Le correnti alternate e i numeri complessi.*=abs{ Premessa (breve ripasso sui complessi e le operazioni con essi Un numero complesso si rappresenta come z=a+ib con a, b∈ℝ e i2 =−1 . o in forma esponenziale z= (|z|e ) iθ b con |z|=√ a2+b2 e tan θ= . a z b |z| θ a Ne consegue che π i=0+1i=1 e =e π 2 Moltiplichiamo ora il numero z per l’unità immaginaria i : π i z=e 2|z|ei θ =|z|e i( θ+ π ) 2 Questo evidentemente corrisponde alla rotazione del numero z di +90° intorno all’origine. Quindi la moltiplicazione per l’unità immaginaria corrisponde ad una rotazione di +90° , mentre, come facilmente si può dimostrare la moltiplicazione per -i corrisponde ad una rotazione di -90°. Sia z=a+ib : si definisce complesso coniugato di z il numero avente la stessa parte reale e parte immaginaria opposta z =a−ib , 2 zz =( a+ib )( a−ib )=a 2+b2=|z| Dati due numeri complessi z1 e z2 , per eseguire la loro divisione procede moltiplicando numeratore e denominatore per z1 z2 z2 cioè: z 1 z1 z 2 = ✴ z 2 z2 z 2 Si può facilmente dimostrare che (utilizzando la forma esponenziale ) che |z1 z 2|=|z 1||z 2| e | | || || z1 z1 = z2 z2 si . Argomento: In un circuito costituito da un generatore di tensione alternata di pulsazione angolare ω g che fornisce ai suoi poli una tensione ε=εM sin(ω g t ) , collegato ad un condensatore di capacità C , la legge delle maglie dà ε= q C da cui si ricava i= dq =C ω g εM cos(ω g t )=C ω g ε M sin(ω g t + π )=i M sin(ω g t + π ) . dt 2 La corrente è quindi sfasata rispetto alla tensione di 2 π . 2 Usando i fasori , (vettori di intensità pari all’ampiezza della grandezza ruotanti con velocità angolare ω g ; il valore istantaneo della tensione e della corrente è la componente y del fasore) possiamo rappresentare la situazione come in figura: i M (rosso) precede il fasore εM di π . ωg t 2 (i vettori ruotano in verso antiorario se ω g >0 . Ne segue che non è possibile scrivere una semplice relazione numerica (tipo legge di Ohm per i resistori) tra corrente e tensione: infatti la moltiplicazione della corrente i (ovvero del fasore i M ) per un numero reale genera un vettore parallelo a i M . Consideriamo ora una corrente i=i M sin(ω g t ) in fase con la tensione e il cui fasore quindi è parallelo a quello della tensione (il vettore tratteggiato) Moltiplichiamo per l’unità immaginaria j (scriviamo j al posto di i , per non confonderla con la corrente) . Otterremo un fasore dello stesso modulo ruotato di +90°, in accordo con la situazione descritta prima. Di conseguenza , moltiplicando per l’unità immaginaria posso scrivere i= j i M sin (ω g t )= j C ω g εM sin(ω g t ) . Posto XC= 1 ωg C (reattanza capacitiva) si avrà 1 ε , XC una relazione del tutto analoga alla i= 1 ε della legge di Ohm per i resistori. R i= j Dalla formula precedente, usando le formule scritte nella premessa si ricava ε= XC i=− j X C i j In modo analogo si può dimostrare che per un’induttanza X L=ω g L (reattanza induttiva) e che ε= j X L i i=− j 1 ε XL dove In un circuito in cui un generatore di fem alternata ε è collegato in serie a una resistenza R , una capacità C e un’induttanza L (circuito RLC in serie). La corrente i in ogni punto del circuito deve essere la stessa. Per la legge delle maglie, ricavando la corrente dalle formule precedenti e sostituendo ( e chiamando V R ,V C e V L le tensioni ai capi dei singoli componenti del circuito ε=V R+V C +V L= i R− j X C i+ JX L i= i [ R + j( X L −X C )] Posto si ottiene Z =R + j( X L −X C ) ε=Zi che costituisce l’analogo della legge di OHM per le correnti alternate. Il termine complesso Z si chiama IMPEDENZA . Sempre dalle formule in premessa poiché |ε|=ε M e |i|=i M segue che εM=|Z|i M Notiamo che Z , a parità di valori di R, L e C varia con ω g 2 |Z| =R 2+( X L −X C )2 . Poiché R è costante il valore minimo di corrente si ottiene quando X L− X C =0 quando ω g= 1 √ LC |Z| e quindi il massimo valore di cioè X L= X C ovvero a ω g L= 1 , cioè C ωg : esattamente lo stesso valore ottenuto per la frequenza propria ω 0 del circuito LC (o RLC e R è piccola). Quando ω g=ω 0 il generatore è in risonanza con circuito e trasferisce la massima energia allo stesso problema risolto Consideriamo un circuito con R L e C in serie a un generatore di tensione alternata di valore massimo 220 V e frequenza 400 Hz. Sia R =220Ω , C=24 μ F e L=150mH . Chiediamo quanto vale l’impedenza, la corrente massima e lo sfasamento tra corrente e tensione del generatore . ω g=2 π ν=2π 400=800π rad s la tensione del generatore è allora data da ε=220 sin(800 π t ) V XC= 1 =16,6 Ω −6 800 π 24×10 −3 X L=800 π 150×10 =376,9 Ω Z=220 +j(360,4) e |Z|=422,24 Ω infine il valore massimo della corrente (il modulo del fasore i è è i M= εM 220 = =0,52 A |Z| 422,24 . per calcolare l’angolo tra fem del generatore e corrente i possiamo usare l’impedenza tan α= X L −X C 360,3 = =1,63 R 220 da cui α=58 ° ,6 graficamente ε VL α i VC VR