Lezioni L.03

Lezioni L3.a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Flusso attraverso una superficie;
Scalari, Pseudoscalari, Vettori e Pseudovettori;
Campi Scalari e Campi Vettoriali ed operatori;
Gradiente, Divergenza, Rotore, Laplaciano;
Teorema dei Campi Conservativi;
Teorema della divergenza di Gauss;
Teorema di Stokes;
Teorema di Gauss (10 Eq. di Maxwell);
Rot E=0
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Carmine E. Pagliarone
Flusso di un vettore F E
Consideriamo una superficie piana nello spazio; e' possibile descriverla introducendo
r
il vettore superficie A avente come modulo l' area della superficie e verso e dire
zione perpendicolare alla superficie medesima.
Dato un campo vettoriale
E, il flusso del campo E
attraverso la superficie A
e’ definito come:
r r
Φ E = E ⋅ A = EA⊥ = EA cos ϑ
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Flusso di E attraverso una superficie
r
r
Φ E = ∑ Ei ⋅ ∆ Ai
n
i =1
r
? Ai → 0
ΦE =
r r
E ⋅ dA
Area
r
dA e' un elemento di superficie infinitesimo
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Flusso attraverso una superficie chiusa
una superficie chiusa divide lo spazio in due
regioni (interna ed esterna alla superficie).
Per definizione la direzione dell’elemento di
area dA e’ sempre perpendicolare ed
uscente dalla superficie.
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Campo Vettoriale esterno ad
una superficie chiusa
Il flusso netto è zero perchè ogni linea di campo
che entra nella superficie è poi uscente.
Dimostrarlo !
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Carica netta all’interno della superficie
Una carica netta (-2Q + Q)= -Q e’ contenuta all’interno della superficie
A, producendo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie
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Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I
• Prodotto Scalare: Applicazione che va dallo spazio prodotto
R3xR3 in R tale che:
r r
r r
3
A, B ≡ A ⋅ B = ∑ j =1 Aj B j
• Norma di un Vettore: Applicazione che va dallo spazio dei
vettori R3 nello spazio dei Reali positivi R+ definito come:
r
A ≡
r r
A, A =
∑
2
3
j =1
A
j
• Prodotto Vettore: Applicazione che va dallo spazio prodotto
R3xR3 nello spazio dei vettori R3, definito dalla relazione:
xˆ
r r
A × B ≡ Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
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Prodotto Scalare e Prodotto Vettore II
r r
r r
r r
j =3
A, B ≡ A ⋅ B = ∑ j =1 Aj B j = A B cos θ AB
xˆ
r r
A × B ≡ Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az = uˆ AB
Bx
By
Bz
uAB
r r
A B sin θ AB
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A
θAB
B
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Inversione del sistema di coordinate
z
x’
P(x,y,z)
P
y’
y
x
z’
℘( P ( x, y , z ) ) = P (− x, − y , − z )
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Scalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori
• Scalare:
Scalare elemento appartenente ad R invariante per Inversione
del sistema di coordinate;
• Pseudoscalare:
Pseudoscalare elemento appartenente ad R che cambia
segno per inversione del sistema di coordinate
• Vettore:
Vettore Elemento dello spazio R3 che cambia segno per
inversione del sistema di coordinate;
• Pseudovettore:
Pseudovettore Elemento dello spazio R3 che non cambia
segno per inversione del sistema di coordinate;
ESERCIZIO
Dimostrare che dati due qualsiasi vettori nello spazio:
• il loro prodotto scalare è commutativo;
commutativo
• il loro prodotto scalare da sempre uno scalare;
scalare
• il loro prodotto vettoriale è anticommutativo;
anticommutativo
• il loro prodotto vettoriale da sempre uno pseudovettore;
pseudovettore
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Operatori Matematici (I)
• Nabla
r  ∂
∂
∂ 
∇ ≡  xˆ + yˆ + zˆ 
∂y
∂z 
 ∂x
• Gradiente:
Gradiente Operatore che va dallo spazio dei Campi Scalari
nello spazio dei Campi Vettoriali, definito dalla relazione:
r
 ∂Φ
∂Φ
∂Φ 
ˆ
ˆ
∇Φ = grad Φ ≡ 
x+
y+
zˆ 
∂y
∂z 
 ∂x
• Divergenza:
Divergenza Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettoriali
nello spazio dei Campi Scalari, definito dalla relazione:
r  ∂Ax ∂Ay ∂Az 
r r
∇ ⋅ A = div A ≡ 
+
+

∂
x
∂
y
∂
z


• Rotore:
Rotore Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettoriali nello
spazio dei Campi Pseudovettoriali, definito dalla relazione:
xˆ
yˆ
zˆ
r
r r
∇ × A = Rot A ≡ ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z
Ax
Ay
Az
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Formule di calcolo vettoriale
• Alcune proprietà dei Prodotti Scalari e Vettoriali:
r r r
r r r
r r
a ⋅ b × c = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ a × b
r r r
r r r r r r
a × b ×c = ( a ⋅ c ) b − a ⋅ b c
r r r r
r r r r
r r r r
a × b ⋅ c × d = (a ⋅ c ) b ⋅ d − a ⋅ d b ⋅ c
( )
( )
( )( )
(
(
(
)
)
) (
)( )
• Alcune Proprietà dell’Operatore Nabla:
r r
∇ × ∇ψ = 0
r r r
∇⋅ ∇× A = 0
r
r r r
r r r
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
r
r r
r
r r
∇ ⋅ ψ A = A ⋅∇ψ + ψ ∇ ⋅ A
r
r
r
r
r r
∇ × ψ A = ∇ψ × A +ψ ∇ × A
( )
( )
( )
( )
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(
)
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Operatore di Laplace (laplaciano)
• L’operatore di Laplace o laplaciano e’ una
applicazione che va dallo spazio dei campi scalari
nello spazio dei campi scalari definito come
r r  ∂ ) ∂ ) ∂ )  ∂ ) ∂ ) ∂ )
∆ = ∇ ⋅ ∇ =  x + y + z  ⋅  x + y + z  =
∂y
∂z   ∂x
∂y
∂z 
 ∂x
2
2
2
∂
∂
∂
= 2+ 2+ 2
∂x ∂y ∂z
2
2
2
r r
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ
∆Φ = ∇ ⋅ ∇Φ ≡
+ 2 + 2
2
∂x
∂y
∂z
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Operatori Matematici II
• Laplaciano (applicazione che va da un Campo Scalare in un
campo Scalare):
r r
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
∆Φ = ∇ ⋅ ∇Φ ≡
+ 2 + 2
2
∂x
∂y
∂z
• Dalambertiano (applicazione che va da un Campo Scalare in
un campo Scalare):

1 ∂2 
WΦ ≡  ∆ − 2 2  Φ
c ∂t 

Il Dalambertiano esprime una generica equazione la cui soluzione
è un’onda o più in generale un fenomeno ondulatorio:
WΦ = 0 WΦ = f
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Laplaciano e Dalambertiano di Campi Vettoriali
• L’operatore di Laplace può essere generalizzato in
modo da agire anche sui campi vettoriali:
r  ∂2
∂2
∂2
∆E =  2 + 2 + 2
 ∂x ∂y ∂z
r
E =

3
= xˆ ∆Ex + yˆ ∆E y + zˆ ∆E z = ∑ xˆ j ∆E j
j =1
• Di conseguenza è possibile scrivere il dalambertiano per
un campo vettoriale nella maniera seguente:
r 
1 ∂2  r 3
W E ≡  ∆ − 2 2  E = ∑ xˆ j ( W E j )
c ∂t 
j =1

Teorema di Gauss della Divergenza
• Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l’integrale sul
volume della divergenza del campo E e’ uguale al
flusso del campo attraverso la superficie che ne
delimita il volume.
ΦE =
r r
∫ E ⋅ dA =
Superficie
r
∫ div E dV
Volume
r r  ∂E x ∂E y ∂E z 

∇ ⋅ E ≡ 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
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Teorema di Stokes
• Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l’integrale
lungo una curva chiusa di C e’ uguale al flusso del
Rot C attraverso la superficie (A) delimitato dalla
curva chiusa in oggetto.
∫
L
r r
C ⋅ dl =
r
dA '
r
dl
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∫
A
r
r r
(∇ × C ) ⋅ dA '
xˆ
yˆ
zˆ
r r
∇ × C ≡ ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z
Cx
Cy
Cz
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Legge di Gauss per il Campo Elettrico
• Il Flusso del Campo Elettrico F E attraverso una
superficie chiusa contenente una carica netta Qtot
e’ proporzionale a Qtot.
r r r
q
ˆ
E ⋅ dA = E ⋅ ndA = K 2 cos ϑ dA
R
cos ϑ dA = R 2 d Ω
r r
Q cos α
Q 2
Φ E = Ñ∫ E ⋅ dA = Ñ∫ K
dA = K 2 R Ñ∫ d Ω = 4π KQ
2
R
R
• F E non dipende:
• dalla posizione delle cariche all’interno della superficie;
• La forma della superficie.
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Esempio:
• Qual e’ il flusso del campo
elettrico F E prodotto da
una carica di un 1.0 C
posta al centro di una
sfera di 1.0 m ?
Domande:
Cosa succede al Flusso se la sfera viene
– dimezzata ?
– raddoppiata ?
– se la carica viene posta in un’altra posizione ?
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Carica Q posta nel centro di una Sfera
r
r r r
Φ E = ∫ E ⋅ dA = (E ⊥ dA, E = E(r)) =
= E ∫ dA
(
)
kQ
Φ E = 2 4πr 2 = 4πkQ
r

1 
 k =

4πε o 

Q
ΦE =
εo
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Legge di Coulomb
E(x,y,z) (=osservatore)
z
x
x
x’
P’
x’
y
O
Caso Discreto
x
r r
r r
x
− xj
N
E ( x ) = k ∑ j =1 q j r r 3
x − xj
N
Q = ∑qj
Caso Continuo
r r
r r
r x − x' 3 r
E(x) = K ∫ ρ (x' ) r r 3 d x'
V
x − x'
r 3r
Q = ∫ ρ ( x ')d x '
V
j =1
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Legge di Gauss in forma differenziale
Prima Equazione di Maxwell
ΦE =
∫
r r
E ⋅ dA = 4π Qtot = 4π
Superficie
∫
r 3
r
(4πρ ( x ) − div E )d x = 0
∫
r 3
ρ (x)d x =
volume
∫
r 3
div E d x =
volume
volume
div E = 4πρ
• La Legge di Gauss (forma integrale o differenziale) vale per
qualsiasi Campo con dipendenza ~1/R2
• La Legge di Gauss vale anche per il Campo Gravitazionale.
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Campi Conservativi ? Irrotazionali
• Dato un qualsiasi campo vettoriale A, se
l’integrale lungo una curva chiusa (C) di A
fa zero allora il campo e’ irrotazionale.
Ñ∫
C
r r
C ⋅ dl =
∫
S
r
r r
(∇ × C ) ⋅ dA = 0
Poichè questa relazione vale per qualsiasi S allora
l’integrando deve essere identicamente uguale a zero:
r r
∇×C =0
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Es: Campo Elettrico in prossimita’ di
una Linea di carica
Determinare la forma
analitica del campo
elettrico prodotto da
un filo di lunghezza
infinita avente una
distribuzione
uniforme di carica ?.
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Occorre scegliere una
opportuna geometria che
tenga conto della simmetria
del problema
Carmine Elvezio Pagliarone
Lezioni L3.b
1. Campi Conservativi;
2. Equazione di Poisson e di Laplace;
3. Condizioni al contorno: esistenza ed unicità della
soluzione;
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Carmine E. Pagliarone
Teorema dei Campi Conservativi
Dato un Campo vettoriale E, le proposizioni seguenti sono
equivalenti:
• Il campo e’ conservativo;
r
• Esiste una primitiva del campo: ∃Φ / E = − ∇Φ
r r
• l’integrale lungo una curva chiusa di E fa zero: Ñ
∫ E ⋅ dl = 0
• il lavoro del campo non dipende dal percorso ma solo
dagli estremi;
r r
• il campo e’ irrotazionale: ∇ × E = 0
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Carmine E. Pagliarone
Potenziale Elettrico e Rot E=0
u
Il campo elettrico per una densità di carica è:
u
si dimostra che l’integrando può scriversi come:
u
u
r r
r r
r x − x' 3 r
E(x) = K ∫ ρ (x' ) r r 3 d x'
V
x − x'
r r
r 1
x− x'
r r 3 = − ∇  xr − xr '
x− x'




Riscriviamo il campo allora:
r
r r
r
ρ ( x ') 3 r 
E( x) = − ∇  K ∫ r r d x '
 V x− x'



r r
∇ × ∇ψ = 0
( )
Poichè:
si conclude che il Campo Elettrostatico è
irrotazionale e pertanto conservativo:
r r
∇× E = 0
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Carmine E. Pagliarone
“Summa” Elettrostatica
x
x’
r r
∇× E = 0
E(x,y,z)
z
r
∃Φ / E = − ∇Φ
r r
∇ ⋅ E = 4πρ
r r
∫ E ⋅ dA = 4π QTot
x
x’
P’
y
O
x
Caso Discreto
r r
r r
x
− xj
N
E ( x ) = k ∑ j =1 q j r r 3
x − xj
r
Φ( x ) =
qj
∑ xr − xr
j
N
Q = ∑qj
j =1
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S
∆Φ = − 4πρ , ∆Φ = 0
Caso Continuo
r r
r r
r x − x' 3 r
E(x) = K ∫ ρ ( x' ) r r 3 d x'
V
x − x'
r
r
ρ (x' ) 3
Φ ( x ) = ∫ r r d x'
x − x'
r
r
Q = ∫ ρ ( x ')d 3 x '
V
Carmine Elvezio Pagliarone
L’Equazione di
Poisson-Laplace
Determiniamo il Campo Elettrico
nota
la configurazione delle sorgenti e delle
superfici conduttrici di contorno
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Carmine E. Pagliarone
L’Equazione di Poisson-Laplace
r r
∇ ⋅ E = 4πρ
r r
∇× E =0
r
r
E = − ∇Φ
r r r
r
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ (−∇Φ ) = − ∆Φ
r r
∇ ⋅ E = 4πρ = − ∆Φ
∆Φ = − 4πρ
∆Φ = 0
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Carmine E. Pagliarone
L’Equazione di Poisson-Laplace
u
u
u
Se i problemi dell’Elettrostatica contenessero solo
cariche localizzate senza superfici di contorno non
avremmo bisogno di fare ricorso alle Equazioni di
Poisson-Laplace.
Il nostro problema ammetterebbe infatti la
seguente soluzione (caso discreto e continuo):
r
q
r
ρ (x' ) 3
r
j
(
x
)
Φ
=
Φ( x ) = ∑ r r
r r d x'
∫
x − x'
x − xj
In generale i problemi contengono regioni di
spazio con cariche localizzate e distribuzioni di
carica nonche’ con superfici di contorno sulle
quali sono assegnate condizioni particolari.
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Carmine E. Pagliarone
Condizioni al Contorno
u
Condizioni al Contorno:
• Condizioni al contorno di Dirichlet: Definizione del
potenziale sulla superficie di contorno:
r
Φ( x ) ∂ = f
• Condizioni al contorno di Neumann: Definizione del Campo
Elettrico sulla superficie di contorno:
r r
r
E(x) = g
∂
• Condizioni al contorno di Cauchy: Definizione del Campo e
del Potenziale sulla superficie di contorno:
r r
r
r
Φ( x ) ∂ = f ⊕ E ( x ) = g
∂
u
u
Per il problema di Dirichlet e di Neumann LA SOLUZIONE
ESISTE ED E’ UNICA;
Il Problema di Cauchy e’ sovradeterminato.
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Carmine E. Pagliarone
Il Campo Elettrico all’interno di una superficie
chiusa conduttrice priva di cariche e’ nullo.
∆Φ = 0
- Le cariche sono all’esterno;
- ∆Φ=0 all’interno della superficie;
- un teorema assicura esistenza ed
unicita’ della soluzione per il problema
di Dirichlet e di Neumann;
−
-
Φ ∂ = kost
Poiche’ la soluzione e’ unica allora per
l’unicita’ della soluzione:
Φ all 'int erno = kost
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⇒
r
r
E = − ∇Φ = 0
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Campi Elettrici e Conduttori
• Nei conduttori la carica e’ libera di muoversi e
pertanto si muovera’ sotto l’influenza delle
forze elettriche fino a che la risultante delle
forze, punto per punto, nel contuttore non si
annullera’.
• Il campo elettrico all’equilibrio, all’interno di
un conduttore e’ zero: E=0.
• In un conduttore la carica netta deve essere
superficiale.
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Carmine Elvezio Pagliarone
Schermaggio Elettrostatico
• Un campo Elettrico non puo’ penetrare all’interno di
una superficie conduttrice chiusa (E=0 all’interno)
Ø “Gabbia di Faraday”
• Es.: l’interno di un’auto o di un aereoplano, l’esterno
di un forno a microonde.
No vi puo’ essere carica
elettrica netta all’interno di
una gabbia di Faraday posta
in un campo elettrico esterno.
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Carmine Elvezio Pagliarone
Conduttori in Equilibrio Elettrostatico
• Le cariche sono libere di
muoversi nei conduttori.
• Conseguenze:
– la carica risiede sulla
superficie dei conduttori;
– il Campo Elettrico e’ zero
ovunque all’interno del
conduttore;
– Il Campo Elettrico e’ sempre
perpendicolare alla superficie
e tutte le linee di campo
hanno lo stesso verso;
– Per oggetti di forma
irregolare il campo elettrico e’
maggiore dove la curvatura
e’ maggiore ed E e’
concentrata in prossimita’
delle punte.
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Carmine Elvezio Pagliarone
Appena all’esterno di un conduttore il Campo
Elettrico e’ perpendicolare alla superficie ed e’:
E= 4πσ
∫
S
v
E ⋅ nˆ da = 4π ∫ ρ dV
V
An En + Ap E p − Ap E p + 0 = 4πσAn
r
E = 4πσ nˆ
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verso le Equazioni di Maxwell
r r
∇ ⋅ E = 4πρ
r
r r 1 ∂E 4π r
∇× B −
=
J
c ∂t
c
r
r r 1 ∂B
∇× E +
=0
c ∂t
r r
∇⋅B = 0
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Carmine E. Pagliarone
Summa per il Campo Elettrico
r r
∇× E =0
r
r
E = − ∇Φ
r r
r r
x − xj
E(x) = k ∑ j q j r r 3
x − xj
r r
r r
r x − x' 3 r
E(x) = K ∫ ρ (x' ) r r 3 d x'
V
x − x'
r
Φ( x ) =
r
Φ( x ) =
qj
∑ xr − xr
j
Φ E = 4π ∑ j q j
∫
r
ρ (x' ) 3
r r d x'
x − x'
r
div E = 4πρ
∆Φ = − 4πρ
∆Φ = 0
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Teorema della Divergenza
Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l’integrale sul volume V della
divergenza del campo E e’ uguale al flusso del campo attraverso
la superficie A che delimita il volume V.
ΦE =
r r
∫ E ⋅ dA =
Superficie
r
∫ div E dV
Volume
Teorema di Stokes
r
dA '
A
r
dl
Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l’integrale lungo una curva
chiusa (L) di C e’ uguale al flusso del Rotore di C attraverso la
r
superficie (A) delimitata dalla curva chiusa in oggetto.
dl = L
r r
r
r r
Ñ∫ C ⋅ dl = ∫ ∇ × C ⋅ dA '
(
L
A
)
Ñ∫
L
∫ dA ' = A
A