Esercitazioni E.05

Esercitazioni E.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Campo magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente;
Momento Magnetico di un elettrone atomico;
Campo Magnetico prodotto da un solenoide finito e infinito;
Bobina rotante in un Campo Magnetico costante (Dinamo);
“Paradosso” di Feynmann;
Instabilità dell’Atomo Classico.
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine E. Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da una Spira (I)
•
Data una Spira percorsa da una corrente I si determini il Campo Magnetico da
essa prodotto nello spazio. Si calcoli quindi il campo lungo l’asse z.
P
z
r
φ
y
r
r I dl
A = Ñ∫
c r
r r r
B =∇× A
r
dl = ( −a sin ϕ dϕ , a cos ϕ dϕ , 0 )
r
r = ( x − a cos ϕ , y − a sin ϕ , z )
1/ 2
r
r =  ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ )2 + z 2 
r
r I dl I 2π
−a sin ϕ dϕ
I 2π
a cos ϕ dϕ
ˆ
A = Ñ∫
= ∫
x
+
yˆ
1/
2
∫
c r
c 0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 
c 0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 1/ 2




x
r
∂A
 ∂A ∂A 
∂A
Az = 0 ⇒ B = − y xˆ + x yˆ +  y − x  zˆ
∂z
∂z
∂y 
 ∂x
∂Ay
∂ 2π I
−a cos ϕ dϕ
=
∂z ∂z ∫0 c ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 1/ 2


−1/ 2
I 2π
∂
I 2π
z cos ϕ dϕ
= −a ∫ cos ϕ ⋅ ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  dϕ = a ∫
c 0
c 0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  3/ 2
∂z


Bx = −
=
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da una Spira (II)
P
z
r
φ
x
r
r I dl
A = Ñ∫
c r
r r r
B =∇× A
r
∂Ay
 ∂Ay ∂Ax 
∂A
−
Az = 0 ⇒ B = −
xˆ + x yˆ + 
 zˆ
∂z
∂z
∂y 
 ∂x
y
r I  2π
−a sin ϕ dϕ
A = ∫
xˆ +
c  0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 1/ 2



∫
2π
0

yˆ 
1/
2

( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 

a cos ϕ dϕ
∂Ax I ∂ 2π
−a sin ϕ dϕ
I 2π
z sin ϕ dϕ
=
=
By =
a
∂z c ∂z ∫0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2 1/ 2
c ∫0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ )2 + z 2  3/ 2




∂Ay ∂Ax
I 2π −( x − a cos ϕ ) cos ϕ − ( y − a sin ϕ ) sin ϕ
Bz =
−
=a ∫
dϕ =
∂x
∂y
c 0  ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  3 / 2


I 2π
a − ( x cos ϕ + y sin ϕ )
=a ∫
dϕ
3/ 2
0
2
2
2
c
( x − aco s ϕ ) + ( y − a sin ϕ ) + z 
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Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da una Spira (III)
I 2π
z cos ϕ dϕ
c ∫0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  3/ 2


I 2π
z sin ϕ dϕ
By = a ∫
c 0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  3/ 2


I 2π
a − ( x cos ϕ + y sin ϕ )
Bz = a ∫
dϕ
c 0 ( x − aco s ϕ ) 2 + ( y − a sin ϕ ) 2 + z 2  3/ 2


P
z
Bx = a
r
φ
y
x
Determiniamo ora il campo lungo l’asse z
Bx = a
I 2π z cos ϕ dϕ
Iaz
=
c ∫0 a 2 + z 2 3/ 2 c a 2 + z 2
By = a
I
c
(
∫
(
z sin ϕ dϕ
2π
0
)
(a
2
+ z2
I 2π
a
Bz = a ∫
c 0 a2 + z 2
(
)
)
3/ 2
3/ 2
=
)
∫
3/ 2
0
Iaz
(
c a2 + z2
dϕ =
)
3/ 2
2π a I
2π
∫
cos ϕ dϕ =0
2π
0
2
(
c a2 + z 2
)
sin ϕ dϕ =0
Bx (0, 0, z ) = By (0, 0, z ) = 0
Bz (0, 0, z ) =
(
2π a 2 I
c a +z
2
2
)
3/ 2
3/ 2
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine Elvezio Pagliarone
Relazione classica tra Momento Angolare e Momento Magnetico
•
Si consideri una particella di carica q che ruoti con velocità v su un’orbita
circolare di raggio R. Determinare il momento magnetico M.
ν=
L
1
T
ω=
2π
= 2πν
T
−
µ
r
r
µ = IA
r r
U = −µ ⋅ B
r r r
τ = µ×B
dQ
q
= ρv =
v
dt
2π R
v
mvR
q
2
µ = IA = q
πR = q
=
L
2π R
2m 2m
q
µ=
L
2m
L = mvR
I=
questa è la relazione classica fra momento angolare e momento
magnetico che vale per I moti orbitali anche su scala Atomica.
µe =
qe
L
2m
h
L = me ve RA = n
= nh
2π
e
h = Magnetone di Bohr
2m
= 9.274 × 10−24 J / T
µB =
Questa relazione cade in difetto per i momenti magnetici intrisechi degli elettroni e delle
altre particelle elementari
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da un Solenoide Finito (I)
BxSpira (0, 0, z ) = BySpira (0, 0, z ) = 0
I
Spira
z
B
(0, 0, z ) =
(
2π a 2 I
c a2 + z 2
)
3/ 2
B
Impacchettando in maniera più stretta le spire ci sarà una cancellazione dei campi tra le spire
I
B
Incominciamo determinando il Campo Magnetico lungo l’asse z
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Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da un Solenoide Finito (II)
L → Lunghezza del Solenoide
a → Raggio del Solenoide
r
z → Punto nel quale calcoliano B
ξ → Posizione dell ' elemento dξ
n → Numero delle Spire
i → Corrente che attraversa il solenoide
Bx = By = 0
x
L/2
L/2
dξ
ξ
r
L/2
L/2
B = zˆ ⋅ ∫ dB = zˆ ⋅ ∫
−L/ 2
−L/ 2
O
θ2
θ1 a
z
a
2π a 2 ni ⋅ dξ
2
c a2 + ( z − ξ ) 


3/ 2
dB =
z
Bz =
(
2π a 2 I
c a2 + z2
)
3/ 2
2π a 2 ni ⋅ dξ
2
c a2 + ( z − ξ ) 


3/ 2
L/2
d (ξ − z )
2π a 2 ni L / 2
dξ
ˆ
= zˆ ⋅
=
z
⋅
K
∫− L / 2  2
2 3/ 2
c ∫− L / 2  a 2 + z − ξ 2  3/ 2
a + (ξ − z ) 
(
)



2π a 2 ni
K=
c
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Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da un Solenoide Finito (III)
2π a 2 ni
K=
c
x
L/2
L/2
dξ
θ2
ξ
θ1 a
z
O
a
1/ 2
2
 2 L
 
a +  − z  
2
 

cos θ1 =
L
−z
2
1/ 2
z
2
 2 L
 
a +  + z  
2
 

cos (π − θ 2 ) =
L
+z
2
L/2
r
L/2
B = zˆ ⋅ K ∫
−L/ 2
d (ξ − z )
2 3/ 2
 a + (ξ − z ) 


2
= zˆ ⋅ K
ξ −z
=
2 1/ 2
a  a + (ξ − z ) 


2
2
−L/ 2


L/2− z
L/2+ z
2π a ni 
 2π ni
= zˆ ⋅
+
=
( cos θ1 − cos θ 2 ) ⋅ zˆ
ca 2   a 2 + L / 2 − z 2 1/ 2  a 2 + L / 2 + z 2 1/ 2 
c
(
)
(
)  
 

2
r
2π ni
B (0, 0, z ) =
( cos θ1 − cos θ 2 ) ⋅ zˆ
c
Per un Solenoide infinito si avrà: θ1 → 0, θ 2 → π
r
4π ni
B (0, 0, z ) =
⋅ zˆ
c
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Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da un Solenoide Infirnito (I)
Sfruttiamo le Simmetrie del probelma per determinare B all’interno e all’esterno
Bx = By = 0
Bϕ = Bρ = 0
B
∂B ∂B
=
=0
∂ϕ ∂z
I
L
4
5
8
7
6
B5l1 + B6l2 − B 7 l1 − B8l2 = B5l1 − B7l1 =
B5 =
r r 4π
Ñ∫ B ⋅ dl = c I
B1l1 + B2l2 − B 3 l1 − B4l2 = B1l1 − B 3 l1 = 0
4π nl1i
c
4π nl1i 4π nl1i
4π ni
⇒ B7l1 =
−
=0
c
c
c
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1
3
2
B1 ≡ Bz = B 3
r
B ( x, y , z )
( x2 + y 2 )< a2
=
4π ni
zˆ
c
B7 = 0
r
B ( x, y , z )
( x2 + y2 ) > a2
=0
Carmine Elvezio Pagliarone
Campo Magnetico prodotto da un Solenoide Infinito (II)
r
B=0
r 4π ni
B=
zˆ
c
B
r
B=0
Dato un Solenoide di lunghezza infinita costituito da n avvolgimenti per unità
di lunghezza e percorso da una corrente i si ha che
1) Il Campo Magnetio al suo interno è costante:
r
B ( x, y , z )
( x2 + y 2 )< a2
=
4π ni
zˆ
c
2) Il campo Magnetico all’esterno del solenoide è nullo:
r
B ( x, y , z )
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( x2 + y2 ) > a2
=0
Carmine Elvezio Pagliarone
Esercizio: Dinamo
•
Un pacchetto di N spire rettangolari di area A e resistenza totale R è posta tra le
espansioni di un elettromagnete ed è tenuto in movimento da una forza esterna:
–
–
–
calcolare la fem indotta e la corrente che circola nelle spire;
Determinare la potenza media dissipata per effetto Joule;
Mostrare che essa è uguale alla potenza meccanica spesa;
θ=ωt
B
Φ B = ANB cos ωt
dΦB
ε 0 ≡ ω NAB
ε =−
= ω NAB sin ωt ≡ ε 0 sin ωt
dt
ε ε0
ε 02
2
I = = sin ωt
P Joule (t ) = I R = sin 2 ωt
R R
R
r
r
µ ≡ NIA
r r r
m =µ×B
r r
ε
ε
ω
r
2
m = NI A × B = NAB 0 sin ωt Aˆ × Bˆ = NA 0 B sin 2 ωt = ( NAB ) sin 2 ωt
R
R
R
L
2π
questo momento deve essere equilibrato dal
P
=
T
=
momento esercitato dalla turbina:
T
ω
dLMec = τ dθ
ω
LMec
2π
LMec = ∫ τ dθ
r
r
τ =−m
0
ω
πω
2 2π
2
= ( NAB ) ∫ sin 2 θ dθ =
NAB )
(
0
R
R
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1
2
( NABω )
2R
1
2
=
NAB
ω
(
)
2R
PMec =
Pjoule
Carmine Elvezio Pagliarone
Esercizio: “paradosso” di Feynman
• Su un disco realizzato con materiale non conduttore sono
disposte N biglie. Il disco è libero di ruotare. All’istante t=0 nel
solenoide circola una corrente I. Al tempo t> 0 apriamo il
circuito portando la corrente I a zero. Cosa succede al disco ?
r r
Φ B = ∫ B ⋅ dA
Α
R
Σ
t=0
t>0
Φ B = kost
Φ B = Φ B (t )
ü B è costante fem=0
ü B va a zero
ü ΦB decresce nel tempo
ü sul disco A ppare una f.e.m.
r →
dΦ B
= − ∫ E ⋅ ds = − 2π rE
Γ
dt
ü su ogni pallina F=qE
(tangente ad A)
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Carmine Elvezio Pagliarone
Effetto Hall (I)
Sia dato un conduttore in un Campo Magnetico uniforme sottoposto ad
una differenza di potenziale trasversale al campo magnetico.
By
y
Jx
z
La Forza Magnetica che agisce sulle cariche: F = q vd x B farà si che
le cariche incomincino ad accumularsi sui bordi del conduttore.
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
L’accumulo di carica produrra una Campo Elettrico via via crescente
che si opporrà all’ulteriore drift di cariche sui bordi del conduttore:
r
r r r
F = q E + v × B = ( qEz + qvx By ) zˆ = 0
(
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)
Carmine Elvezio Pagliarone
x
Effetto Hall (II)
y
w
t
+
+
Ez
Bz
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
x
z
−
Jx
r
r r r
F = q E + v × B = ( qEz + qvx By ) zˆ = 0
(
vd = −
Ez
By
J x = nqvd = −nq
)
Ez
By
E
I = twJ x = −nq ⋅ tw z
By
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VHall = Ez w
nq = −
By I
tw ⋅ Ez
=−
IBy
tVHall
Carmine Elvezio Pagliarone
La CED è una Teoria “corretta” della natura ? J
•
Consideriamo l’Atomo di Idrogeno. Classicamente esso è costituito da un
protone interagente coulombianamente con un elettrone.
Se le cariche in moto accelerato non irradiassero l’Eq. del Moto sarebbe:
e2 r
r&&
mr = − 3 r
r
v
m
r
F
Si è verificata altresì, sperimentalmente, la correttezza della Legge di
Larmor sull’irraggiamento EM di cariche in moto accelerato:
2 e2 r 2
P=− 3 a
3c
L’ Equazione del moto va pertanto riformulata come segue:
e2 r
r&&
r&&
mr − mτ r = − 3 r
r
La scrittura di una Equazione per il moto delle cariche che tenga conto delle perdite
per irraggiamento non è una cosa triviale da ottenere. Pertanto ci acconteremo di
risolvere il problema in maniera approssimata dinamicamente.
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine Elvezio Pagliarone
La CED è una Teoria “corretta” della natura ? (II)
v
v 2 (r )
e2
1 ke2
m
= k 2 ⇒ E (r ) =
r
r
2 r (t )
m
r
e2
ma (r ) = k 2
r
F
ke 2
⇒ a(r ) =
mr 2 (t )
ke 2 1
a(r ) =
m r 2 (t )
2 e2 r 2
2 e 2  ke 2 
2 k 2 e6 1
P=− 3 a =− 3 2  =−
3c
3 c  mr (t ) 
3 m2 c3 r 4 (t )
2
1 ke 2
E (r ) =
2 r (t )
dE
dt
2 k 2 e6 1 dE
ke 2 1 dr
P=−
=
=−
2 3 4
3mc r
dt
2 r 2 dt
P=
dE d  1 ke 2  ke 2 
1 dr (t ) 
= 
=
−



dt dt  2 r (t )  2  r 2 (t ) dt 
4 ke4 1 dr
=
2 3 2
3mc r
dt
FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004-2005
Carmine Elvezio Pagliarone
La CED è una Teoria corretta della natura ?
v
m
r
4 e4 1 dr
=
2 3 2
3mc r
dt
4  e2 
c 2 
3  mc 
F
2 τ
∫ dt =
0
⇒
(III)
4 e4
2
=
dt
r
dr
2 3
3mc
0
∫
r 2 dr
RH
e2
Re =
= Raggio Classico dell ' elettrone = 2.8 fm
mc 2
RB = Raggio di Bohr = 0.53 ⋅10−10 m
4 2
1 3
1 RB3
(0.53 ⋅10−10 m)3
cRe τ = RB ⇒ τ =
≈
≈
2
−15
2
8
−1
3
3
4 c ⋅ Re 4 ⋅ (2.8 ⋅10 m) ⋅ 3 ⋅10 ms
(0.53)3
−8
−11
≈
10
≈
1.6
⋅
10
s
s
2
12 ⋅ (2.8)
τ ≈1.6 ⋅10−11 s
Se L’Elettrodinamica Classica (CED) fosse una teoria corretta della natura allora non
esisterebbero atomi stabili ovvero con vite medie >> vita dell’uomo.
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Carmine Elvezio Pagliarone