Esercizio 1 Considerate un mercato concorrenziale in cui nel breve periodo operano due sole imprese, A e B. La funzione di costo di breve periodo di A è data dalla seguente espressione: CA=2(yA)2 a) Scrivete la funzione di offerta dell’impresa A. MCA = 4 yA yA = p/4 Per trovare la funzione di offerta in questo caso basta applicare la condizione p=MC. P = 4yA b) Supponete che la funzione di offerta dell’impresa B sia espressa dall’equazione yB=p‐2. Scrivete l’espressione analitica della funzione di offerta aggregata Y ottenuta sommando le offerte delle due imprese: Y = yA + yB. per p≥ 2, Y = yA + yB = 5p/4 ‐ 2 per p<2, Y = yA = p/4 c) Supponete che la funzione di domanda aggregata di questo mercato sia data da Y = 22 – (3/4) P. Calcolate il prezzo e la quantità d’equilibrio su questo mercato (Aiuto: il prezzo di equilibrio è maggiore di 2). 3
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p=12; In equilibrio: 22 − p = p − 2 ; 24=2p; 4
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d) Qual è il profitto dell’impresa A in equilibrio? Domanda: Y = 22 − p . Tratto rilevante della funzione di offerta: Y =5p/4‐2 Y=13 Per p=12, l’impresa A produce yA = 12/4=3 TR=12*3=36 TC=2(3)2=18 π=36‐18=18 e) Immaginate ora che lo stato introduca un’imposta sui consumatori pari a 4/3 per unità acquistata. Qual è l’equazione della curva di domanda dopo l’imposta? 88 4
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− Y Funzione di domanda inversa dopo la tassa: p = 28 − Y 3 3
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3
Funzione di domanda dopo la tassa Y = 21 − p 4
Vecchia funzione di domanda inversa: p =
Esercizio 2 Un consumatore/risparmiatore ha le seguenti preferenze intertemporali: U(C0, C1) = C01/2 C11/2 dove C0 e C1 indicano le quantità di uno stesso bene consumate nel periodo presente (periodo 0) e nel periodo futuro (periodo 1), rispettivamente. Supponete che i redditi del consumatore nel periodo presente e nel periodo futuro siano I0=10 e I1=10, rispettivamente. Supponete inoltre che il tasso di interesse sia i=25% e che il prezzo del bene nel periodo presente e nel periodo futuro siano P0=1 e P1=1, rispettivamente. a) Scrivete l’equazione del vincolo di bilancio intertemporale. P0C0 (1+i) + P1C1 = I0(1+i) + I1 cioè 1.25C0 + C1 = 22.5 b) Se non risparmiasse né prendesse a prestito, quale sarebbe il consumo nei due periodi, e quale la sua utilità? Consumerebbe C0 = I0/P0=10 e C1 = I1/P1=10. La sua utilita’ sarebbe pari a U(10,10)=101/2101/2 = 10. c) Se risparmiasse 1 euro, quale sarebbe il suo consumo nei due periodi, e quale sarebbe la sua utilità? Risparmiare 1 euro vuol dire consumare C0 = (I0 – 1)/P0=9 nel periodo presente e quindi C1 = (I1+1+i)/P1=11.25 nel periodo futuro. In questo caso l’utilità sarebbe U(9,11.25)=91/211.251/2 = 10.06. d) Scrivete l’espressione del saggio marginale di preferenza intertemporale. Il saggio marginale di preferenza intertemporale e’ semplicemente il saggio marginale di sostituzione tra il bene presente e il bene futuro. MRS10=MU0/MU1=C1/C0. e) Quale paniere massimizza l’utilità? In base alla vostra risposta, è un risparmiatore o un mutuatario? Il paniere che massimizza l’utilità e’ quello in corrispondenza del quale il saggio marginale di preferenza intertemporale (dato da C1/C0) e’ uguale al valore assoluto della pendenza del vincolo di bilancio intertemporale (dato da 1+i). Quindi abbiamo l’equazione C1/C0= 1.25 con la quale, insieme al vincolo di bilancio intertemporale 1.25C0 + C1 = 22.5, otteniamo C0 = 9 e quindi C1 =11.25. Dunque Francesco e’ un risparmiatore, perche’ C0 = 9 che e’ meno della quantita’ C0 = 10 che avevamo calcolato al punto (b). 1
Esercizio 3 Ruggero deve allocare le 24 ore della sua giornata tra lavoro e tempo libero. Le sue preferenze sono espresse dalla funzione di utilità Cobb‐Douglas U = c 0.375 ⋅ n0.625 dove n e il tempo libero e c il livello consumo. Il prezzo di ciascuna unità di consumo è 1. a) Il salario è w=10. Calcolate quante ore lavora Ruggero, il suo reddito da lavoro, il consumo, e il tempo libero. MRS = w/P Ö (c/n)(0.625/0.375) = 10 VdB Ö cp = wl da cui: c = 10(T‐n) = 240 –10n Il sistema diviene: 0.625c = 3.75n Ö c = 6n c = 240 –10n da cui: 6n = 240 –10n Ö 240 = 16n Ö n* = 15 l* = T – n* Ö 24 – 15 Ö l* = 9 YL = wl* Ö 10(9) = 90 C = YL/P Ö 90 Ruggero lavora l*=9. Il suo reddito da lavoro è wl = 90, il suo consumo è wl/P = 90 b) Supponete ora che il salario sia aumentato a w’=15. Determinate quante ore lavora adesso Ruggero. Ruggero lavorerà esattamente uguale. (c/n)(0.625/0.375) = 15 c = 15(T‐n) = 360 –15n 0.625c = 15(0.375)n Ö c = 9n c = 360 –15n da cui: 9n = 360 –15n Ö 360 = 24n Ö n* = 15 c) Alla luce delle risposte date, determinate l’elasticità dell’offerta di lavoro di Ruggero al salario. L’offerta di lavoro non dipende dal salario, è costante, l’elasticità è nulla. d) Supponete ora che Ruggero non abbia un aumento salariale, ma abbia invece il diritto allo straordinario. In particolare, fino a 8 ore di lavoro il suo salario rimane w=10, mentre al di sopra delle 8 ore il salario orario diventa w’’=20. Disegnate il nuovo vincolo di bilancio di Ruggero. Il vincolo di bilancio diviene una spezzata, con inclinazione maggiore a sinistra del punto n = T – 8 2
Esercizio 4 L’impresa M&V produce un bene utilizzando lavoro (L) e capitale (K) secondo la seguente funzione di produzione: Q=3L+4K 1) Di che tecnologia si tratta? Perché? Dalla funzione di produzione riconosciamo che si tratta di perfetti sostituti ovvero input che l’impresa è sempre disposta a sostituire secondo un rapporto fisso. 2) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica MRTSKL e rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante. MRTS KL =
MPL 3
= MPK 4
Gli isoquanti sono rette parallele con pendenza –3/4. 3) Sapendo che i prezzi dei fattori produttivi sono pL=1 e pK=2, scrivete l’espressione del generico isocosto e rappresentate la corrispondente mappa nel grafico precedente. TC=L+2K Gli isocosti sono rette parallele con pendenza –1/2 TC=pLL+pKK 4) Se l’impresa M&V decide di produrre 16 tavoli, quale combinazione di fattori sceglierà in equilibrio di lungo periodo? Rispondete analiticamente e graficamente. Isoquanto di riferimento: 16=3L+4K Le sue intercette sono (0;4) (16/3;0) Siamo nel caso in cui MRTSKL>pL/pK, l’equilibrio è dunque una soluzione orizzontale (16/3;0), in corrispondenza della quale si utilizza solo fattore lavoro. 5) Raddoppiando la quantità di fattori impiegata, la M&V riuscirebbe a raddoppiare il suo output? Sì, infatti la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti. Questa proprietà può essere facilmente verificata: f(L,K)=3L+4K f(tL,tK)=3tL+4tK=t(3L+4K)=tf(L,K) 3
Esercizio 5 Un’impresa concorrenziale ha a disposizione la tecnologia X = √K√L Il prezzo del fattore lavoro è w = 18. 1) Calcolare la funzione di offerta di breve periodo dell’impresa. X = P/4 2) Assumendo che esistano 100 imprese come quella sopra, calcolare l’offerta di mercato di breve periodo. X = 25P 3) Assumendo che la domanda di mercato è data da X = 280 – 10P, calcolare l’equilibrio di breve periodo. P = 8 X = 200 4) Calcolare surplus del consumatore, surplus del produttore, e surplus totale in equilibrio. SC = 2000 SP = 800 ST = 2800 5) Come cambia la risposta alla (4) se viene introdotta un’accisa di 3 euro sul consumatore? Nuova curva di domanda inversa: P = 25 – X/10. Nuova quantità di equilibrio: X = 178,5 Nuovo prezzo di equilibrio: P = 7,14 La quantità di equilibrio è inferiore e SC, SP, ST sono tutti più bassi. 4
