Deduzione della distribuzione di Cauchy, due

Deduzione della distribuzione di Cauchy, due metodi
Gabriele Vanoni
1
Le ipotesi
Una sorgente puntiforme S spara una pallina puntiforme in una direzione casuale (ogni direzione
ha la stessa probabilità). A distanza h da S vi è uno schermo infinitamente esteso verticale che
rileva la coordinata x del punto di arrivo della pallina. L’apparato è mostrato in figura visto
dall’alto.
y
O
schermo
x
h
S
2
L’obiettivo
Si vuole ricavare la funzione di densità di probabilità della variabile aleatoria X = ”ascissa di
impatto”, nell’ipotesi in cui la pallina colpisca lo schermo.
3
Primo metodo, uso della geometria e degli infinitesimi
La funzione di densità di probabilità di X non è altro che la probabilità infinitesima dP che la
pallina colpisca lo schermo tra x e x + dx. Chiamiamo Ω l’angolo formato dai segmenti OS e OX
e dΩ la variazione infinitesima dell’angolo corrispondente a dx. L’apparato è mostrato in figura.
1
y
O
x
schermo
x+dx
x
α’
α
dΩ
h
Ω
S
Dall’analisi del triangolo rettangolo OSx vediamo che
x = h tan Ω
(1)
x
h
(2)
da cui si ricava
Ω = arctan
Ora, differenziando in x
dΩ =
1
1
· dx =
x2
h
1 + h2
1
h2 +x2
h2
·
1
h
dx = 2
dx
h
x + h2
(3)
Avremmo potuto ragionare anche geometricamente, infatti per il teorema dei seni applicato al
triangolo infinitesimo e per il teorema di Pitagora
sin(dΩ)
sin α0
=√
dx
x2 + h2
(4)
Ma approssimando al prim’ordine e utilizzando il teorema di Pitagora
sin α0 ∼ sin α = √
h
+ h2
x2
(5)
Perciò approssimando ancora al prim’ordine dalla (5) sostituita nella (4) si ha
sin(dΩ) ∼ dΩ = √
sin α
h
dx = 2
dx
x + h2
x2 + h2
(6)
Essendo tutte le direzioni in cui viene sparata la pallina equiprobabili tra (− π2 ; π2 )
dP =
dΩ
h
= 2
dx
π
(x + h2 )π
(7)
Dunque la probabilità P che la pallina colpisca lo schermo tra due punti a e b è data da
ˆb
ˆb
dP =
P =
a
a
2
h
dx
(x2 + h2 )π
(8)
Perciò la densità di probabilità cercata è
fX (x) =
h
(x2 + h2 )π
(9)
Nota come distribuzione di Cauchy.
4
Secondo metodo, uso formale della teoria della probabilità
Modellizziamo formalmente il problema.
E1 =”La particella colpisce lo schermo”
E2 =”La particella colpisce il piatto tra a e b”
Si chiede la probabilità di E2 condizionata da E1 . Inoltre è nota la funzione di densità di probabilità
dell’angolo a cui viene sparata la pallina essendo una uniforme in [−π : π].
(
1
−π ≤ Ω ≤ π
(10)
fΩ (Ω) = 2π
0
altrove
È semplice calcolare la probabilità di E1
infatti
ˆ π2
ˆ
P (E1 ) =
fΩ (Ω)dΩ =
−π
2
π
2
−π
2
π
1
1
1
dΩ =
[Ω]−2 π =
2
2π
2π
2
(11)
Geometricamente notiamo che
X = g(Ω) = h tan Ω
(12)
Ricaviamo la funzione di densità di probabilità di X con la formula
fX (x) = fΩ (g −1 (x)) [g −1 (x)]0 Essendo
g −1 (x) = arctan
(13)
x
h
(14)
Dunque
1
fX (x) =
2π
h 1
h
x2 + h2 = 2π x2 + h2
Abbiamo ottenuto dunque
ˆb
P (E2 ) =
(15)
h
dx
(x2 + h2 )2π
(16)
a
Per la formula della probabilità condizionata e considerando che se si verifica E2 si è verificato
certamente anche E1 otteniamo infine
´b
b
h
dx ˆ
P (E2 ∩ E1 )
P (E2 )
h
a (x2 +h2 )2π
=
=
dx
(17)
P (E2 |E1 ) =
=
1
2 + h2 )π
P (E1 )
P (E1 )
(x
2
a
Perciò la densità di probabilità cercata è
fX (x) =
h
(x2 + h2 )π
Nota come distribuzione di Cauchy.
3
(18)