Programma del corso di: Algebra Lineare ed Elementi di Geometria
a.a. 2001/02
Docente: Giovanni Landi
Strutture algebriche
Relazioni binarie. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza. Operazioni binarie. Gruppi. Anelli.
Campi. Anelli di polinomi in una variabile. Omomorfismi di strutture algebriche. Isomorfismo.
Classi di resto modulo n.
Vettori geometrici e sistemi di riferimento
Vettori applicati nel piano e nello spazio. Somma di vettori. Vettori liberi nel piano e nello spazio.
Sistemi di riferimento. Origine, unita' di misura, orientamento. Sistemi di riferimento cartesiani nel
piano e nello spazio. Lunghezza di un vettore. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale.
Spazi vettoriali
Spazi vettoriali reali e complessi. n-uple, componenti. Sottospazi vettoriali. Retta vettoriale.
Sottospazio somma. Combinazioni lineari. Spazio generato. Sistema di generatori. Indipendenza
lineare. Basi. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Completamento ad una base. Base
canonica. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema di Grassmann sulla dimensione della somma
di spazi vettoriali. Somma diretta di spazi vettoriali.
Matrici
Matrici a componenti in un campo. Matrici quadrate. Matrici base. Prodotto di matrici riga per colonna.
Matrice identica. Matrice trasposta. Matrice invertibile. Matrice inversa. Gruppo lineare delle matrici
invertibili. Rango di una matrice. Matrice diagonale. Matrice triangolare superiore (inferiore). Matrice
triangolare superiore (inferiore) completa. Matrice ridotta per righe (per colonne). Elemento speciale.
Riduzione di matrici. Trasformazioni elementari sulle righe (sulle colonne). Riduzione per righe (per
colonne).
Sistemi lineari
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Soluzioni, compatibilita', incompatibilita'. Matrice del
sistema, matrice dei coefficienti. Sistema lineare ridotto. Risoluzione dei sistemi lineari ridotti. Metodo
delle eliminazioni successive. Risoluzione dei sistemi lineari generali. Metodo pratico per la
risoluzione dei sistemi lineari. Teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi lineari omogenei.
Applicazioni lineari
Definizione di applicazione lineare. Applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata ad
un'applicazione lineare. Sottospazi associati ad un'applicazione lineare: nucleo, immagine. Metodo
pratico per il calcolo del nucleo. Metodo pratico per il calcolo dell' immagine. Criterio di iniettivita',
criterio di suriettivita', criterio di isomorfismo. Matrice ed applicazione di rango massimo.
Composizione di applicazioni lineari. Applicazione invertibile, applicazione inversa. Matrici invertibili
ed isomorfismi. Calcolo della matrice inversa. Determinante di una matrice. Metodo pratico per il
calcolo del determinante. Minore complementare. Complemento algebrico. Teorema di Laplace per il
calcolo del determinante. Teorema di Binet.
Cambio di base in uno spazio vettoriale. Matrice del cambio di base. Trasformazione per cambio di
base della matrice associata ad un' applicazione lineare.
Diagonalizzazione di matrici
Endomorfismi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Endomorfismi semplici. Autovalori,
autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico di una matrice (di un endomorfismo).
Diagonalizzazione di una matrice. Metodo pratico per la diagonalizzazione di una matrice.
Spazi euclidei
Prodotto scalare in uno spazio vettoriale. Prodotto scalare canonico in Rn, spazio euclideo En.
Lunghezza di un vettore. Ortogonalita'. Base ortonormale. Proiezione ortogonale. Metodo di GramSchmidt per l'ortonormalizzazione. Matrici ortogonali, ortogonali speciali. Matrici ortogonali e
rotazioni. Matrici simmetriche ed endomorfismi autoaggiunti. Diagonalizzazioni di matrici
simmetriche.
Geometria lineare affine (euclidea)
Retta affine reale. Piano affine reale. Spazio affine reale. Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali.
Traslazioni. Rette nel piano e nello spazio. Giacitura di una retta. Equazione vettoriale e parametrica di
una retta. Piani nello spazio. Giacitura di un piano. Equazione vettoriale e parametrica di un piano.
Parallelismo tra rette, tra piani, tra rette e piani. Rette incidenti, rette e piani incidenti. Rette sghembe.
Intersezione tra rette nel piano e nello spazio. Intersezione tra piani nello spazio. Intersezione tra rette e
piani nello spazio. Equazioni normali della retta e del piano. Rette ortogonali. Piani ortogonali.
Ortogonalita' tra una retta ed un piano.
Coniche
Coniche come luogo geometrici. Parabola, iperbole, ellisse (circonferenza). Equazione di una conica.
Forma matriciale di una conica. Matrice dei coefficienti, matrice della forma quadratica. Coniche
degeneri. Forma canonica di una conica. Riduzione a forma canonica di una conica. Metodo del
completamento dei quadrati; traslazioni. Diagonalizzazione della forma quadratica; rotazioni.
