θ - Unicas

Esercitazioni E.1
1. Potenziali e Campi prodotti da distribuzioni di carica;
2. Dipolo Elettrico
2.1 Potenziale e campo prodotto da un dipolo elettrico;
2.2 Interazione di un dipolo con campi elettrici esterni;
2.3 Sviluppo in Multipoli.
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Carmine E. Pagliarone
Problema 1: Distribuzione Continua di Carica
(Anello uniforme di carica)
Determinare il potenziale ed il Campo Elettrico V, E ad una distanza
assiale x da una distribuzione uniforme di carica distribuita su un anello
di raggio R avente carica totale Q. Studiarne l’andamento.
V = k∫
= k∫
dq
r
(x
dq
2
+ R
k
=
(x
2
=
(x
+ R2
kQ
2
+ R
2
2
)
1/ 2
)
1/ 2
)
1/ 2
∫ dq
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Anello Carico Uniformemente
Carmine Elvezio Pagliarone
Noto il potenziale come determiniamo
il campo Elettrico ?
Il Potenziale in Fisica e’ la primitiva del campo cambiata
di segno
r
r
 r ∂V r ∂V r ∂V 

E = −∇V = − i
+j
+k
∂y
∂z 
 ∂x
r r ∂ r ∂ r ∂
∇=i
+j
+k
∂x
∂y
∂z
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Carmine Elvezio Pagliarone
Problema 1: Anello uniforme di carica (cont’d)
(
V = kQ x + R
r
r
E = − ∇V
2
2
r
E (x,0,0) = kQx x 2 + R 2
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(
)
)
-1 / 2
- 3/2
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Problema 2: Disco uniformemente carico
• Calcolare il Potenziale sull’asse di figura ad una
distanza x da un disco uniformemente carico di
raggio R.
Dividere il disco in anelli sottili di raggio r e spessore dr.
(
dq
2 π rdr
=
Q
π R2
 2Q
dq =  2
 R

 rdr

V = k∫
dq
(x
2
+ r2
)
1/ 2
r′ = x + r
dq
V = k∫
r′
2Q
=k 2
R
2
R
∫ (x
0
rdr
2
)
2 1/ 2
+ r2
)
1/ 2
2 kQ
2 kQ
2
2 1/ 2 r = R
V = 2  ( x + r ) 
= 2  ( x 2 + R 2 )1/ 2 − x 
r =0
R
R
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Carmine Elvezio Pagliarone
Problema 2: Disco Uniformemente carico (cont’d)
2 kQ
V = 2  ( x 2 + R 2 )1/ 2 − x 
R
R
= 1 (x
x
2
+ R
2
)
1/ 2
2

 R  
= x 1 + 
 

x

 

1/ 2

1 R2 
≈ x 1 +

2 x2 

kQ
V =
x
sviluppo di Bernoulli
(1 + x )
2
α
=1+α x +
α (α − 1 )
r
r
E = − ∇V
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2!
x 2 + ...
r
2 kQ
E ( x, 0, 0) = 2  x ( x 2 + R 2 ) −1/ 2 − 1
R
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Problema 4: Campo prodotto da un filo carico 8
Dato un filo uniformemente carico, di lunghezza infinita
e distribuzione di carica ?, si determini il campo elettrico
da esso prodotto nello spazio.
Eθ = 0, E z = 0
Φ
E
⇒
E = E ( ρ ) uˆ ρ
= Φ T1 + Φ T 2 + Φ
S
0 + 0 + 2π R ⋅ l ⋅ E ρ =
= 4π k ⋅ l ⋅ λ
Sfruttiamo le simmetrie del problema
Invarianza lungo z:
∂Φ
= 0
∂z
Invarianza lungo q:
∂Φ
= 0
∂θ
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r
2λ
1
λ
E (ρ ) = k
uˆ ρ =
uˆ ρ
ρ
2π ε 0 ρ
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Problema 5: Campo prodotto da un filo carico finito
Risolviamo l’Esercizio questa volta senza ricorrere alla Legge di Gauss
k ⋅ dq
k ⋅ λ dz
d Φ (ρ ) =
=
2
2 1/ 2
(ρ + z )
( ρ 2 + z 2 )1 / 2
V (ρ ) = k ∫
+l/2
−l/2
(
λ dz
= k ⋅ λ ⋅ ln z +
( ρ 2 + z 2 )1 / 2
 l / 2 + ρ 2 + (l / 2 ) 2
= λ k ln 
 − l / 2 + ρ 2 + (l / 2 ) 2

 l / 2 + ρ 2 + (l / 2 ) 2
Φ ( ρ ) = λ k ln 
 − l / 2 + ρ 2 + (l / 2 ) 2

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ρ
2
+ z
2
)
+l/2
−l /2
=








Carmine Elvezio Pagliarone
Dipolo Elettrico
1.
2.
3.
Potenziale e Campo prodotto da un dipolo;
Interazione di un dipolo con campi elettrici;
Sviluppo in Multipoli.
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Carmine E. Pagliarone
Campo Elettrico di un Dipolo sull’asse x
Ey = 0
y
Ex = −k
+Q
a
(
x2 + a2
)
32
= −k
p
(
x2 + a2
)
32
; −k
p
( x >> a )
x3
θ
x
a
2 aQ
z
x
−Q
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Campo e Potenziale di un Dipolo Elettrico
• Determiniamo la forma del Potenziale e del Campo Elettrico
prodotto nello spazio dalla presenza delle cariche Q+ e Q-.
y
+q
d/2
d/2
-q
P
r r
r r
L' = q − R = q 2 + R 2 − 2q ⋅ R
(
L’
1/ 2
d

d
=  + R 2 − 2 R cos θ 
2
4

2
R
r
q
L’’
x
r
−q
Φ=
q −q
;
+
L ' L ''
1/ 2
=
  d  d

= R 1 + 
−
cos
θ


  2 R  R

2
  d  d

r r
L '' = q + R = R 1 + 
 + cos θ 
  2 R  R

2
θ
)
q
−q
q
;
+
1
1
R
d
d
R(1 − cos θ ) 2 R(1 + cos θ ) 2
R
R
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1
2
1
d
d
L ' ≅ R (1 − cos θ ) 2 ; R(1 −
cos θ )
R
2R
1
d
d
L '' ≅ R(1 + cos θ ) 2 ; R(1 +
cos θ )
R
2R
1+
1
2
d
<< 1
R
d
d
cos θ − 1 +
cos θ
qd
2R
2R
; 2 cos θ
1
R
2
  d 2

2
1 −   cos θ 
 R

Carmine Elvezio Pagliarone
Potenziale e Campo Elettrico di un Dipolo
• Definiamo Momento di Dipolo Elettrico il vettore:
r
P ≡ qd rˆq− q+
y
+q
P
L’
r
r r
qd rˆq− q+ ⋅ Rˆ P ⋅ Rˆ P ⋅ R
qd
Φ ; 2 cos θ =
= 2 = 3
2
R
R
R
R
R
d/2
rˆq− q+
θ
L’’
x
d/2
r r
r
E ( x ) = −∇Φ =
r r
r
P⋅R
Φ( x ) = 3
R
r r
r
ˆ
3R P ⋅ R − P
(
)
R3
=
2 P cos θ
P sin θ
ˆ
u
+
uˆθ
ρ
3
3
R
R
-q
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Carmine Elvezio Pagliarone
Cambiamento di coordinate
uˆρ cos (θ ) = xˆ sin (θ ) cos (θ ) + yˆ cos 2 (θ )
−uˆθ sin (θ ) = − xˆ sin (θ ) cos (θ ) + yˆ sin 2 (θ )
y
+q θ
P
ρ
uˆ ρ sin (θ ) = xˆ sin 2 (θ ) + yˆ sin (θ ) cos (θ )
x
z
uˆ y = uˆ ρ cos (θ ) − uˆθ sin (θ )
-q
uˆρ = xˆ sin (θ ) + yˆ cos (θ )
uˆθ = xˆ cos (θ ) − yˆ sin (θ )
uˆ x = uˆρ sin (θ ) + uˆθ cos (θ )
uˆ y = uˆρ cos (θ ) − uˆθ sin (θ )
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uˆθ cos (θ ) = xˆ co s 2 (θ ) − yˆ cos (θ ) sin (θ )
uˆ x = uˆ ρ sin (θ ) + uˆθ cos (θ )
r
∂
∂
∂
∇ = uˆ x
+ uˆy
+ uˆz
∂x
∂y
∂z
r
∂
1 ∂
∂
∇ = uˆρ
+ uˆθ
+ uˆ z
∂R
R ∂θ
∂z
Carmine Elvezio Pagliarone
Potenziale e Campo Elettrico di un Dipolo
r r
r
P⋅R
Φ( x ) = 3
R
y
+q θ
P
ρ
x
z
-q
uˆρ = xˆ sin (θ ) + yˆ cos (θ )
uˆθ = xˆ cos (θ ) − yˆ sin (θ )
uˆ x = uˆρ sin (θ ) + uˆθ cos (θ )
uˆ y = uˆρ cos (θ ) − uˆθ sin (θ )
r
r r
∂
∇ = uˆρ
+ uˆθ
P ⋅ R P cos (θ )
Φ= 3 =
∂R
R
R2
r
r
1 ∂  P cos (θ ) 
∂  P cos (θ ) 
ˆ
E = −∇Φ = −uˆρ
u
−

 θ

 − uˆ z
R ∂θ  R 2 
∂R  R 2 
 2 P cos (θ ) 
 P sin (θ ) 
ˆ
u
= uˆρ 
+
 θ

3
R3


 R

r r
E(x) =
=
r r
r
ˆ
3R P ⋅ R − P
(
)
3
=
3uˆ ρ ( P cos (θ ) ) − Puˆ y
3
∂  P cos (θ ) 

=
∂z  R 2 
=
R
R
3uˆ ρ ( P cos (θ ) ) − P ( uˆ ρ cos (θ ) − uˆθ sin (θ ) )
3
R
2 P cos θ
P sin θ
ˆ
=
u
+
uˆθ
ρ
3
3
R
R
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1 ∂
∂
+ uˆ z
R ∂θ
∂z
=
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Dipolo Elettrico
Due cariche elettrice uguali ma di carica
opposta +Q e –Q separate da una distanza d
hanno un Momento di dipolo Elettrico p:
r
p = p = Qd
il vettore p punta da Q- a +Q+
La Molecola dell’ H2O è polare:
Qnetta = 0
r r r
p = p1 + p2 ≠ 0
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Dipolo in Campo Elettrico: Forza
r
r+
r−
r+ r−
F = qE − qE = q E − E
(
F=qE
l
−q
θ
∞
f ( x) = f ( x0 ) + ∑ ( x − x0 )
+
j =1
(
p
−q
j
-
(
r+ r−
E −E
) = ∑( x
3
x
+
−x
−
k =1
)
x
)
djf
dx j
x0
r
r r
∂Ex
ˆxk + O(| d |) = d ⋅∇Ex
∂xk
3
r r
r
r+ r−
E − E = ∑ d ⋅∇Ek xˆk + O(| d |)
)
F=−qE
k =1
(
)
3
r
r
r+ r−
∂Ex
Fx = q E − E = q ∑
d k xˆk + O(| d |) =
k =1 ∂xk
(
)
r r
∂E y
 ∂Ex
 ∂Ex
∂E x
∂E x 
∂Ez 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= q x
+y
+z
+y
+z
 = q ( xx + yy + zz )  x
 = qd ⋅∇Ex
∂
x
∂
y
∂
z
∂
x
∂
y
∂
z




r
3
r r
F = ∑ j =1 p ⋅∇E j xˆ j
(
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)
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Dipolo in Campo Elettrico: Momento Torcente
F=qE
l
θ
−q
+
p
−q
-
(
3
r r
r
r+ r−
E − E = ∑ d ⋅∇Ek xˆk + O(| d |)
)
k =1
(
)
r
r
r
r
r





d
d
d  r+ r−
r
+
−
τ =   × qE +  −  × −qE =  q  × E + E =
2
 2
 2
r
r
r+ r−
r −  pr  3 r r
p
 p   r−


=   × 2 E + E − E  = 2   × E +   × ∑ d ⋅∇Ek xˆk

2 
2
 2  k =1
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
F=−qE
se il campo Elettrico varia poco tra i punti nei quali sono disposte
le due cariche si ha:
r
∇Ek = 0 ⇒
e quindi:
∑(
3
k =1
r r
d ⋅∇Ek xˆk = 0
)
r r r
τ = p× E
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Dipolo in Campo Elettrico: Energia
F=qE
l
θ
−q
+
p
−q
dL = τ dθ
τ = − pE sin θ
dL = − pE sin θ dθ = − dU
U
θ
U0
θ0
U − U 0 = ∫ dU ' = pE ∫ sin θ dθ ' = − pE cos θ + pE cos θ 0
-
F=−qE
Definiamo il valore dell’Energia potenziale U=0 per θ=π/2 :
r r
U = − pE cos θ = − p ⋅ E
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Dipolo Elettrico in un Campo E
• Dato un Dipolo di Momento p= qd immerso in
un campo Elettrico E si ha quanto
segue:
r
3
r r
(
)
– La forza agente sul dipolo e’: F = ∑ j =1 p ⋅∇E j xˆ j
La Forza e’ nulla se il Campo Elettrico e’ costante;
– Se il campo e’ costante F= 0 ma su di esso agira’
un Momento Torcente:
r r r
τ = p× E
– L’Energia del Dipolo e’:
r r
U =− p⋅E
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Sviluppo in Multipoli (I)
• Problema: Determinare il campo prodotto da una
distribuzione di carica contenuta in un volume V
P
x
x’
O
1
1 x' cosθ 1
x '2
2
+ 3 cos θ −1 3 + ...
r r = +
2
x − x' x
x2
x
(
P’
r
K
Φ( x ) =
x
r 3
K
ρ
(
x
'
)
d
x
'
+
∫V
x2
r
K
3
ρ
(
x
'
)
x
'
cos
θ
d
x
'
+
∫V
x3
Momento di Monopolo (Scalare)
r
r
A = ∫ ρ ( x ' )d 3 x ' = QTot
V
Momento di Dipolo (Vettore)
B =∫
V
r
r
ρ (x' ) 3
Φ ( x ) = K ∫ r r d x'
V x − x'
∫
V
)
r
x '2
3 cos 2 θ − 1 ρ ( x ' )d 3 x' + ...
2
(
)
Momento di Quadrupolo (Tensore=Matrice)
C=
∫
V
r
x'2
3 cos 2 θ − 1 ρ ( x ' )d 3 x'
2
(
)
r 3
x' cosθρ ( x ' )d x'
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Sviluppo in Multipoli (II)
P
x
x’
O
P’
r
K
Φ( x ) =
x
r 3
K
+
ρ
(
x
'
)
d
x
'
∫V
x2
r
K
3
+
ρ
(
x
'
)
x
'
cos
θ
d
x
'
∫V
x3
Se QTot? 0 a grande distanza si ha che:
Se QTot= 0 allora:
Se QTot= 0 e PR= 0 allora:
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∫
V
r
x'2
3 cos 2 θ − 1 ρ ( x ' )d 3 x' + ...
2
(
)
QTot
R
r r
P⋅R
Φ: 2
R
Φ:
Φ:
Qij
R3
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