fasori e correnti alternate

Le correnti alternate e i numeri complessi.*=abs{
Premessa (breve ripasso sui complessi e le operazioni con essi
Un numero complesso si rappresenta come z=a+ib con a, b∈ℝ e i2 =−1 .
o in forma esponenziale z= (|z|e )
iθ
b
con |z|=√ a2+b2 e tan θ= .
a
z
b
|z|
θ
a
Ne consegue che
π
i=0+1i=1 e =e
π
2
Moltiplichiamo ora il numero z per l’unità immaginaria i :
π
i z=e 2|z|ei θ =|z|e
i( θ+ π )
2
Questo evidentemente corrisponde alla rotazione del numero z di +90° intorno
all’origine. Quindi la moltiplicazione per l’unità immaginaria
corrisponde ad una rotazione di +90° , mentre, come facilmente si può
dimostrare la moltiplicazione per -i corrisponde ad una rotazione di
-90°.
Sia z=a+ib : si definisce complesso coniugato di z il numero
avente la stessa parte reale e parte immaginaria opposta

z =a−ib ,
2
zz  =( a+ib )( a−ib )=a 2+b2=|z|
Dati due numeri complessi
z1 e
z2 , per eseguire la loro divisione
procede moltiplicando numeratore e denominatore per

z1
z2

z2 cioè:
z 1 z1 z 2
=
✴
z 2 z2 z 2
Si può facilmente dimostrare che (utilizzando la forma esponenziale ) che
|z1 z 2|=|z 1||z 2| e
| | || ||
z1
z1
=
z2
z2
si
.
Argomento:
In un circuito costituito da un generatore di tensione alternata di pulsazione
angolare ω g che fornisce ai suoi poli una tensione ε=εM sin(ω g t ) , collegato
ad un condensatore di capacità C , la legge delle maglie dà ε= q
C
da cui si
ricava i= dq =C ω g εM cos(ω g t )=C ω g ε M sin(ω g t + π )=i M sin(ω g t + π ) .
dt
2
La corrente è quindi sfasata rispetto alla tensione di
2
π .
2
Usando i fasori , (vettori di intensità pari
all’ampiezza della grandezza ruotanti con velocità
angolare ω g ; il valore istantaneo della tensione e
della corrente è la componente y del fasore)
possiamo rappresentare la situazione come in
figura: i M (rosso) precede il fasore εM di π .
ωg t
2
(i vettori ruotano in verso antiorario se ω g >0 .
Ne segue che non è possibile scrivere una semplice relazione numerica (tipo
legge di Ohm per i resistori) tra corrente e tensione: infatti la moltiplicazione
della corrente i (ovvero del fasore i M ) per un numero reale genera un vettore
parallelo a i M .
Consideriamo ora una corrente i=i M sin(ω g t ) in fase con la tensione e il cui
fasore quindi è parallelo a quello della tensione (il vettore tratteggiato)
Moltiplichiamo per l’unità immaginaria j (scriviamo j al posto di i , per non
confonderla con la corrente) . Otterremo un fasore dello stesso modulo ruotato
di +90°, in accordo con la situazione descritta prima.
Di conseguenza , moltiplicando per l’unità immaginaria posso scrivere
i= j i M sin (ω g t )= j C ω g εM sin(ω g t ) .
Posto
XC=
1
ωg C
(reattanza capacitiva) si avrà
1
ε ,
XC
una relazione del tutto analoga alla i= 1 ε della legge di Ohm per i resistori.
R
i= j
Dalla formula precedente, usando le formule scritte nella premessa si ricava
ε=
XC
i=− j X C i
j
In modo analogo si può dimostrare che per un’induttanza
X L=ω g L (reattanza induttiva) e che
ε= j X L i
i=− j
1
ε
XL
dove
In un circuito in cui un generatore di fem alternata ε è collegato in serie a
una resistenza R , una capacità C e un’induttanza L (circuito RLC in serie). La
corrente i in ogni punto del circuito deve essere la stessa. Per la legge delle
maglie, ricavando la corrente dalle formule precedenti e sostituendo ( e
chiamando V R ,V C e V L le tensioni ai capi dei singoli componenti del
circuito
ε=V R+V C +V L= i R− j X C i+ JX L i= i [ R + j( X L −X C )]
Posto
si ottiene
Z =R + j( X L −X C )
ε=Zi
che costituisce l’analogo della legge di OHM per le correnti alternate.
Il termine complesso Z si chiama IMPEDENZA .
Sempre dalle formule in premessa poiché |ε|=ε M e |i|=i M segue
che
εM=|Z|i M
Notiamo che Z , a parità di valori di R, L e C varia con ω g
2
|Z| =R 2+( X L −X C )2 .
Poiché R è costante il valore minimo di
corrente si ottiene quando X L− X C =0
quando ω g= 1
√ LC
|Z| e quindi il massimo valore di
cioè X L= X C ovvero a ω g L= 1 , cioè
C ωg
: esattamente lo stesso valore ottenuto per la frequenza
propria ω 0 del circuito LC (o RLC e R è piccola).
Quando ω g=ω 0 il generatore è in risonanza con circuito e trasferisce la
massima energia allo stesso
problema risolto
Consideriamo un circuito con R L e C in serie a un generatore di tensione
alternata di valore massimo 220 V e frequenza 400 Hz. Sia R =220Ω ,
C=24 μ F e L=150mH .
Chiediamo quanto vale l’impedenza, la corrente massima e lo sfasamento tra
corrente e tensione del generatore .
ω g=2 π ν=2π 400=800π
rad
s
la tensione del generatore è allora data da
ε=220 sin(800 π t ) V
XC=
1
=16,6 Ω
−6
800 π 24×10
−3
X L=800 π 150×10 =376,9 Ω
Z=220 +j(360,4) e |Z|=422,24 Ω
infine il valore massimo della corrente (il modulo del fasore i è è
i M=
εM
220
=
=0,52 A
|Z| 422,24
.
per calcolare l’angolo tra fem del generatore e corrente i possiamo usare
l’impedenza
tan α=
X L −X C 360,3
=
=1,63
R
220
da cui
α=58 ° ,6
graficamente
ε
VL
α
i
VC
VR