1 Febbraio - Sezione di Fisica

Esame Scritto, Modulo di Fisica 1, Corso di Chimica e Fisica Generali, per Biotecnologie
1 Febbraio 2012
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Un libro di testo è a disposizione per consultazione. Costanti utili: massa
dell’elettrone me = 9.1 × 10−31 kg, carica elementare e = 1.602 × 10−19 C, costante di Coulomb κ = 8, 99 · 109 Nm2 C−2
Si raccomanda di spiegare in modo conciso ma chiaro il procedimento seguito: risposte del tutto prive di giustificazione
non saranno considerate valide anche se corrette.
Problema 1 (6 punti)
La velocità ~v di una particella in moto nel piano xy è data (in unità SI) da ~v (t) = (7t − 2t2 )î + 8ĵ.
1. Qual è l’accelerazione dopo t = 4 s?
2. Quando (se ciò avviene) l’accelerazione si annulla ?
3. Quando (se ciò avviene) la velocità si annulla ?
4. Quando (se ciò avviene) la velocità ha modulo 10 m/s ?
Problema 2 (9 punti)
Due corpi su di un piano orizzontale, di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg, sono connessi da una molla di costante elastica
k = 160 N/m. Spingiamo il corpo 1 con una forza F = 20 N parallela al piano. A regime, ovvero quando eventuali
oscillazioni sono smorzate e i due corpi non si muovono l’uno rispetto all’altro:
1. Qual è l’accelerazione dei due corpi (trascurando massa della molla, attriti, resistenza dell’aria)?
2. Qual è la compressione della molla?
3. Se spingiamo invece il corpo 2, qual è la compressione della molla?
Problema 3 (10 punti)
Una particella di carica −e (come un elettrone) passa per il centro di una molecola di idrogeno, muovendosi lungo una
traiettoria perpendicolare all’asse congiungente i due nuclei della molecola. La distanza fra i due nuclei è b = 0.7·10−10
m. Si trascuri l’effetto degli elettroni nella molecola e si assuma che i due nuclei non si muovano durante il passaggio
della particella.
1. Quanto vale (direzione e modulo) la forza agente sulla particella quando questa è nel centro della molecola?
2. Quanto vale (direzione e modulo) la forza agente sulla particella quando questa si trova a d = b/2 dal centro
della molecola?
3. In quale punto della sua traiettoria la forza agente sulla particella è massima?
Problema 4 (7 punti)
Un fascio di elettroni, accelerati da una differenza di potenziale di 100 V, penetra in una zona dove esiste un campo
magnetico perpendicolare alla loro velocità. Gli elettroni percorrono una traiettoria di 15 cm di raggio.
1. Qual è la velocità degli elettroni?
2. Quanto vale il campo magnetico?
1
Soluzione
Problema 1
~a(t) = d~v (t)/dt = (7−4t)î da cui ~a(4s) = −9î, ovvero 9 m/s2 in direzione x, verso negativo. L’accelerazione si annulla
per t = 7/4 = 1.75 s. La velocità invece non è mai nulla: la componente lungo y è costante. Il modulo della velocità
2 2
2
2
vale 10 m/s quando (7t − 2t2 )2 + 82 = 102 , ovvero (7t
√ − 2t ) = 36, ovvero (7t − 2t ) = ±6, ovvero 2t − 7t ± 6 = 0.
L’equazione con il segno + ha due soluzioni: t = (7√
± 49 − 48)/4 = (7 ± 1)/4, ovvero t1 = 1.5 s, t2 = 2 s. L’equazione
con il segno − ha una soluzione a t > 0: t = (7 ± 49 + 48)/4 = 4.2 s.
Problema 2
A regime i due corpi si muovono come se fossero un corpo solo, quindi con accelerazione a = F/(m1 + m2 ) = 4 m/s2
(c’è una sola forza esterna). Consideriamo ora il moto dei due corpi separatamente. Il corpo 1 ha equazione del moto
m1 a = F − Fe , dove Fe è la forza elastica esercitata dalla molla. Il corpo 2 ha equazione del moto m2 a = Fe , da
cui Fe = m2 F/(m1 + m2 ) = 12 N. La relazione fra forza elastica e allungamento o compressione x è Fe = −kx,
da cui |x| = 12N/160(N/m) = 0.075 m. Se la forza è applicata all’altro corpo, avremo la stessa accelerazione s ma
m1 a = Fe , m2 a = F − Fe , da cui Fe = 8N e |x| = 0.05 m.
Problema 3
La forza agente sulla particella nel centro della molecola è nulla: sulla particella si esercitano due forze uguali e opposte
da parte dei due nuclei.
A distanza x = b/2, la forza che agisce sui due nuclei è la somma vettoriale delle due forze (attrattive) esercitate dai
nuclei. La componente parallela all’asse della molecola è nulla, quella ortogonale all’asse vale
F = −2
ke2
cos θ
(b/2)2 + x2
p
dove θ è l’angolo con la congiungente fra la particella e uno dei due nuclei. Quest’angolo vale cos θ = x/ (b/2)2 + x2 ,
da cui
ke2 x
.
F (x) = −2
3/2
((b/2)2 + x2 )
√
Sostituiamo x = b/2 e troviamo F = −2ke2 2/b2 = 1.3 × 10−7 N.
La forza è massima quando dF (x)/dx = 0, cioè
!
1
3
2x2
2
−2ke
−
= 0.
3/2
2 ((b/2)2 + x2 )5/2
((b/2)2 + x2 )
√
E’ immediato verificare che ciò avviene per x = b/(2 2).
Problema 4
p
Attraverso una differenza di potenziale V , un elettrone acquista un’energia cinetica mv 2 /2 = eV , da cui v = 2eV /m =
5.9 × 106 m/s.
In un campo magnetico B, che assumiano costante, gli elettroni percorrono un’orbita circolare di raggio tale per cui
mv 2 /r = evB, ovvero B = mv/er = 2.25 × 10−4 T
2