑nk =1  x k =h=b−a e per ogni  x k prendiamo il punto medio
 x k / 2= x k e consideriamo il valore della funzione f  x k  .
Disegnamo il rettangolo di base  x k e altezza f  x k  .
Consideriamo la somma integrale:
f  x 1  x 1  f  x 2  x 2 f  x 3  x 3 ..... f  x n  x n =∑nk=1 f  x k  x k
2
Area del trapezoide: somma integrale
y
f(x)
B
A
f(b)
f(a)
o
a
h
b
x
La somma integrale ∑nk =1 f  x k  x k e' una approssimazione dell'area
del trapezoide. Quanto piu' piccoli prendiamo  x k , cioe' quanto piu'
grande e' n tanto meglio la somma integrale approssima l'area del
trapezoide. L'area del trapezoide rappresenta l'area sottesa dalla
funzione f  x .
3
Integrale Definito
Si definisce area del trapezoide S il limite della somma integrale
riferita all'intervallo [a.b]
n
lim ∑ f  x k  x k =S
n  ∞ k =1
Il limite S di somme integrali in [a,b] puo' essere definito anche
indipendentemente dal suo significato geometrico e prescindendo
anche da ogni rappresentazione cartesiana della funzione
inteso nel senso piu' ampio, il limite di qualunque somma integrale
tratta da divisioni infinitesimali dell'intervallo [a,b], si suole indicare
b
col simbolo:
∫ f  x dx
a
chiamato integrale definito della funzione f  x tra a e b
Si definisce integrale definito di una funzione f  x in un itervallo [a,b],
il limite, se esiste, di una somma integrale tratta da qualunque divisione
infinitesimale dell'intervallo stesso.
4
Definizione di Funzione Primitiva
Data una funzione f  x  si definisce primitiva generale una delle
infinite funzioni che differiscono per una costante C arbritaria e che
d
hanno tutte per derivata f  x  :
F  x= f  x 
dx
d
Infatti  F  xC = f  x . f  x prende il nome di funzione integranda.
dx
Teorema fondamentale Integrale Definito
Il calcolo dell'integrale definito, anche nei casi piu' semplici, mediante
il passaggio al limite per n  ∞ della somma integrale e' molto laborioso.
Tale calcolo diventa molto piu' semplice se si conosce una primitiva F  x
della funzione integranda f  x  grazie al teorema di Torricelli:
“L'integrale definito in un intervallo [a,b] di una funzione continua f  x 
in tale intervallo e' uguale alla differenza tra i valori che una primitiva
della funzione f  x  assume rispettivamente nell'estremo superiore b e
nell'estremo inferiore a” : b
∫ f  x dx= F b− F a
a
5
Proprieta' dell'Integrale Definito
1) Se a>b si ha
b
a
∫ f  x dx=−∫ f  x dx
a
b
2) Se a,b,c sono 3 punti qualunque di un intervallo nel quale la funzione
f  x e' continua si ha
b
c
b
∫ f  x dx=∫ f  x dx∫ f  x dx
a
a
c
3) una costante k, che sia fattore di f  x  puo' essere messa in
evidenza fuori del segno di integrale:
b
b
∫ kf  x dx=k ∫ f  x dx
a
a
4) Se la funzione integranda e' la somma algebrica di due o piu'
funzioni, l'integrale e' uguale alla somma algebrica dei singoli
b
b
integrali definiti: b
∫ [ f  x  g  x ] dx=∫ f  x dx∫ g  x dx
a
a
a
6
Integrale indefinito
La funzione F  x  e' una delle infinite primitive F  x C della funzione
f  x  che differiscono l'una dall'altra per una costante.
F  x C costituiscono una primitiva piu' generale della f  x  e viene
chiamata integrale indefinito
∫ f  x dx= F  xC
Per l'integrale indefinito valgono le proprieta' 2), 3) e 4) dell'integrale
definito.
7
Calcolo di alcuni Integrali Indefiniti
1) Polinomio
n
x
∫ dx=
Esempi:
e) ∫  x dx=
x
b) ∫ x dx=
1
1
2
1
1
2
1−
f) ∫
1
3
1 2
x C
2
1
1 −1
−1
−2
dx=
x
dx=
x
C
=
C
∫
2
−1
x
x
a) ∫ dx= xC
d) ∫
1
x n1 C
n1
1
2
C =
c) ∫ x 2 dx= x 3C
2 3
x C

3
1
x
dx=
C =2  xC
1
x
1−
2
g)
1
∫ x dx=ln  x C
8
Calcolo di alcuni Integrali Indefiniti
2)
x
x
e
dx=e
C
∫
3)
∫ sin  x dx=−cos  x C
4)
1
2
dx=
1tan
 x dx=tan  xC
∫ cos2  x  ∫
∫ cos  x dx=sin  xC
Verifica:
Ogni volta che calcolate un integrale verificate il risultato: la derivata
della funzione ottenuta deve dare la funzione integranda.
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Metodi di integrazione: Integrazione per Parti
Il metodo di integrazione per parti si fonda sulla regola del calcolo
della derivata del prodotto di due funzioni. Tale metodo si applica
nei casi in cui l'espressione che figura sotto il segno <<∫ >> ha la forma
f  x⋅g '  x dx ossia la forma di prodotto di un fattore f  xche viene
chiamato fattore finito, per un fattore g '  x dx chiamato fattore
differenziale tale da ammettere integrale immediato. In questo caso
si applica il procedimento indicato dall'equazione:
∫ f  x⋅g '  x dx= f  x  g  x −∫ g  x ⋅ f '  x dx
Che si puo' esprimere dicendo: l'integrale del prodotto di un fattore
finito per un fattore differenziale e' uguale al prodotto del fattore
finito per l'integrale del fattore differenziale, diminuito dell'integrale
di questo integrale moltiplicato per il differenziale del fattore finito.
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Esempio di Integrale per Parti
∫ sin 2  x dx
Per parti si puo' scrivere: sin  x dx=sin  x⋅sin  x dx
2
Fattore finito: f  x=sin  x 
Fattore differenziale: g '  x =sin  x dx=d −cos x
quindi
2
sin
∫  x dx=∫ sin  x⋅sin  x dx=sin  x−cos x −∫ −cos  x⋅cos x dx=
=−sin  xcos  x∫ cos 2  x dx=−sin  xcos  x∫ 1−sin 2  x dx=
=−sin  xcos  x∫ dx−∫ sin 2  x dx=−sin  x cos x x−∫ sin 2  x dx
∫ sin 2  x dx=−sin  x cos x  x−∫ sin 2  x dx
2 ∫ sin 2  x dx=−sin  x cos x x
da cui
1
∫ sin  x dx= 2  x−sin  x cos x
2
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Metodi di integrazione: Integrazione per Sostituzione
Il metodo di integrazione per sostituzione utilizza la sostituzione
di x e dx in un integrale con la funzione z= x dz='  x dx
Esempio
∫
x
1
2x
dx=
dx
∫
2
2
2 x 1
x 1
∫
x
1
2x
1 1
1
dx= ∫ 2
dx= ∫ dz= ln  z C
2
2 x 1
2 z
2
x 1
Poniamo z= x 2 1
dz=2xdx
2
Risostituiamo z= x 1
∫
x
1
2
dx=
ln

x
1C
2
2
x 1
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Esercizi
Integrali indefiniti
Integrali definiti
2
∫ 3x5 2x 3− x dx
2
∫ 2x3x dx
0
3
2
8x
−9x
10x−1 dx
∫
1
∫ 2x− x 2  dx
∫  x2 dx
3
∫ x  x 4
2
3
dx
3
2
4x−
x
 dx
∫
1
/ 4
∫ sin  x dx
 /6
2
∫
1
4
 dx
4
x
1
∫   x22  dx
∫ e x x dx
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