Appunti del Corso ed Esercizi proposti

XIII Ciclo Dottorato in Economia A.A. 2009-2010
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
1. Spazi Metrici
Sia X un insieme qualunque di oggetti. Diciamo che X è uno spazio
metrico se esiste una funzione non negativa, d : X × X → R+ soddisfacente le seguenti condizioni
• d(x, y) = 0 se e solo se x = y
• d(x, y) = d(y, x)
∀x, y ∈ X
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
∀x, y, z ∈ X.
Si vede facilmente che la terza condizione implica che
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z)
∀x, y, z ∈ X .
Tale funzione d viene detta funzione distanza o anche metrica.
Data una successione {xn } di elementi di X diciamo che {xn } converge
a x se d(xn , x) tende a zero quando n tende a +∞.
Definizione 1.1. Una successione si dice di Cauchy se
(1.1)
lim d(xn , xm ) = 0
n,m→∞
cioè, in altre parole, se per ogni ε > 0 esiste un indice N0 = N0 (ε) tale
che per ogni n, m maggiori o uguali a N0 risulta
d(xn , xm ) < ε
Dal fatto che d(xn , xm ) ≤ d(xn , x)+d(xm , x) si vede immediatamente
che ogni successione convergente soddisfa la condizione di Cauchy.
Il viceversa in generale non è vero (come vedremo in seguito con
alcuni esempi) e siamo indotti alla seguente
Definizione 1.2. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni
successione di Cauchy in X ammette un limite in X.
Vediamo ora alcuni esempi di spazi metrici.
Esempio 1.3. Lo spazio vettoriale Rn dotato della seguente metrica
n
X
(1.2)
d(x, y) =
|xi − yi|
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1, . . . , yn )
i=1
Date: X.
1
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APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
Esempio 1.4. Lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso
e limitato [a, b] dotato della metrica
(1.3)
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|
x∈[a,b]
Esempio 1.5. Un qualunque insieme X dotato della cosiddetta “metrica grossolana” o “metrica discreta”:
0 se x = y
(1.4)
d(x, y) =
1 se x 6= y
Esempio 1.6. Sia Q l’insieme dei numeri razionali (quindi Q è l’insieme
dei numeri reali privato di tutti i numeri irrazionali) dotato della metrica euclidea d :
m p
m p
= − ,
(1.5)
d
n q
n
q
Esempio 1.7. Ancora una volta lo spazio delle funzioni continue sull’
intervallo chiuso e limitato [−1, 1] ma dotato di un’altra metrica
Z 1
(1.6)
d(f, g) =
|f (x) − g(x)|dx
−1
Vedremo in seguito che lo spazio di quest’ultimo esempio non è completo. Per quanto riguarda l’insieme dei razionali dotato della metrica
euclidea, tutti noi sappiamo che esistono successioni di numeri razionali
che non convergono a nessun numero razionale, bensı̀ ad un numero
irrazionale: tali successioni sono un esempio di successioni di Cauchy
che non hanno un limite in Q. Possiamo quindi concludere che gli spazi
degli ultimi due esempi non sono completi. Dimostreremo che quelli
degli altri esempi invece lo sono.
Ci limitiamo invece a segnalare il seguente
Teorema 1.8 (Teorema del completamento). Dato uno spazio metrico
X esiste sempre uno spazio metrico X̃ con le due seguenti proprietà:
• X̃ è completo
• X̃ contiene un sottospazio Y denso isometrico a X
(Ricordiamo che un sottospazio Y si dice denso in X̃ se, per ogni
ǫ > 0 e per ogni x̃ ∈ X̃, esiste y ∈ Y tale che d(y, x̃) < ǫ. Inoltre
due spazi metrici X e Y sono isometrici se esiste una corrispondenza
biunivoca f tra X e Y che conserva le distanze, tale cioè che dX (x, y) =
dY (f (x), f (y))).
In maniera molto grossolana si può dire che il Teorema del completamento garantisce che è sempre possibile “completare” uno spazio
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
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metrico X a patto di “aggiungere” a X i limiti delle succesioni di
Cauchy.
2. Spazi Normati
Sia V uno spazio vettoriale reale o complesso. Una norma è una
funzione definita su V a valori in R+ soddisfacente le seguenti proprieta‘
(1) kvk = 0 se e solo se v = 0.
(2) kλvk = |λ|kvk per ogni λ appartenente al campo degli scalari.
(3) kv + wk ≤ kvk + kwk.
Esempi:
p
a) V = Rn e kvk = x21 + x22 + . . . x2n per ogni v = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Questa norma è detta norma euclidea, in quanto, se n = 2
o n = 3, kvk rappresenta la distanza euclidea del punto v
dall’origine. Essa viene spesso denotata anche con il sottoscritto 2, in quanto è un caso particolare della norma p che
è cosı̀ definita:
Sia v = (x1 , . . . , xn ) e sia p ≥ 1
1
p
definiamo kvkp = (|x1 |p + |x2 |p + · · · + |xn |p ) =
n
X
i=1
|xi |p
! p1
Si dimostra che per ogni p ≥ 1 questa è una norma in Rn e,
ricordando che x2 = |x|2 , abbiamo che per p = 2 essa coincide
con la norma euclidea sopra menzionata. Nel caso V = Cn ,
la quantità kvkp definisce ancora una norma, a patto di interpretare |x| come il modulo del numero complesso x: si osservi
che in questo caso x2 6= |x|2 .
b) Sia V = C[0, 1] lo spazio delle funzioni continue sull’intervallo
[0, 1] a valori reali. Poniamo
kf k∞ = sup |f (x)| .
x∈[0,1]
Si verifica facilmente che anche questa è una norma. Osserviamo che, siccome le funzioni fn (x) = xn (n = 0, 1, 2, . . . ,) sono
tra di loro linearmente indipendenti per ogni scelta di n intero
positivo, lo spazio C[0, 1] risulta avere dimensione infinita.
2.1. Norma e Metrica. Ogni norma porta con sè sia una nozione di
distanza che una nozione di convergenza:
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APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
Definizione 2.1. Sia V uno spazio normato. Definiamo distanza tra
due elementi v e w la quantità
kv − wk = d(v, w)
È immediato verificare che d(v, w) è una metrica nel senso introdotto
nel capitolo precedente. Quindi ogni spazio normato è in particolare
uno spazio metrico. Ripetiamo ora in termini di norma quanto detto
prima in termini di metrica:
Data una successione xn di elementi di V , diciamo che xn converge a
x in V se e solo se kxn − xk → 0 per n → ∞. Una successione si dice
di Cauchy se
lim kxn − xm k = 0
n,m→∞
È immediato verificare che ogni successione convergente è di Cauchy,
mentre il viceversa non è in generale vero. Chiamenremo spazio di
Banch ( o spazio completo) uno spazio vettoriale normato in cui ogni
successione di Cauchy risulta convergente. Riportiamo ora la seguente
definizione che, anche se può apparire un po’ tecnica, sarà utile in
seguito:
Definizione 2.2. Diciamo che due norme k · k1 e k · k2 definite su
uno stesso spazio vettoriale V sono tra di loro equivalenti se esistono
due costanti positive h, k tali che
hkxk1 ≤ kxk2 ≤ kkxk1
∀x ∈ V .
In particolare se due norme sono equivalenti le successioni di Cauchy
(e anche i loro limiti) sono le stesse per entrambe.
Tornando agli esempi di prima, analizziamo il caso V = Rk : una
successione di punti xn è dunque una successione di vettori xn =
(v1n , v2n , . . . , vkn ). Osserviamo quindi che assegnare una successione di
vettori in Rk equivale ad assegnare k successioni reali: una per ciascuna coordinata. Scegliamo una qualunque delle norme p sopra definite: per esempio quella realtiva a p = 1. Risulta evidente che
|vin
−
vim |
≤
k
X
j=1
|vjn − vjm | = kxn − xm k1
Quindi se una successione di vettori è di Cauchy in Rk , la successione
numerica delle loro coordinate i−esime è una successione di Cauchy in
R per ogni indice i. Viceversa, se una successione di vettori è tale che
tutte le coordinate i-esime sono successioni di Cauchy in R allora essa
stessa è di Cauchy in Rk .
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
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Naturalmente si potrebbe obiettare che questi risultati dipendono
dalla particolare scelta della norma (p = 1 rende i conti molto facili!)
ma, forse sorprendentemente, non è cosı̀: vale in fatti il seguente teorema, che ci limitiamo ad enunciare:
Teorema 2.3. Sia V uno spazio vettoriale normato completo di dimensione finita. Allora la norma definita su V è equivalente ad una
qualunque delle norme p sopra definite. In particolare tutte le norme
p sono tra di loro equivalenti e la convergenza in V è la convergenza
per coordinate.
Per capire quale sia la nozione di convergenza nella norma relativa
al secondo esempio abbiamo bisogno di un po’ di lavoro:
3. Convergenza puntuale e uniforme
Sia {fn } una successione di funzioni a valori reali (o complessi). Supponiamo che le fn siano tutte definite in un sottoinsieme A ⊆ R (o di
Rn ).
Diciamo che fn converge puntualmente ad una funzione f in A se
per ogni x di A esiste finito limn→∞ fn (x). In questo caso poniamo
per definizione
(3.1)
f (x) = lim fn (x)
n→∞
Ciò significa che per ogni ε > 0 esiste un indice N = N(ε, x) tale che
per ogni n ≥ N
(3.2)
|fn (x) − f (x)| < ε
Osservazione 3.1. Osserviamo che N dipende sia da ε che da x
come mostra il seguente esempio: Sia fn (x) = xn e A = (−1; 1]. Allora
0
se − 1 < x < 1
lim fn (x) =
n→∞
1
se x = 1
Se x = 0 o x = 1 si può scegliere N(ε, x) = 1, mentre negli altri casi
log ε
risulta N(ε, x) = [ log
].
x
Nel caso in cui sia possibile trovare un indice N che dipende SOLO
da ε e NON da x si dice che fn converge uniformemente a f su A.
Osservazione 3.2. Osserviamo che fn converge uniformemente a f su
A se e solo se per ogni ε > 0
sup N(ε, x) < +∞
x∈A
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APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
Analogamente fn converge uniformemente a f su A se e solo se per
ogni ε > 0 esiste N = N(ε) tale che per ogni n ≥ N si ha che
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
x∈A
Osservazione 3.3. Se fn converge in B = A ∪ x0 ∪ · · · ∪ xk allora la
convergenza è uniforme su B se e solo se lo è su A.
Esempio 3.4. La successione fn (x) = xn converge semplicemente,
ma NON uniformemente, sia sull’intervallo (−1, 1] che sull’intervallo
(−1, 1).
4. La condizione di Cauchy
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una successione di funzioni converga uniformemente su A è che valga la seguente condizione
(di Cauchy)
(C)
∀ε > 0 ∃N = N(ε) : ∀n, m ≥ N
sup |fn (x) − fm (x)| < ε
x∈A
Proof. La condizione è necessaria, infatti
sup |fn (x) − fm (x)| ≤ sup |fn (x) − f (x)| + sup |fn (x) − f (x)| ≤ 2ε
x∈A
x∈A
x∈A
se fn converge a f uniformrmente. Supponiamo viceversa che valga
(C). Allora per ogni x fissato in A la successione numerica {fn (x)}
risulta di Cauchy e quindi convergente. Sia f (x) la funzione limite.
Fissiamo n e facciamo tendere m a +∞ nella (C): poichè per ogni m
si ha |fn (x) − fm (x)| < ε la stessa relazione varrà per il limite, pur di
sostituire il segno di < con quello di ≤ ; risulta quindi
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
x∈A
e, per l’arbitrarietà di ε, la tesi.
Osservazione 4.1. La convergenza in C[0, 1] con la norma definita nel
precedente capitolo è la convergenza uniforme
Come nel caso delle successioni numeriche, la condizione (C) si traduce per le serie, considerando
la successione delle somme parziali: una
P
serie di funzioni ∞
f
(x)
risulta
uniformemente convergente su A
n=0 n
se e solo se
(C’) ∀ε > 0 ∃N = N(ε) : ∀n ≥ N ∀p > 0
sup |fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · + fn+p (x)| < ε .
x∈A
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La condizione (C’) risulta particolarmente utile quando si voglia stabilire la convergenza uniforme di una serie di funzioni: vale infatti il
seguente
P
Teorema 4.2. (Weierstrass) Data una serie di funzioni ∞
n=0 fn (x)
definite tutte su un insieme A, supponiamo che esita una succesione
di numeri positivi an tale che
|fn (x)| ≤ an ∀x ∈ A. Supponiamo
P∞
inoltre
P∞ che la serie numerica n=0 an sia convergente. Allora la serie
n=0 fn (x) converge uniformemente su A.
Proof. Basta infatti osservare che
sup |fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · + fn+p (x)| ≤ an+1 + an+2 + . . . an+p < ε
x∈A
poichè la serie numerica
P∞
n=0
an è convergente.
5. Proprietà che si “trasportano” alla funzione limite
Come visto nel paragrafo precedente, è possibile che una successione
di funzioni continue converga ad una funzione limite discontinua (per
esempio fn (x) = xn su (−1, 1]). È inoltre possibile che una successione
di
funzioni limitate converga ad una funzione non limitata: per esempio
P∞
1
n
n=0 x = 1−x in (−1, 1). In generale anche altre proprietà delle funzioni fn (quale derivabilità e integrabilità) non vengono “trasmesse”
alla funzione limite nel caso di convergenza puntuale.
Il discorso cambia notevolmente quando, al posto della convergenza
puntuale, si considera la convergenza uniforme. Valgono infatti i
seguenti Teoremi, che ci limitiamo ad enunciare.
Teorema 5.1. (Del doppio limite)
Supponiamo che una successione {fn } converga uniformemente a f
su A. Supponiamo che x0 sia un punto di accumulazione per A e che
lim fn (x) = ln
x→x0
Allora la successione {ln } ammette limite finito e inoltre, detto l = limn→∞ ln ,
risulta
(5.1)
lim f (x) = lim lim fn (x) = lim ln
x→x0
n→∞ x→x0
n→∞
Questo Teorema è noto come teorema “del doppio limite”: si noti
infatti che le due operazioni di limite, per n → ∞, e per x → x0 si
possono scambiare! risulta cioè
lim lim fn (x) = lim lim fn (x)
x→x0 n→∞
n→∞ x→x0
Immediatamente si ricava il seguente
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APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
Corollario 5.2. Sia {fn } una successione di funzioni continue su A
convergente uniformemente a f . Allora f risulta continua.
Osservazione 5.3. Con la norma dell’estremo superiore C[0, 1] risulta
completo.
Torniamo ora all’esempio (1.7). Consideriamo la successione fn (x)
di funzioni cosı̀ definite

1
1


nx se − ≤ x ≤


n
n


1
(5.2)
fn (x) = 1 se
<x≤1

n




 − 1 se − 1 ≤ x < − 1
n
È facile verificare che questa successione converge puntualmente alla
funzione sig(x), segno di x che vale 1 se x è positivo e −1 se x è
negativo, zero per x = 0 È anche facile vedere che
Z 1
Z 1
1
(5.3)
|fn (x) − sig(x)|dx = 2
[sig(x) − fn (x)]dx =
n
−1
0
e dunque, poichè
Z 1
Z
|fn (x) − fm (x)|dx ≤
−1
1
−1
|fn (x) − sig(x)|dx +
Z
1
−1
|fm (x) − sig(x)|dx
{fn } è una successione di Cauchy nella metrica integrale introdotta
nell’esempio. Per l’unicità del limite non può esistere nessuna funzione
continua f tale che {fn } converga ad f nella metrica integrale!
Abbiamo visto quindi come la nozione di convergenza dipenda in
maniera essenziale dalla norma (o metrica) che si considera. Occupiamoci ora della convergenza rispetto alla metrica integrale.
Teorema 5.4. Sia {fn } una successione di funzioni Riemann integrabili su [a, b] convergente uniformemente a f . Allora f risulta Riemann
integrabile e inoltre si ha
Z b
Z b
(5.4)
lim
fn (x)dx =
f (x)dx .
n→∞
a
a
Teorema 5.5. Sia {fn } una successione di funzioni derivabili su [a, b]
con derivata continua e supponiamo che {fn } converga in almeno un
punto x0 ∈ [a, b]. Supponiamo che la successione delle derivate {fn′ }
converga uniformemente in [a, b] ad una funzione g. Allora fn converge
uniformemente ad una funzione f derivabile e risulta f ′ (x) = g(x)
∀x ∈ [a, b].
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
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Proof. Poniamo per definizione f (x0 ) = limn→∞ fn (x0 ). Per il Teorema
Fondamentale del calcolo integrale abbiamo che
Z x
fn′ (t)dt .
fn (x) = fn (x0 ) +
x0
Quindi per il Teorema 5.4 fn (x) risulta convergente per ogni x di [a, b]
ad una funzione limite f (x) che verifica la relazione
Z x
(5.5)
f (x) = f (x0 ) +
g(t)dt .
x0
Per il Teorema 5.2 g risulta continua e quindi, sempre per il Teorema
Fondamentale del calcolo integrale f risulta derivabile con f ′ (x) = g(x).
Infine, per dimostrare la convergenza uniforme, osserviamo che
(5.6)
|fn (x) − fm (x)| = |
Z
x
(fn′ (t)
x0
−
′
fm
(t))dt|
≤
Z
x
x0
′
|fn′ (t) − fm
(t)|dt ≤
′
(b − a) sup |(fn′ (x) − fm
(x)| < ε(b − a)
x∈[a,b]
poichè per ipotesi la successione fn′ risulta uniformemente convergente.
6. Serie di Potenze
Le serie di potenze sono particolari serie di funzioni dove risulta
fn (x) = an (z − c)n per un c fissato in C e per una successione an di
numeri complessi. Una serie di potenze si presenta quindi nella forma
∞
X
an (z − c)n = a0 + a1 (z − c) + a2 (z − c)2 + a3 (z − c)3 + . . .
n=0
e converge sempre per z = c che viene chiamato centro della serie
stessa. Vale il seguente
Teorema 6.1. Supponiamo che una serie di potenze converga in un
punto x̄ diverso dal centro. Allora essa converge assolutamente per
ogni z tale che |z − c| < |x̄ − c|.
Proof. Osserviamo che, siccome la serie converge in x̄, risulta
|an (x̄ − c)n | ≤ K
per una qualche costante K > 0 (perchè?). Fissato ora z risulta
n
z − c n
n
n |(z − c) |
(6.1)
|an (z − c) | = |an (x̄ − c) |
≤K
|x̄ − c|n
x̄ − c 10
APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
e quindi la serie
del confronto.
P∞
n
converge assolutamente per il teorema
P∞
an (z − c)n , definiamo ora l’insieme
∞
X
E = {z ∈ C :
an (z − c)n è convergente}
Data una serie
(6.2)
n=0 an (z − c)
n=0
n=0
costituto da tutti gli z complessi per cui la serie risulta convergente. E
è non vuoto. Definiamo ora
(6.3)
R = sup{|z − c|}
z∈E
Vale il seguente e fondamentale Teorema
P
n
Teorema 6.2. Data la serie di potenze ∞
n=0 an (z − c) definiamo E
e R come sopra. Allora la serie converge assolutamente per ogni z tale
che |z − c| < R e non converge se |z − c| > R. Inoltre la convergenza
risulta uniforme in ogni intervallo del tipo |z − c| ≤ a < R.
Proof. Fissiamo z tale che |z − c| < R. Per definizione di 6.3 esiste
almeno un x̄ ∈ E tale che |z − c| < |x̄ − c| < R. Per il teorema
6.1 la serie converge assolutamente in x. Ragionando analogamente,
si ottiene la convergenza uniforme in forza del Teorema 4.2. Sempre
dalla definizione di estremo superiore risulta evidente che la serie non
può convergere per |z − c| > R.
R viene detto raggio di convergenza della serie. È importante
osservare che
• R può essere zero! in tal caso la serie converge solo nel centro.
• R può essere infinito: in tal caso la serie converge per ogni valore
di z.
• Nulla può essere detto riguardo la convergenza nei punti che
soddisfano la condizione |z − c| = R. Ricordiamo che si tratta
di un’intera corconferenza con centro in c e raggio R: la serie
potrebbe convergere in un solo punto, in nessun punto o in tuuti
i punti!
Forniamo ora due criteri che permettono, in molti casi, di determinare concretamente il raggio di convergenza per una serie di potenze:
P
n
Teorema 6.3. Data la serie ∞
n=0 an (z − c) , supponiamo che esista
il limite
p
lim n |an | = L
n→∞
Allora il raggio di convergenza è
1
= 0).
∞
1
L
(con la convenzione che
1
0
= +∞ e
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
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P
n
Teorema 6.4. Data la serie ∞
n=0 an (z − c) , supponiamo che esista
il limite
|an+1 | =L
lim
n→∞ |an | Allora il raggio di convergenza è L1 ( sempre con la convenzione che
1
1
= +∞ e ∞
= 0).
0
Proof. Dimostriamo, a titolo di esempio, il Teorema 6.4: la dimostrazione
dell’altro
P∞ il criterio del rapporto alla serie nuPè∞analoga. Applichiamo
n
merica n=0 |an (z − c) | = n=0 bn . Risulta
bn+1 an+1 (z − c)n+1 an+1 |z − c|
(6.4)
=
=
bn
an (z − c)n an Per ipotesi 6.4 ammette limite per n → ∞ e quindi la tesi segue dal
criterio del rapporto per le serie a termini positivi.
Applicando il criterio del rapporto siamo ora in grado di fornire facili
esempi di serie di potenze con qualunque raggio di convergenza:
Esempio 6.5. La serie
∞
X
n!z n
n=0
ha raggio di convergenza zero.
Esempio 6.6. La serie
∞
X
zn
n=0
n!
ha raggio di convergenza infinito.
Esempio 6.7. Fissiamo un a ∈ C arbitrario, purchè diverso da zero.
La serie
∞
X
zn
n=1
an
ha raggio di convergenza |a|.
Esempio 6.8. Le tre serie
∞
X
xn
n=0
∞
X
xn
n=1
n
∞
X
xn
n=1
n2
hanno tutte lo stesso raggio di convergenza, ma comportamenti molto
diversi nei punti |z| = R: la prima non converge in nessuno di essi, la
seconda converge per z = −1, ma non per z = 1 (si puo‘ dimostrare
che in realta‘ essa converge per ogni z 6= 1 della circonferenza unitaria),
la terza converge su tutta la circonferenza unitaria.
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APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
D’ora in avanti ci limiteremo a trattare serie con centro in zero.
Tutti i risultati ottenuti per esse si traducono al caso generale con una
semplice sostituzione z − c = Z.
Sappiamo cosa sia la derivata di una funzione reale di variabile reale.
È possibile definire analogamente la derivata di una funzione complessa
di variabile complessa :
f ′ (z) = lim
h→0
f (z + h) − f (z)
h
come limite del rapporto incrementale.
Le regole di derivazione riguardanti somme, prodotti quozienti e funzioni composte si trasportano immediatamente al caso di derivate complesse. È pure immediato verificare, tramite lo sviluppo di (z + h)n ,
che la derivata di z n è, come nel caso reale, nz n−1 .
Un discorso molto più delicato riguarda invece le proprietà delle funzioni derivabili: queste esulano dalla trattazione di questo corso. Ci
limitiamo a sottolineare che, mentre nel caso reale, possono esistere funzioni derivabili k volte ma non k + 1 volte, in quanto la derivata k unesima potrebbe risultare discontinua, nel caso complesso una funzione
derivabile una volta in un aperto risulta automaticamente di classe C ∞ ,
in netto contrasto con quanto avviene nel caso reale.
I seguenti Teoremi possono essere enunciati nel caso di funzioni complesse. Per una prima lettura possiamo limitarci al caso di funzioni reali
e quindi a serie di potenze (e serie di Taylor) pensate nel campo reale:
rimandiamo ad un corso piu‘ avanzato il caso complesso.
Cominciamo con il Teorema 5.5 di derivazione:
P
n
Teorema 6.9.
Sia f (x) = ∞
n=0 an x . Allora f risulta derivabile e si
P
∞
n−1
′
ha f (x) = n=1 nan x . In particolare ogni serie di potenze rappresenta una funzione di classe C ∞ all’interno dell’intervallo di convergenza.
P
n
Proof. Sia R il raggio di convergenza di ∞
n=0 an x . Fissato x tale che
|x| < R è sempre possibile trovare a > 0 tale che |x| ≤ a < R. Quindi
per ogni x fissato all’interno dell’intervallo di convergenza esiste un
intervallo che contiene x dove la convergenza è uniforme. Quindi f è
senz’altro
all’interno dell’intervallo (−R, R). Osserviamo che
P continuan−1
la serie ∞
na
x
è anch’essa una serie di potenze: se dimostriamo
n
n=1
che essa ha lo stesso raggio di convergenza della serie di partenza la tesi
segue immediatamente dai Teoremi 6.2, 4.2 e 5.5. Questo fatto è vero
in generale: noi ci limitiamo al caso in cui il raggio di convergenza sia
dato da uno dei due criteri 6.4/6.3. Posto bn = nan , la serie derivata si
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
13
P
n
puo‘
riscrivere
come ∞
n=0 bn+1 x . Da qui risulta evidente che i limiti
p
p
n
e an+1
.
|bn | e n |an | risultano uguali e lo stesso vale per bn+1
bn
an
Osservazione 6.10. Osserviamo che, per il Teorema 5.4, per ogni
x ∈ (−R, R) risulta anche
Z x
Z xX
∞
∞ Z x
∞
X
X
xn+1
n
n
f (t)dt =
an t =
an t =
an
n+1
0
0 n=0
n=0 0
n=0
in altre parole: le serie di potenze si integrano e si derivano termine a
termine.
7. Serie di Taylor
Sia f una funzione derivabile infinite volte in un intervallo I. Fissato
un punto x0 ∈ I possiamo quindi scrivere la formula di Taylor per f
arrestata a qualunque ordine n:
f n (x0 )
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + . . .
(x − x0 )n + Rn
n!
dove per Rn possiamo usare l’espressione di Lagrange:
Rn =
f n+1 (ξn )
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
Detta quindi
f n (x0 )
(x − x0 )n
n!
possiamo chiederci se esiste il limite per n → ∞ di Sn (x) e se risulta
anche
∞
X
f n (x0 )
(x − x0 )n
(7.1)
f (x) =
n!
n=0
Sn (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + . . .
Questo naturalmente dipenderà dal comportamento di Rn ! In particon
0)
tende a zero per n → ∞, dal
lare, fissato x, siccome la quantità (x−x
n!
n+1
comportamento di f (ξn ). Diciamo che una funzione di classe C ∞
è sviluppabile in serie di Taylor con centro x0 se vale 7.1. In generale
non è vero che tutte le funzioni di classe C ∞ sono sviluppabili in
serie di Taylor, ma lo sono senz’altro le somme delle serie di potenze.
Abbiamo visto infatti che ogni serie di potenze rappresenta una funzione infinitamente derivabile all’interno
dell’intervallo di convergenza
P∞
n
(−R, R). Detta quindi f (x) = n=0 an x possiamo scrivere che
f ′ (x) =
∞
X
n=1
nan xn−1
14
APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
e cosı̀ via:
k
f (x) =
∞
X
n=k
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an xn−k
In particolare risulta
f k (0) = k!ak
e quindi possiamo concludere che f (x) risulta sviluppabile in serie di
Taylor con centro in x = 0 (in generale con centro in x = c).
Non forniremo esempi di funzioni che non sono sviluppabili in serie di Taylor, ma forniremo invece un semplice criterio che permette
di stabilire che molte delle funzioni note sono sviluppabili in serie di
Taylor:
Teorema 7.1. Sia f di classe C ∞ in [a, b]. Supponiamo che esista una
costante K tale che per ogni x ∈ [a, b] e per ogni intero n risulti
|f n (x)| ≤ K
Allora f è sviluppabile in serie di Taylor con centro in qualunque x0 ∈
(a, b).
Proof. Immediato dal fatto che
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + . . .
f n (x0 )
(x − x0 )n + Rn
n!
e, per ipotesi
f n+1 (ξn )
|x − x0 |n+1
n+1
|Rn | = |
(x − x0 ) | ≤ K
(n + 1)!
(n + 1)!
Da questo criterio segue immediatamente che
Osservazione 7.2. Le funzioni sin x, cos x e ex sono sviluppabili in
serie di Taylor con centro in qualunque punto x0 ∈ R. In particolare,
se x0 = 0 si ottengono i noti sviluppi di Mc Laurin
(7.2)
∞
∞
∞
X
X
X
x2n+1
x2n
xn
sin x =
(−1)n
cos x =
(−1)n
ex =
n!
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
15
7.1.
conclusive. Abbiamo già osservato che la serie
P∞ Osservazioni
zn
n=0 n! converge per ogni z complesso. Definiamo
(7.3)
∞
∞
∞
2n+1
X
X
X
z 2n
zn
n z
z
sin z =
(−1)
cos z =
(−1)n
e =
n!
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
come funzioni della variabile complessa z.
Le equazioni funzionali valide nel campo reale restano valide nel
campo complesso. Quindi per esempio è ez+w = ez · ew ; sin(z + w) =
sin z cos w + cos z sin w e cosi‘ via.
In particolare sostituendo iθ al posto di z nell’espressione di ez otteniamo
∞
X
(iθ)n
θ2
θ3 θ4
iθ
(7.4) e =
= 1 + iθ −
−i +
+ · · · = cos θ + i sin θ
n!
2
3!
4!
n=0
da cui si ricavano immediatamente le formule di Eulero:
eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
sin θ =
(7.5)
cos θ =
2
2i
8. Esercizi Proposti
9. Condizione di Cauchy. Massimo e Minimo limite
(1) Sia {an }∞
Dimostrare che se
n=0 una successione di Cauchy.
{an }∞
ammette
una
sottosuccessione
convergente
allora essa
n=0
stessa risulta convergente.
(2) Dimostrare che la seguente successione NON è di Cauchy:
1
1
1
Sn = 1 + √ + √ + · · · + √
n
2
3
Suggerimento: procedere come nella dimostrazione della divergenza della serie armonica...
1
1
1
+···+
>n·
S2n − Sn
n+1
2n
2n
(3) Dimostrare che la seguente successione NON è di Cauchy:
1
1
1
1
+√
+···+ p
Sn = √ + √
2
2·3
3·4
n · (n + 1)
(Suggerimento: si proceda come nel caso precedente e, per conx
cludere, si ricordi che la funzione x 7→ 2x+1
è sempre crescente.)
(4) Trovare il massimo limite e il minimo limite della seguente successione:
π
.
an = cos n
3
16
APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
(5) Trovare la classe limite della seguente successione:
an = 2(−n) .
n
(6) Sia
n
(−1)n
an = 1 +
n = 1. . . .
2n
Individuare il massimo e il minimo limite di {an }.
(7) Sia
sin(n π2 ) n
n = 1. . . .
an = 1 +
n
Individuare la classe limite di {an } specificando il massimo e il
minimo limite.
10. Successioni e Serie numeriche
Per quanto riguarda la Teoria si veda per esempio “W.Rudin: Priniciples of Mathematical Analysis” Capitolo 3.
10.1. Serie a termini positivi. Stabilire il carattere delle seguenti
serie:
∞
X
√
n
(10.1)
n
n=1
∞
X
1
sin
n
n=1
(10.2)
∞
X
(10.3)
1
en
n=1
(10.4)
∞
X
n=1
1
(e n − 1)
∞
X
10n
(10.5)
n=0
(10.6)
(10.7)
∞
X
n=2
∞
X
n=2
(10.8)
n!
1
n(log n)3
1
n( log n)
√
∞
X
n=4
1
n log(log n)
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
17
Per le ultime tre serie si consiglia di utilizzare il criterio del confronto
con l’integrale.
10.2. Serie a termini alterni. Stabilire il carattere delle seguenti
serie precisando quali sono assolutamente convergenti
∞
∞
∞
X
X
X
n
1
(−1)n
(−1)n 3
(−1)n sin( )
n + log n
n
n + 5n
n=2
n=1
n=1
11. Topologia
(1) Sia Q = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1 , −2 < y < 2} ∪ {(−2. −
3)} ∪ {(+2. − 3)} ∪ {(−2. + 3)} ∪ {(+2. + 3)}. Disegnare Q.
Trovare quindi
• i punti interni di Q
• i punti di accumulazione di Q
• i punti di frontiera di Q
Stabilire quindi se Q è chiuso/aperto oppure nè chiuso nè aperto.
(2) Sia S ⊂ R2 il segmento che congiunge i punti di coordinate
(0, 1) e (1, 1) estremi esclusi.
• S è aperto in R2 ?
• S è chiuso in R2 ?
• S è limitato in R2 ?
• Quali sono i punti di frontiera di S in R2 ?
(3) Siano
1
E = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 < 1} F = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2 ; y = }
2
Posto A = E ∪ F stabilire se A è chiuso/aperto, speficicando
quali sono i suoi punti interni. Detto infine B = E ∩ F trovare
i punti di frontiera e i punti di accumulazione di B.
12. Successioni e Serie di Funzioni
Per quanto riguarda la Teoria si veda per esempio “W.Rudin: Priniciples of Mathematical Analysis” Capitolo 7.
Data la successione di funzioni
1
fn (x) =
1 + (x − n)2
stabilire quale è l’insieme di convergenza puntuale. Dire se su tale
insieme la convergenza risulta uniforme.
Stabilire l’insieme di convergenza semplice della seguente successione
di funzioni:
nx
fn (x) =
1 + n2 x2
18
APPUNTI AD USO DEGLI STUDENTI
Dire se su tale insieme la convergenza risulta uniforme.
Stabilire l’insieme E di convergenza puntuale della seguente successione di funzioni:
x2 − n
fn (x) =
nx2 + n2
Stabilire quindi se la convergenza risulta uniforme su E.
Data la successione di funzioni
arctan(nx)
fn (x) =
n
stabilire l’insieme di convergenza puntuale e la funzione limite f (x).
Dire se su tale insieme la convergenza risulta anche uniforme. Calcolare
quindi
Z
1
lim
n→∞
fn (x)dx .
0
12.1. Serie di Funzioni. Data la serie di funzioni
∞
X
e−nx
n2 + 1
n=0
stabilire l’insieme di convergenza puntuale. Dire se su tale insieme la
convergenza risulta anche uniforme.
Data la serie di funzioni
n
∞ X
x
x2 + 1
n=0
stabilire l’insieme di convergenza puntuale. Dire se su tale insieme la
convergenza risulta
n anche uniforme. (Suggerimento: trovare il massimo
x
di fn (x) = x2 +1 e utilizzare il criterio di Weierstrass.)
Data la serie di funzioni
∞
X
e−nx
1 + nx2
n=0
stabilire l’insieme di convergenza puntuale. Facendo uso del Teorema
del doppio limite, stabilire se su tale insieme la convergenza risulta
anche uniforme.
Data la serie di funzioni:
∞
X
x2n
4n
(1 + x2 )n
n=0
• Stabilire l’insieme A di convergenza semplice.
• Trovare la somma della serie.
• Stabilire se la convergenza risulta uniforme su A.
PRIMO MODULO DI ANALISI MATEMATICA
19
13. Integrali di Riemann–Stieltjes
Siano

x
se 0 ≤ x < 1



3
se x = 1
f (x) = log(1 + x2 ) e φ(x) =
x
+
1
se
1
<x<2


 4
se x = 2
Calcolare
Z
2
f dφ
0
Siano

1
se x = 0



2
se 0 < x < 1
f (x) = 2x log(1 + x2 ) e φ(x) =
3
se x = 1


 arctan x se 1 < x ≤ 2
Calcolare
Z
2
f dφ
0
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