Il programma di Erlangen
Ecco il brano conclusivo della conferenza inaugurale di Klein, neoprofessore all’Università di Erlangen: un efficace riassunto delle
posizioni innovative del matematico tedesco circa le metodologie
d’approccio alla geometria.
“Spesso si è accusata la geometria analitica di privilegiare, con
l’introduzione del sistema di coordinate, elementi arbitrari, e questa
accusa riguarda ugualmente ogni metodo per le varietà estese che
caratterizzi il singolo oggetto mediante i valori di variabili. Se questa
accusa era troppo spesso giustificata di fronte al modo insoddisfacente
con cui una volta si maneggiavano i sistemi di coordinate, essa ora
decade in presenza di una trattazione razionale del metodo. Le
espressioni analitiche, che possono nascere, in termini di un gruppo,
analizzando una varietà, devono, a causa del loro significato, essere
indipendenti dal sistema di coordinate, essendo questo scelto a caso, e
si tratta ora di mettere in luce questa indipendenza anche dal punto di
vista formale. Che ciò sia possibile e come ciò possa avvenire lo mostra
l’algebra moderna, nella quale il concetto formale di invariante, del
quale si tratta, è maggiormente sviluppato. Essa possiede una regola di
formazione generale ed esauriente per le espressioni invarianti ed
opera fondamentalmente solo con queste.”
Klein propone di applicare l’algebra alla geometria, ma in una
maniera più generale rispetto a Cartesio: quest’ultimo studia
l’equazione cartesiana che rappresenta un oggetto geometrico (una
curva del piano, ossia una varietà di dimensione 1) rispetto ad un
certo sistema di coordinate. Questo metodo manca di generalità:
cambiando il sistema di riferimento, l’equazione cambia. Le proprietà
geometriche dell’oggetto considerato sono registrate non dalle
proprietà algebriche di una sua singola equazione, ma dalle proprietà
algebriche che tutte le sue possibili equazioni cartesiane hanno in
comune, ovvero le proprietà che sono invarianti per cambiamento di
coordinate. Per individuare queste ultime occorre un metodo generale,
che permetta di cogliere, in un colpo solo, tutte le possibili equazioni
cartesiane. Ad ogni varietà geometrica deve essere associato un
oggetto algebrico che sia insensibile ai cambi di coordinate, ossia al
modo in cui la varietà è collocata rispetto agli assi cartesiani. Questo
oggetto è un gruppo di trasformazioni, ossia un insieme di
corrispondenze biunivoche dello spazio in sé, che possono essere
invertite e combinate a piacere, e che lasciano immutata la forma
della varietà. Un esempio particolarmente semplice di gruppo siffatto,
che da Klein ha preso il nome, è l’insieme delle simmetrie del piano
che lasciano invariato un rettangolo.
D
C
A
B
Gli elementi del gruppo sono quattro:
- la trasformazione identica, che lascia il piano così com’è,
D
C
D
C
A
B
A
B
- le due simmetrie rispetto alle bisettrici delle due coppie di lati
opposti,
D
C
C
D
A
B
B
A
A
B
D
C
D
A
C
B
- e la trasformazione risultante dalla composizione di queste ultime,
che è poi la rotazione di 180° intorno al centro del rettangolo:
D
A
C
B
B
A
C
D
La composizione può avvenire in entrambi gli ordini possibili, la
trasformazione risultante è la stessa.
Inoltre, effettuando composizioni successive di queste trasformazioni,
si ottiene sempre una di queste trasformazioni. Ogni trasformazione è
l’inversa di se stessa: componendola con se stessa si ottiene la
situazione di partenza, il che equivale ad applicare la trasformazione
identica.
Evidentemente, la definizione del gruppo di Klein fa completamente a
meno del sistema di coordinate, e si applica, indifferentemente, ad
ogni rettangolo del piano. È facile rendersi conto che il gruppo di
Klein caratterizza tutte le forme del piano che sono simmetriche solo
rispetto a due assi ortogonali.
Le trasformazioni del gruppo di Klein sono particolari isometrie.
A proposito della differenza tra l’approccio analitico e quello sintetico
alla geometria, Klein nel suo discorso dice:
“Se il metodo sintetico lavora più che altro con l’intuizione spaziale,
conferendo ai suoi primi, semplici sviluppi un enorme fascino, così il
campo dell’intuizione spaziale non è precluso al metodo analitico, e si
possono considerare le formule della geometria analitica come una
espressione precisa e trasparente delle relazioni geometriche. D’altra
parte non si deve sottovalutare il vantaggio che un formalismo ben
impostato può costituire per le ulteriori ricerche, anticipando, in un certo
senso, il pensiero. Ci si deve sempre attenere al principio secondo cui
non si può dare per acquisito un oggetto matematico, finché esso non è
divenuto concettualmente evidente, e andare un po’ avanti seguendo il
formalismo è già un importante primo passo.”
L’astrazione dell’algebra non deve, comunque, far dimenticare la
realtà dell’oggetto geometrico soggiacente, quella geometria “ingenua”,
che tutti conosciamo dalla scuola elementare, che ha per oggetti le
figure geometriche in quanto tali, e non in quanto modelli di relazioni
matematiche astratte. Klein dedica una parte della suo discorso al
“Valore dell’intuizione spaziale”.
“Quando nel testo abbiamo definito l’intuizione spaziale come qualcosa
di temporaneo, intendevamo che ciò dovesse essere riferito soltanto al
contenuto puramente matematico delle osservazioni da formulare. La
intuizione ha, per esso, soltanto il valore di una visualizzazione, che,
tuttavia, è da mettere in grande risalto nel contesto pedagogico. Un
modello geometrico, per esempio, è, da questo punto di vista, molto
istruttivo e interessante.
In maniera ben diversa si pone la questione del valore dell’intuizione
spaziale in sé e per sé. Io lo considero qualcosa di autonomo. Esiste
una geometria vera e propria, che non vuole essere, come le indagini
discusse nel testo, solo una forma visualizzata di indagini astratte. In
essa si tratta di concepire le figure spaziali in tutta la loro realtà
corporea, e (ciò che rappresenta l’aspetto matematico) considerare le
relazioni che soddisfano come evidenti conseguenze dei principi
dell’intuizione spaziale. Un modello – sia esso realizzato e guardato o
solo presentato a gesti – non è, per questa geometria, un mezzo per il
fine, bensì la cosa in sé.”
Nella relatività einsteiniana, le trasformazioni dello spazio-tempo
che legano le descrizioni geometriche di uno stesso evento rispetto a
due osservatori distinti, formano un gruppo di isometrie dello spaziotempo, detto gruppo di Poincaré.
