MONOMI e POLINOMI

MONOMI e POLINOMI
MONOMI
Un monomio è un’espressione algebrica contenente numeri reali, lettere ed operazioni di moltiplicazioni (e
potenze con esponenti positivi).
Esempi:
1 2
ab ; xy2 z 3
2
4x
5x 2
; 4a 1 x 
 3x 2 a  y ;
a
3a
 3x 2 yc ;
SONO monomi
NON SONO monomi
8 y3 b x2
coefficiente
numerico
parte letterale
GRADO COMPLESSIVO: somma degli esponenti della parte letterale
Esempio 8 y 3bx 2 ha grado complessivo 3 + 1 +2 = 6
GRADO rispetto AD UNA LETTERA: è l’esponente della lettera indicata
Esempio 8 y 3bx 2
ha grado 3 rispetto ad “y”
ha grado 1 rispetto ad “b”
ha grado 2 rispetto ad “x”
ha grado 0 rispetto ad “a” (grado 0 se una lettera non c’è)
DUE MONOMI SI DICONO
SIMILI
se hanno la stessa parte letterale
esempi: 7ax 2 ,  5ax 2 , 
OPPOSTI
se sono simili, cioè se hanno la stessa parte letterale, ed i coefficienti numerici sono opposti
esempi: 3ab e  3ab , 
UGUALI
1 2
ax
2
5 2
5
xy e  xy 2
3
3
se sono simili, cioè se hanno la stessa parte letterale, ed i coefficienti numerici sono uguali;
cioè se hanno uguale sia la parte letterale sia il coefficiente numerico.
OPERAZIONI CON I MONOMI
SOMME E SOTTRAZIONI 
SOMME ALGEBRICHE
Si possono sommare o sottrarre fra loro solo monomi simili ed il risultato è un monomio simile che ha come
coefficiente numerico la somma algebrica dei coefficienti dei monomi.
1
Esempi:
1) 5ax 4  2ax 4  9ax 4  5  2  9ax 4  12ax 4 (il risultato è un monomio)
2) 5a  2a 2  3a  a 2  2a 2  5  3a   2 1  2a 2  8a  a 2 (il risultato non è un monomio)
OSSERVAZIONE: nel primo esempio il risultato è un monomio, nel secondo no; non sempre la somma di
due o più monomi è un monomio (si dice che l’operazione non è interna).
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
Si moltiplicano o dividono i coefficienti numerici e si applicano le proprietà delle potenze alla parte letterale
(cioè si sommano gli esponenti delle lettere uguali quando si moltiplica, si sottraggono gli esponenti delle
lettere uguali quando si divide).
Esempi:
1) 6ab  3a 2  6  3a12b  18a 3b (il risultato è un monomio)


:  6a b   3 :  6a
2) 5x 2 y 2   2axy3  5   2x 21 y 23 a  10 x 3 y 5 a (il risultato è un monomio)
3) 3a 5b 2
3
4) 6a 3b 2 : 5ab 3 
2
6 31 23
a b
5
1
b 22   a 2 (il risultato è un monomio)
2
2
6
6a
(il risultato non è un monomio)
 a 2b 1 
5
5b
53
OSSERVAZIONE: dagli esempi 1) e 2) si ricava che è sempre possibile moltiplicare monomi fra loro ed il
risultato è sempre un monomio (operazione interna); dagli esempi 3) e 4) invece si ricava che non sempre la
divisione fra monomi dà come risultato un monomio (operazione NON interna).
POTENZE
Si eleva sia il coefficiente numerico sia la parte letterale (applicando la proprietà di potenza di una potenza,
cioè moltiplicando gli esponenti).
Esempi:

   2 a x  y   4a x y  4a x
 3x y    3 x  y   27 x y  27 x y
1)  2ax 2 y 3
2)
3
2
4 3
2
3
2
3 3
2 2
3 2
4 3
2
33
22
32
43
2
9
4
y6
12
ATTENZIONE: prestare attenzione alla regola dei segni!
m.c.m. (minimo comune multiplo fra monomi)
Il m.c.m. fra due o più monomi è un monomio che ha come coefficiente numerico il m.c.m. dei coefficienti e
come parte letterale tutte le lettere presenti, comuni e non comuni, prese una sola volta con il massimo
esponente.
Esempio:
calcolare il m.c.m. fra
parte letterale ay3x4
3ax2y ; 4xy3 ; 2x4y2
m.c.m. = 12ax4y3
m.c.m.(3,4,2)=12
2
POLINOMI
Si dice polinomio la somma algebrica di due o più monomi; un polinomio è, quindi, un’espressione letterale
che contiene numeri, lettere ed operazioni di moltiplicazione (e potenze), somma e sottrazione.
Esempi:
2
2
2
a3
bx
x 2

2a
a
 5
x

3b2
 ; 
1 ; 6
binomio
trinomio
quadrinomio
GRADO COMPLESSIVO: è il maggiore dei gradi dei monomi che compongono il polinomio.
Esempio:
5 x 2 y  3ab 5
grado
1+5=6
grado
2+1=3
grado complessivo del polinomio: 6
Grado 1 rispetto a y
Grado 2 rispetto a x
Grado 1 rispetto ad a
Grado 5 rispetto a b
UN POLINOMIO SI DICE
OMOGENEO se i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado
Esempio:
6
xy  3
x2  4
ab



grado2
grado2
grado2
COMPLETO
se, rispetto ad una lettera, compaiono tutte le potenze
Esempio:
3
x3  2
x 5
x2  7




grado3
ORDINATO
grado1
grado2
grado0
se, rispetto ad una lettera, le potenze compaiono dal grado maggiore al minore
Esempio:
3
x3  5
x2  2
x  7




grado3
grado2
grado1
grado0
OSSERVAZIONE:
Un polinomio può essere ordinato ma non completo, esempio: 3
x3  2
x 


grado3
OPERAZIONI CON I POLINOMI
SOMME E SOTTRAZIONI 
SOMME ALGEBRICHE
Per sommare: i segni non cambiano
si sommano solo i monomi simili
3
grado1
7

grado0
Per sottrarre:
si cambiano tutti i segni dopo il meno
si sommano solo i monomi simili
Esempio:
( x + 3y ) + ( y – 6x ) – ( x – y + 2 ) =
ricopio
uguale
x + 3y + y – 6x – x + y – 2 =
cambio i segni:
x-x
-y+y
+2  - 2
= (1 – 6 – 1) x + (3 + 1 + 1) y – 2 = -6x + 5y - 2
MOLTOPLICAZIONE MONOMIO-POLINOMIO
Per moltiplicare un monomio per un polinomio si moltiplica il monomio per tutti i monomi che compongono
il polinomio.
Esempi:
moltiplico
2xy  ( a + b – 2cx ) = 2axy + 2bxy – 4cyx2
moltiplico
( 4a – 3bx )  2abx = 8a2bx – 6ab2x2
MOLTOPLICAZIONE POLINOMIO-POLINOMIO
Per moltiplicare un polinomio per un altro polinomio si moltiplicano tutti i monomi che compongono il
polinomio per tutti i monomi dell’altro polinomio. Poi sommo i termini simili.
Esempio:
( x + y )  ( 2x – y + 1 ) = 2x2 – xy + x + 2xy – y2 + y = 2x2 + xy + x + y – y2
sommo i termini simili
moltiplico
4
PRODOTTI NOTEVOLI
Sono formule per eseguire velocemente prodotti fra polinomi che ricorrono molto spesso nei calcoli.
1)
a  b 2  a 2  b 2  2ab

a  b 2  a 2  b 2  2ab 
2) a  b   a  b   a 2  b 2
QUADRATO DI BINOMIO

SOMMA PER LA DIFFERENZA
3)
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 

a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 
4)
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 
CUBO DI BINOMIO
QUADRATO DI TRINOMIO
OSSERVAZIONI:
1) La formula è composta dai quadrati dei due termini a e b, a2 e b2, e dal loro doppio prodotto, 2ab. I
quadrati sono sempre positivi, mentre il doppio prodotto rispetta la regola dei segni.
2) Non compaiono doppi prodotti.
3) Se si mantiene l’ordine indicato, per potenze decrescenti di a e crescenti di b, i segni negativi risultano
alternati.
4) Come nel caso del quadrato di binomio, anche per il trinomio i quadrati sono sempre positivi mentre i
doppi prodotti rispettano la regola dei segni.
ESEMPI:
1) 3x  5 y   3x   5 y   2  3x   5 y   9 x 2  25 y 2  30 xy
2

2

2

 
2) x  4 y 2  x  4 y 2  x   4 y 2
2
2
 x 2  16 y 4
3) x  2  x   3  x   2  3  x   2  2  x 3  6 x 2  12 x  8
3
3

2

   2
4) x  y 3  2  x   y 3
2
2
2
2
2
3
 2  x  y 3   2  x  2  2  y 3  2  x 2  y 6  4  2 xy3  4 x  4 y 3
DIVISIONE POLINOMIO-MONOMIO
Si dividono tutti i monomi che compongono il polinomio per il monomio divisore.
Esempi:
divido
( 3a2 + 5ab – 7a3 ) : 3a = a +
5
7
b – a2
3
3
il risultato è un
polinomio
divido
il risultato NON è
un polinomio
y3
( 3a – ay ) : a = 3 – a y = 3 –
a
2
3
2
-1 3
5
OSSERVAZIONE: La divisione non è interna, infatti il risultato a volte è un polinomio a volte no.
DIVISIONE FRA POLINOMI CON LA REGOLA DI RUFFINI
La divisione fra un polinomio ed un binomio si può eseguire con la regola di Ruffini quando si ha:
( polinomio ) : ( x  n )

dove n è un numero ( n  N )

Esempio:  5x  7  3x 3 : x  2  ?
1) Il polinomio deve essere ORDINATO e COMPLETO
3x
3

 0 x 2  5 x  7 : x  2  ?
Osservazione: se manca una potenza il suo coefficiente numerico è 0.
2) Riempio il seguente schema
3) Eseguo l’operazione di divisione secondo i seguenti passaggi:
Lungo le colonne si somma, i numeri sotto la linea orizzontale si moltiplicano.
6
Risultato della divisione 3x 2  6 x  7
OSSERVAZIONE: il risultato ha sempre un grado in meno del polinomio che si è diviso.
Nell’esempio precedente il polinomio ha grado 3 ed il risultato ha grado 2.
7
Resto = +7