Esercizi di preparazione olimpica per Geometria
Stage di Sarzana
20 - 22 gennaio 2010
1. Quale dei disegni (figura alla lavagna) rappresenta lo sviluppo di un cubo e
di una sezione piana dello stesso?
(Gara distrettuale 2002)
2. In un cubo di lato unitario, BA ed AE sono due spigoli, mentre C, D, F
sono i simmetrici di B, A, E rispettivamente rispetto al centro del cubo.
Consideriamo i due piani passanti per ABCD e per AEF D. Essi dividono
il cubo in quattro parti. Qual è il volume della parte più grande?
(Gara distrettuale 2005)
3. In un trapezio isoscele una diagonale è lunga 22 cm e forma con la base
maggiore un angolo di π4 . Quanto misura l’area del trapezio?
(Gara distrettuale 1999)
4. Un prisma retto di altezza l ed avente per base un esagono regolare di lato
l viene tagliato con un piano passante per due spigoli paralleli appartenenti
ciascuno ad una delle due basi ma non appartenenti alla stessa faccia. Qual
è l’area della sezione risultante?
(Gara distrettuale 1998)
5. Il diamante si trova a 2 metri dalla parete sud e a 3 metri dalla parete ovest
di una stanza rettangolare le cui pareti nord e sud sono lunghe 4 metri, e
quelle est e ovest 3 metri. Un ladro si cala dal soffitto della stanza e tocca il
pavimento a 1 metro dalla parete sud e 1 metro dalla parete ovest. Deve però
disattivare l’allarme tagliando in un punto qualsiasi un filo che corre lungo
tutto il perimetro della stanza ad altezza costante dal pavimento. Quanto
misura il più breve percorso che il ladro deve compiere per raggiungere prima
un punto qualsiasi di una delle pareti e poi il diamante?
(Gara distrettuale 2009)
6. Quale delle seguenti disequazioni ha come soluzione l’insieme in figura (figura
alla lavagna)?
A) x6 + y 6 ≤ 64
B) |2x| + |y| ≤ 4
D) |y| + |x + 1| + |x − 1| ≤ 4
C) |x + y| + |x − y| ≤ 4
E) x + ||2y| − |x|| ≤ 64
(Gara distrettuale 1997)
1
7. In un trapezio isoscele ABCD di base maggiore AB le diagonali vengono
divise dal loro punto d’incontro O in parti proporzionali ai numeri 1 e 3.
Sapendo che l’area del triangolo BOC è 15, quanto misura l’area dell’intero
trapezio?
(Gara distrettuale 2008)
8. In un giorno di sole una sfera è posata su un terreno orizzontale. In un certo
istante l’ombra della sfera raggiunge la distanza di 10 metri dal punto in cui
la sfera tocca il terreno. Nello stesso istante un’asta di lunghezza 1 metro
posta verticalmente al terreno getta un’ombra lunga 2 metri. Qual è il raggio
della sfera in metri?
(Gara distrettuale 2008)
9. Sia ABC un triangolo rettangolo in A. Sia H il piede dell’altezza da A e
siano J, K le proiezioni di H su AB ed AC rispettivamente. Sapendo che
l’area di AJHK è di 2010 cm2 , quanto vale il prodotto BJ · CK?
(Gara distrettuale 2008)
10. Due circonferenze C1 e C2 di centri A e B rispettivamente sono tangenti
esternamente in T . Sia BD un segmento tangente a C1 in D e sia C un
punto su BD tale che T C è tangente ad entrambe le circonferenze. Se AT è
lungo 80 e BT è lungo 90, quanto è lungo CD?
(Gara distrettuale 2005)
11. In un quadrilatero convesso ABCD si ha AB = BC = CD. Inoltre AC =
BD = AD. Quanto misura l’angolo in D?
(Gara distrettuale 1997)
12. Si scelgano i punti H, K, M sui lati di un triangolo ABC in modo tale che
AH sia un’altezza, BK una bisettrice e CM una mediana. Si indichi con D
l’intersezione tra AH e BK, e con E l’intersezione tra HM e BK. Sapendo
che KD = 2, DE = 1, EB = 3, si dimostri che:
a) HM parallelo ad AC
b) AB = AC
c) AB = BC
(Gara distrettuale 2000)
13. Sia ABC un triangolo tale che AĈB = π3 . Sia M il punto medio del lato AB
e siano H e K i piedi delle altezze che partono da A e da B rispettivamente.
Dimostrare che il triangolo HM K è equilatero.
(Gara distrettuale 2001)
2
14. Sia dato un triangolo ABC. Si indichino con M ed N i punti medi dei lati
AC e BC rispettivamente. Siano inoltre S e T punti sui lati AC e BC
rispettivamente tali che
1
AS = AC
3
1
BT = BC
3
Dimostrare che le bisettrici degli angoli AŜT e B T̂ S si incontrano in un
punto P del lato AB se e solo se il quadrilatero AM N B è circoscrivibile ad
una circonferenza.
(Gara distrettuale 2002)
15.
a) Si dimostri che, se in un triangolo vi sono due altezze di ugual lunghezza,
allora il triangolo è isoscele.
b) Si dimostri che, se in un triangolo vi sono due mediane di ugual lunghezza,
allora il triangolo è isoscele.
c) Sui lati AB e AC di un triangolo ABC si scelgano due punti M , N in
modo tale che AM :AB = AN :AC e si supponga BN = CM ; si dimostri
che il triangolo ABC è isoscele.
(Gara distrettuale 2003)
16. Sia ABCD un rombo, ed E un punto qualunque sulla sua diagonale AC. Sia
F il punto sul segmento BC tale che BF = DE. Dimostrare che:
(AB + BF ) · F C = AE · EC
(Gara distrettuale 2004)
17. Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con AB > AC e sia AH l’altezza
relativa all’ipotenusa. Sulla retta BC si prenda D tale che H sia il punto
medio di BD; sia poi E il piede della perpendicolare condotta da C ad AD.
Dimostrare che EH = AH.
(Gara distrettuale 2005)
18. È data una circonferenza di diametro AB e centro O. Sia C un punto sulla
circonferenza (diverso da A e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC
per O. Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di
C rispetto ad AB.
a) Dimostrare che DO è bisettrice di C D̂B.
b) Dimostrare che il triangolo CDB simile al triangolo AOD.
(Gara distrettuale 2007)
3
19. Sia ABCDEF GHILM N un dodecagono regolare. Sia P il punto di intersezione delle diagonali AF e DH. Sia S la circonferenza passante per A
e per H, congruente a quella circoscritta al dodecagono e distinta da essa.
Dimostrare che:
a) P appartiene ad S;
b) Il centro di S appartiene alla diagonale HN ;
c) La lunghezza di P E è uguale al lato del dodecagono.
(Gara nazionale 2008)
20. Sia P un punto interno ad un triangolo ABC. Le rette AP , BP e CP
,
intersecano BC, CA, AB in A0 , B 0 , C 0 rispettivamente. Ponendo x = PAP
A0
BP
CP
y = P B 0 , z = P C 0 , dimostrare che xyz = x + y + z + 2.
(Gara nazionale 2004)
21. Sia Γ una circonferenza e siano A, B due punti distinti di Γ non diametralmente opposti. Sia P un punto variabile in Γ diverso da A e da B e sia H
l’ortocentro di ABP . Determinare il luogo descritto da H al variare di P .
(Gara nazionale 2006)
22. Sia ABC un triangolo con baricentro G. Sia D 6= A un punto sulla retta
AG tale che AG = GD, e sia E 6= B un punta sulla retta BG tale che
BG = GE. Sia M il punto medio di AB. Dimostrare che il quadrilatero
BM CD è inscrittibile in una circonferenza se e solo se BA = BE.
(Gara nazionale 2007)
4
