a.a. 2006-2007
Programma dettagliato del corso di
C.d.L. in Fisica
GEOMETRIA
del prof. Marino COLIZZA
PRELIMINARI
Alcune nozioni di logica. Nozioni varie e linguaggio di teoria degli insiemi. Cenni di logica: proposizioni, implicazione
logica, quantificatori, negazione di proposizioni, proposizioni dipendenti da parametri. Dimostrazioni, esermpi e
controesempi. La dimostrazione per assurdo e la dimostrazione per induzione.
Alcune nozioni di algebra. Relazioni e relazioni binarie. Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni d'ordine.
Applicazioni e funzioni: prime proprietà. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive . invertibilità ed applicazioni inverse.
Strutture algebriche. Gruppi, sottogrippi e loro caratterizzazione. Omomorfismi tra gruppi, nucleo e immagine di un
sottogruppo. Sottogruppo generato da un elemento. Anelli, corpi e campi. Le strutture Zn e le loro proprietà a seconda di n.
Omomorfismi ed osservazioni varie.
ALGEBRA LINEARE
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Spazi vettoriali. Definizione e primi esempi.Matrici su un campo k. Righe, colonne,
tipo, quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche. Matrice trasposta. Spazi vettoriali di matrici. Prodotto righe per colonne di
matrici e sue proprietà. L'algebra delle matrici quadrate di ord. n. Prime proprietà degli spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali e
loro caratterizzazioni.
Combinazioni lineari di vettori. Sottospazi generati e sistemi di generatori.Spazi e sottospazi finitamente generati.
Intersezione e riunione di sottospazi. Sottospazio somma di due o più sottospazi, e sue proprietà. Somma diretta di due o più
sottospazie proprietà collegate. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sistemi liberi e sistemi legati. Esempi e
controesempi e vari casi particolari. Base di uno spazio vettoriale, e coodinate di un vettore in una base fissata. Basi come
sistemi minimali di generatori e come sistemi liberi massimali. Esistenza di una base in ogni spazio vettoriale. Costruzione di
una base come completamento di un sistema libero o come sottoinsieme di un sistema di generatori. Teorema di Steiniz e sue
conseguenze. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione dei suoi sottospazi. Sistemi di generatori di n elementi, e
sistemi liberi di n elementi in uno spazio vett. di dimensione n. Applicazioni lineari e loro prime proprietà. Nucleo e
immagine di un'applicazione lineare. Sono sottospazi. Sistami di generatori dell'immagine. Applicazioni lineari e sistemi di
vettori linearmente dipendenti o indipendenti. Applicazioni lin. iniettive e suriettive, e nucleo e immagine. Isomorfismi e
trasformazione di basi in basi. Rango di una applicazione lineare e suoi possibili valori. Teorema fondamentale
dell'omomorfismo. Isomorfismi tra spazi vettoriali (di dim. finita o infinita). Teorema della dimensione per un' applicazione
lineare e sue conseguenze. Relazione di Grassmann (per sottospazi vettoriali) e sue conseguenze. Caso della somma diretta.
Lo spazio vettoriale V/W , una sua base e sua dimensione. Operazioni fra applicazioni lineari. Gli spazi vettoriali HomK
(V,W) . Composizione di applicazioni lineari e l'algebra EndK (V) . Il gruppo lineare su V e lo spazio duale di V.
Applicazioni lineari e matrici associate. Scrittura matriciale di una applicazione lineare. Isomorfismo (fissate le basi) tra
HomK(V,W) e M(m.n , K). Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Cambiamenti di basi negli spazi
vettoriali. Matrice del cambiamento di base, e suo uso. Matrici equivalenti e matrici simili. Rango per righe e rango per
colonne di una matrice. Legame con l'invertibilità. Rango della matrice prodotto di due matrici. Rango di matrici simili e di
matrici equivalenti. Matrici elementari e pseudo-elementari, loro rango, loro invertibilità. Prodotto a sinistra di una matrice
elementare/pseudoelementare per una matrice A. Operazioni elem./pseudoelem. sulle righe di una matrice. Conservano sia il
rango per righe che il rango per colonne. Def. di matrice a gradini e gradinizzazione di una matrice tramite operazioni
elementari e pseudoelementari. Teorema del rango per una matrice qualsiasi Determinazione del rango tramite
gradinizzazione. Gradinizzazione di una matrice quadrata, e sua invertibilità. Determinazione della matrice inversa (se
esistente).
Determinanti. Permutazioni su n elementi, e segno di una permutazione. Trasposizioni. Proprietà. Definizione di
determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante (con dimostrazioni informali o solo accennate). Il
determinante come forma n-lineare alternante sui suoi vettori riga che vale 1 sulla base canonica. (Unicità). Teorema di Bìnet
(solo enunc.). Calcolo di un determinante con il metodo della gradinizzazione. Determinante di una matrice e sua
invertibilità. Determinanti di endomorfismi e di isomorfismi. Caratteristica di una matrice. Teorema della caratteristica. 1°
teorema di Laplace e suo corollario (solo enunciati). Cenno al 2° teor. di Laplace. Matrice dei cofattori e costruzione di A-1
tramite i determinanti.
Sistemi lineari. Sistemi lineari e prime definizioni collegate. Matrici associate. Interpretazione dal punto di vista delle
applicazioni lineari. "Discussione" e "risoluzione" di un sistema lineare. Compatibilità e sottospazio delle soluzioni di un
sistema lineare omogeneo. Dimensione del sottospazio delle soluzioni. Soluzioni di un sistema lineare e dell'omogeneo
associato. Spazio affine delle soluzioni di un sistema lineare. I teoremi di Rouché Capelli e di Cramer. Cenno sulla regola di
Cramer e sulla risoluzione di un sistema col metodo del minore principale. Discussione e soluzione di un sistema con il
metodo di Gauss (gradinizzazione del sistema)
Sottospazi vettoriali e loro equazioni. Caso degli iperpiani e caso generale.
Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo e di una matrice. Prime
proprietà. Loro ricerca. Polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo. Gli autovalori di f sono tutti e soli gli
zeri del polinomio caratteristico. Spettro di un endomorfismo. Polinomi in una indeterminata, loro radici e loro molteplicità.
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore di un endomorfismo. Loro relazione. Autovettori relativi ad
autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Autospazi rativi ad autovalori distinti sono in somma diretta.
Diagonalizzabilità di un endomorfismo e di una matrice. Condizioni di diagonalizzabilità. Ricerca della base di autovettori,
della matrice diagonale e della matrice diagonalizzante.
Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V(R) e sue proprietà. Modulo di un vettore e sue
proprietà. Spazi vettoriali euclidei. Versori, parallelismo e ortogonalità di vettori. Angolo di due vettori. Basi ortogonali ed
ortonormali. Loro esistenza e costruzione tramite il procedimento di Gram Schmidt. Espressione del prodotto scalare e del
modulo in funzione delle coordinare, in una base qualsiasi ed in una base ortonormale. Cambiamento tra basi ortonormali,
matrici ortogonali e loro proprietà. Sottospazi ortogonali, complemento ortogonale di un sottospazio, sue proprietà e sua
dimensione.Prodotto vettoriale in uno spazio vett. euclideo di dim. 3. Sue proprietà. Area di un parallelogramma.
GEOMETRIA
Spazi affini e spazi affini euclidei. Definizione di spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. La relazione di Chasles.
Spazi affini reali e spazi affini euclidei. Dimensione di uno sp. aff. Sottospazi affini e loro direzione/giacitura. Dimensione di
un sottosp. aff. Costruzione di sottospazi aff. passanti per d punti assegnati. Indipendenza (o genericità) di d punti. Spazio
affine di dim d individuato da d+1 punti generici. Condizione di allineamento e condizione di complanarità di punti.
Parallelismo di due spazi affini. Ssp. aff. di dim. h parallelo ad un fissato ssp. aff. di dim h e passante per un punto fissato.
Ortogonalità di sottospazi affini. Ssp. aff. di dim n-h ortogonale ad un fissato ssp. aff. di dim. h e passante per un punto
fissato. Ortogonalità tra rette, tra iperpini e tra rette ed iperpiani. Angoli tra rette ed iperpiani. Intersezione di sottospazi affini
e varie proprietà collegate. Giacitura del sottospazio intersezione (se non vuota) e sue possibili dimensioni. Sottospazi
paralleli, incidenti e sghembi. Determinazione della posizione reciproca di due sottospazi affini. Situazioni possibili nel caso
di parallelismo. Intersezione di un ssp. aff. di dim d con un iperpiano. Possibilità dimensionali per ssp. sghembi. Intersezione
di d iperpiani. Ogni sottosp. aff. di dim d è ottenibile come intersezione di n-d iperpiani. Sistemi di riferimento in uno
spazio affine. Coordinate di P e del vettore P-O. Corrdinate del vettore Q-P. Coordinate del punto medio del segmento PQ.
Rapprtesentazione parametrica (vettoriale e scalare) di un sottosp. affine. Caso di una retta. Rappresentazione cartesiana di
un iperpiano. Condizioni di parallelismo retta/retta , retta/iperpiano, iperpiano/iperpiano. Rappresentazione cartesiana di
sottospazi affini di dimensione d. Spazi affini euclidei con sistema di riferimento ortonormale. Modulo di un vettore, distanza
di due punti e lunghezza di un segmento. Direzione ortogonale ad un iperpiano. Condizioni di ortogonalità ed angoli fra rette,
fra iperpiani e fra rette ed iperpiani. Il teorema di Pitagora. Il concetto di distanza fra due insiemi di punti. Distanza punto
retta e distanza punto iperpiano in uno spazio affine euclideo.
Geometria in A2(R) . A2(R) come spazio affine euclideo canonicamente associato a R2. Sistema di riferimento ortonormale
canonico. Rappresentazioni varie di rette, e passaggi dall'una all'altra. Parallelismo, ortogonalità, angoli fra rette. Intersezioni
di rette. Distanza punto retta. Principali problemi classici della geometria del piano (retta parallela ad una retta data e
passante per un punto, idem per la perpendicolare, piede della perpendicolare, asse di un segmento, rette bisettici di due rette
date, bisettrice dell'angolo acuto/ottuso, studio di un triangolo e sua area, ecc.)
Geometria in A3(R). A3(R) come spazio affine euclideo canonicamente associato a R3. Sistema di riferimento ortonormale
canonico. Rappresentazioni varie di rette e piani, e passaggi dall'una all'altra. Parallelismo, ortogonalità, angoli fra rette, fra
piani e fra rette e piani. Intersezioni. Distanza punto/piano. Principali problemi classici della geometria dello spazio
tridimensionale (retta per un punto "incidente" due rette sghembe, retta per un punto incidente ed ortogonale una retta data,
retta ortogonale ed incidente due rette sghembe assegnate, distanza punto/retta, rette bisettrici di rette incidenti e piani
bisettori di piani, ecc.)
Testi di riferimento
Fhilippe ELLIA - APPUNTI DI GEOMETRIA I - Pitagora Editrice Bologna
Edoardo SERNESI - GEOMETRIA 1 - Bollati Boringhieri
M. ABATE - C. de FABRITIIS - GEOMETRIA ANALITICA CON
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE - McGraw-Hill
Appunti del Docente (parziali)
