PROVA SCRITTA DI MATEMATCA DISCRETA C.L. Informatica, M-Z Bari, 20 Febbraio 2017 Traccia: 2 Esercizio 1. Consideriamo 6 Vietnamiti, 4 Birmani e 10 Cambogiani. I Birmani sono tutte Donne, tra i Vietnamiti ci sono 2 Donne e tra i Cambogiani ci sono 3 Uomini. a) In quanti modi diversi si può formare un comitato di 6 persone? b) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità? c) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità ed esattamente un uomo? d) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità ed almeno un uomo? Esercizio 2. Si consideri il gruppo (Z∗11 , ·). Stabilire l’ordine del gruppo e se il gruppo è ciclico. Inoltre, stabilire l’ordine di tutti i suoi elementi. Esercizio 3. Verificare se la seguente successione definita per ricorrenza 24 a0 = 7 {an }n∈N = 12 an = 7 n + an−1 + 18 n ≥ 1. 7 ammette come formula chiusa la successione {bn }n∈N , con bn = 76 (n+2)2 per ogni n ∈ N. Esercizio 4. (1) Stabilire se esiste un grafo con 14 vertici, dei quali: 2 di valenza 4, 3 di valenza 3, 4 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare il grafico di un tale grafo. (2) Stabilire se esiste un albero con 14 vertici, dei quali: 2 di valenza 4, 3 di valenza 3, 4 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare il grafico di un tale albero. Esercizio 5. Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell’anello (Z22 , +, ·). Inoltre, determinare esplicitamente l’inverso degli eventuali elementi invertibili. Esercizio 6. Si consideri una funzione g : A → B. Dare la definizione di immagine di un sottoinsieme di A. Inoltre, siano Y, Y 0 ⊆ A; dimostrare se è vero che g(Y ∪ Y 0 ) = g(Y ) ∪ g(Y 0 ).